1、1第十七讲：等边三角形（拔高）第一部分【能力提高】一、如图，D 为等边ABC 边 BC上任一点，以 AD为边作等边ADE.（1）求证：CD+CE=AC；（2）求ACE 的度数.转化发散：如图，若 D为等边ABC 边 BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1） 、 （2）是否仍然保持不变？二、如图，D 为等边ABC 边 BC上任一点，ADE=ACE=60，求证：ADE 为等边三角形；转化发散：如图，若 D为等边ABC 边 BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1） 、 （2）是否仍然保持不变？AB CDEAB C DE AB CDEAB CDE
2、AB CDEAB C DE2AGFEDCB三、如图，A 为线段 BC上的一点，ABAC，以 AB、AC 为边在直线 BC的同侧作等边ABD、等边ACE、连结 DE，以 DE为边向形外作等边DEF，点 G在 AD上，且 AG=AE.（1）求证：EFGGBA；（2）求证：BDGFGD；四、 如图，等边ABC 中，AB=2，点 P是 AB边上的任意一点（点 P可以与点 A重合，但不与点 B重合） ，过点 P作 PEBC，垂足为 E，过 E作 EFAC，垂足为 F，过点 F作 FQAQ，垂足为 Q，设 BP=x（1）请用 x的代数式表示 AQ的长度，写出你的理由；（2）当 BP的长等于多少时，点 P与
3、点 Q重合？CEBAQP F3ACBEFDACBEFDACB D第二部分【综合运用】五、如图，等边ABC 中，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 BD=CE，AD、BE 交于 F点，连接CF.（1）若 CFAD，求证：AF=2BF；（2）连接 CF，若 AF=2BF，求证：CFAD；六、如图，在ABC 中，B=45，D 为 BC上一点，ADC=60，CD=2BD，求C 的度数.七、操作与实验：如图，边长为 1的等边ABC，BCD 为顶角为 120的等腰三角形，将一个含 30直角三角板的 60角的顶点放在 D点，三角板绕 D点旋转，使 60角的两个夹边分别交AB、AC 于 P、Q 两点（三角板
4、的边足够长）. 试问: 当三角板绕 D点旋转时,APQ 的周长是否发生变化?证明你的结论；AB CPDQ4ADECB O OB图1 图2CEDAB CDA图3MNACBEDFFD EB CA NNACBEMD图 2 图 3图 1MF八、 操作与实验：如图， 已知等边三角形 ABC中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线BC上一个动点，以 DM为边作等边三角形DMN（点 D、M、N 为逆时针顺序） （1）如图 1，当点 M在点 B左侧时，请你判断 EN与 MF有怎样的数量关系？点 F是否在直线 NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2和图 3，当点
5、M在 BC上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN与 MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图 2或图 3选择其中的一个证明；若不成立，请说明理由；九、在ABC 中，BAC=60.如图 1，D 为 AC边上的一点，以 BD为边作等边BDE（点 B、D、E 按顺时针顺序） ，O 为等边BDE 中EBD、EDB 的角平分线的交点，则OAB=_；如图 2，D 为 CA延长线上的一点，以 BD为边作等边BDE（点 B、D、E 按顺时针顺序） ，O 为等边BDE 中EBD、EDB 的角平分线的交点，则OAB=_；（1）请你完成，并选择其中的一个证明你的结论；（2）如图 3，D 为 AC延长线上的一
6、点，以 BD为边作等边BDE（点 B、D、E 按顺时针顺序） ，点 O为BDE 中与EBD、EDB 相邻的两个外角平分线的交点.完成图3，猜想OAB 度数（直接写出结论，不需要证明）5EODC BA EODC BAENMDC BAEQPDC BA十一、如图，已知 C为线段 AB上的一点，分别以 AC，BC 为边在 AB的同侧作等边ACD 和等边BCE，连接 AE，BD 交于点 O.（1）求证：AE=BD；（2）求AOB 的度数；（3）连结 OC，求证：OC 平分AOB；（4）设 AE、CD 交于点 P，BD、CE 交于点 Q，试判断CPQ 的形状，并证明你的结论；（5）求证：OC+OD=OA；
7、（OC+OE=OB）（6）若 M、N 分别为 AE、BD 的中点，试判断CMN 的形状，并证明你的结论；十一、已知：如图，以ABC 的边 AB、AC 为边，分别在ABC 外作等边ABD、等边ACE.（1）求证：BE=CD；（2）求BOC 的度数；（3）求证：AO 平分DOE；AB CDEO6（4）求证：AO+BO=DO；（AO+CO=EO）（5）若 P为 CD的中点，Q 为 BE的中点，求证：APQ 为等边三角形.十二、如图，等边ABC，动点 P从 B点出发，沿射线 AB方向运动，同时另一个动点 Q从C点出发，以相同的速度沿射线 CA方向运动(当 Q点到达 A点时运动随之停止)，连结 PQ交 BC于点 M.（1）试问：在 P、Q 两点的运动过程中，点 M与线段 PQ是否存在某种特定的位置关系？证明你的结论；（2）如图，ADBC 于点 D，过 M作 MNPQ 交 AD的延长线于 N点.在 P、Q 两点的运动时，试问 NA的值是否发生变化？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由.AB CDEPQAB CDEO7
