1、114 二次函数的应用1.4 第 1 课时 利用二次函数解决面积最值问题 一、选择题1关于二次函数 y x24 x7 的最大(小)值，下列叙述正确的是( )A当 x2 时，函数有最大值B当 x2 时，函数有最小值C当 x2 时，函数有最大值D当 x2 时，函数有最小值2如图 K61，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是( )图 K61A60 m 2 B63 m 2 C64 m 2 D66 m 23如图 K62 所示， C 是线段 AB 上的一个动点， AB1，分别以 AC 和 CB 为一边作正方形，用 S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(
2、)图 K62A当 C 是 AB 的中点时， S 最小B当 C 是 AB 的中点时， S 最大C当 C 为 AB 的三等分点时， S 最小2D当 C 为 AB 的三等分点时， S 最大4如图 K63，在矩形 ABCD 中， AB2，点 E 在边 AD 上， ABE45， BE DE，连结 BD，点 P 在线段 DE 上，过点 P 作 PQ BD 交 BE 于点 Q，连结 QD.设 PD x， PQD 的面积为 y，则能表示 y 与 x 之间函数关系的图象大致是( )图 K63图 K64二、填空题5已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图 K65 所示，当5 x0 时，函数 y 的最大
3、值是_，最小值是_图 K656已知一个直角三角形两直角边的长度之和为 30，则这个直角三角形的面积最大为_7如图 K66，在 ABC 中， B90， AB6 cm， BC12 cm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C以 2 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合)如果点 P， Q 分别从 A， B 同时出发，那么经过_s，四边形 APQC 的面积最小. 链 接 学 习 手 册 例 2归 纳 总 结3图 K6682017河南如图 K67，点 P 从 ABC 的顶点 B 出发，沿 B C A
4、匀速运动到点 A，图是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则 ABC 的面积是_图 K67三、解答题92017绍兴某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 50 m设饲养室长为 x(m)，占地面积为 y(m2)(1)如图 K68，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？(2)如图，现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多 2 m 就行了 ”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.图 K68410如图 K69
5、 所示，在矩形 ABCD 中， AB6 cm， BC8 cm，点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动如果点 P， Q 分别从点 A， B 同时出发，设运动时间为 t s(00，x40，14则 y x230x(0x40)34(2)y x230x (x20) 2300(0x40)，且二次项系数为 0，34 34 34当 x20 时，y 有最大值，最大值为 300.素养提升解：(1)将点 A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)分别代入 yax 2bxc，得c 3，a b c 0，4a 2b c
6、 3， )解得 a 1，b 2，c 3. )抛物线的函数表达式为 yx 22x3.(2)直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等的两部分，直线 l 必过其对称中心 .(12， 32)由点 A，D 的坐标知，抛物线的对称轴为直线 x1，E(3，0)，设直线 l 的函数表达式为 ykxm，代入 和(3，0)，得 解得(12， 32) 12k m 32，3k m 0.)k 35，m 95. )直线 l 的函数表达式为 y x .35 95由 可得 xF .y 35x 95，y x2 2x 3， ) 25如图，过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 l 于点 M，过点 F 作 FNPH 于点 N
7、.点 P 的纵坐标为 yPt 22t3，点 M 的纵坐标为 yM t ，35 9510PMy Py Mt 22t3 t t 2 t ，35 95 135 65则 SPFE S PFM S PEM PMFN PMEH PM(FNEH) (t 2 t )(3 )12 12 12 12 135 65 25 (t )2 ，1710 1310 289100 1710当 t 时，PFE 的面积最大，最大值的立方根为 .1310 32891001710 1710(3)如图，过点 P 作 PKx 轴于点 K，过点 A 作 AQPK 于点 Q，则在 RtPKE 中，PE 2PK 2KE 2(t 22t3) 2(3t) 2；在 RtAQP 中，PA2AQ 2PQ 2t 2(t 22t) 2；在 RtAOE 中，AE 2OA 2OE 218.由图可知PEA90.若PAE90，则 PE2PA 2AE 2，(t 22t3) 2(3t) 2t 2(t 22t) 218，即t 2t0，解得 t1 或 t0(舍去)若APE90，则 AE2PE 2PA 2，18(t 22t3) 2(3t) 2t 2(t 22t) 2，即(t3)(t 2t1)0，解得 t3(舍去)或 t 或 t (舍去)1 52 1 52 25综上可知，存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或 .1 52
