1、1第 2 节 证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法 题号用比较法证明不等式 1用综合法、分析法证明不等式 2用反证法、放缩法证明不等式 3证明不等式方法的综合应用 41.(2017揭阳二模)已知函数 f(x)=|2|x|-1|.(1)求不等式 f(x)1 的解集 A;(2)当 m,nA 时,证明:|m+n|mn+1.(1)解:由|2|x|-1|1,得-12|x|-11,即|x|1,解得-1x1,所以 A=-1,1.(2)证明:|m+n| 2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因为 m,nA,故-1m1,-1n1,m 2-10,n 2-10,故-(m
2、 2-1)(n2-1)0,|m+n| 2(mn+1) 2.又显然 mn+10,故|m+n|mn+1.2.(2017四川宜宾二诊)已知函数 f(x)=m-|x-2|, mR,且 f(x+2)0 的解集为-3,3.(1)解不等式: f(x)+f(x+2)0;(2)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: + + 3.(1)解:因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)0 等价于|x|m,由|x|m 有解,得 m0,且其解集为x|-mxm.又 f(x+2)0 的解集为-3,3,故 m=3.所以 f(x)+f(x+2)0 可化为: 3-|x-2| +3-|x|0, 所以|x|+|x+2|-4,所以-40 时, x+x+20,2所以 00 的解集为:x|-40),且 f(x-2)0 的解集为-3,-1.(1)求 m 的值;(2)若 a,b,c 都是正实数,且+ + =m,求证: a+2b+3c9.(1)解:依题意 f(x-2)=m-|x+2|0,即|x+2|m-m-2x-2+m,所以 m=1.(2)证明:因为+ + =1(a,b,c0)所以 a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )=3+( + )+( + )+( + )9,当且仅当 a=2b=3c,即 a=3,b=,c=1 时取等号.
