1、1第 3节 等比数列【选题明细表】知识点、方法 题号等比数列的判定与证明 2,15等比数列的基本运算 1,8等比数列的性质 3,5,7等差、等比数列的综合 4,6,9,11,13,14等比数列与其他知识的综合 10,12基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017山西一模)设 Sn是等比数列a n的前 n项和,a 3=,S3=,则公比 q等于( C )(A) (B)-(C)1或- (D)1或解析:因为 a3=,S3=,所以两式相比,化简得 2q2-q-1=0,解得 q=1或-,故选 C.2.(2017广西钦州二模)已知数列a n满足: =,且 a2=2,则 a4等于( D )(A)- (B)23
2、 (C)12 (D)11解析:因为数列a n满足: =,所以 an+1+1=2(an+1),即数列a n+1是等比数列,公比为 2.则 a4+1=22(a2+1)=12,解得 a4=11.故选 D.3.(2017郑州三模)已知等比数列a n,且 a6+a8=4,则 a8(a4+2a6+a8)的值为( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:由题意知:a 8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+= +2a6a8+ =(a6+a8)2,因为 a6+a8=4,所以 a8a4+2a8a6+ =(a6+a8)2=16.故选 D.4.(2017兰州二模)已知等差数列a n的公差 d=2
3、,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a6等于( A )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4解析:a 1,a3,a4成等比数列,可得 =a1a4,2即(a 1+2d)2=a1(a1+3d),由等差数列a n的公差 d=2,即有(a 1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8,则 a6=a1+5d=-8+10=2.故选 A.5.设各项都是正数的等比数列a n,Sn为前 n项和,且 S10=10,S30=70,那么 S40等于( A )(A)150 (B)-200(C)150或-200 (D)400或-50解析:由题意得,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比
4、数列,因此有(S 20-S10)2=S10(S30-S20).即(S 20-10)2=10(70-S20),故 S20=-20或 S20=30,又 S200,因此 S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故 S40-S30=80,S40=150.故选 A.6.(2017陕西渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于 12,并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列b n中的 b2,b3,b4,则数列b n的通项公式为( A )(A)bn=2n (B)bn=3n(C)bn=2n-1 (D)bn=3n-1解析:设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d,可得 3a=12,解
5、得 a=4,即成等差数列的三个正数分别为 4-d,4,4+d,这三个数分别加上 1,4,11后成为等比数列b n中的 b2,b3,b4,可得(4+4) 2=(1+4-d)(4+d+11),解方程可得 d=1(d=-11舍去),则 b2=4,b3=8,b4=16,即有 b1=2,则 bn=22n-1=2n,故选 A.7.(2017湖北二模)若等差数列a n的公差为 2,且 a5是 a2与 a6的等比中项,则该数列的前n项和 Sn取最小值时,n 的值等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由 a5是 a2与 a6的等比中项,可得 =a2a6,由等差数列a n的公差 d为 2,得(
6、a 1+4d)2=(a1+d) (a1+5d),即(a 1+8)2=(a1+2)(a1+10),解得 a1=-11,an=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,令 an0 则 2n-130,所以 n ,因为 nN +可得该数列的前 n项和 Sn取最小值时,n=6.故选 C.8.(2016安徽六校联考)在各项均为正数的等比数列a n中,a 2,a4+2,a5成等差数列,3a1=2,Sn是数列a n的前 n项的和,则 S10-S4等于( B )(A)1 008 (B)2 016 (C)2 032 (D)4 032解析:设等比数列a n的公比为 q,因为 a2,a4+2,a5成等差数
7、列,所以 2(a4+2)=a2+a52(2q3+2)=2q+2q4,因为 q0,解得 q=2,所以 S10= =2 046,S4= =30,S10-S4=2 046-30=2 016,故选 B.9.(2017西城区二模)已知等差数列a n的公差 d为 2,且 a1,a2,a4成等比数列,则 a1= ;数列a n的前 n项和 Sn= . 解析:因为数列a n是公差 d为 2的等差数列,且 a1,a2,a4成等比数列,所以 a1,a1+2,a1+6成等比数列,所以(a 1+d)2=a1(a1+3d),即(a 1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2,数列a n的前 n项和 Sn=2n+ 2=n
8、2+n.答案:2 n 2+n能力提升(时间:15 分钟)10.导学号 38486097(2017江西二模)在等比数列a n中,a 3,a15是方程 x2-6x+8=0的根,则的值为( A )(A)2 (B)4 (C)2 (D)4解析:因为 a3,a15是方程 x2-6x+8=0的根,所以所以 a3=2,a15=4;或 a3=4,a15=2.可知 a3=a1q2=2,a10.所以 a9= =2 ,同理 a3=4,a15=2,得 a9=2 .则 = =a9=2 .故选 A.11.(2017福州一模)设等差数列a n的公差 d0,且 a2=-d,若 ak是 a6与 ak+6的等比中项,则 k等于(
9、C )(A)5 (B)6 (C)9 (D)11解析:由等差数列a n的公差 d0,且 a2=-d,可得 a1=a2-d=-2d,则 an=a1+(n-1)d=(n-3)d,若 ak是 a6与 ak+6的等比中项,则 =a6ak+6,即(k-3) 2d2=3d(k+3)d,4因为 d0,得 k2-9k=0,解得 k=9(k=0舍去).故选 C.12.(2017商丘三模)若数列a n是等比数列,公比 q=2,Sn为a n的前 n项和,记 Tn=(nN *),则数列T n最大项的值为 . 解析:因为数列a n是等比数列,公比 q=2,Sn为a n的前 n项和,Tn= (nN *),所以 Tn= =9
10、-2n- ,因为 2n+ 2 =4 ,当且仅当 2n= 时取等号,又 nN *,n=1或 2时,T n取最大值 T1=9-2-4=3.所以数列T n最大项的值为 3.答案:313.某市 2017年新建住房 400万平方米,其中有 250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2017年为累计的第一年)将首次不少于 4 750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?(参考数据:1.08
11、41.36,1.08 51.47,1.08 61.59)解:(1)设中低价房的面积构成数列a n,由题意可知an是等差数列,其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+ 50=25n2+225n.令 25n2+225n4 750,即 n2+9n-1900,而 n是正整数,解得 n10.答:到 2026年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列b n,由题意可知,bn是等比数列,其中 b1=400,q=1.08,则 bn=4001.08n-1.由题意可知 an0.85bn,5有 250+(n-1)504001.08n-10.85.当
12、 n=5时,a 50.85b6,即满足上述不等式的最小正整数 n为 6.答:到 2022年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.14.(2017丰台区一模)已知a n是各项均为正数的等比数列,a 11=8,设 bn=log2 an,且 b4=17.(1)求证:数列b n是以-2 为公差的等差数列;(2)设数列b n的前 n项和为 Sn,求 Sn的最大值.(1)证明:设等比数列a n的公比为 q,则 bn+1-bn=log2 an+1-log2 an=log2 =log2 q(常数),因此数列b n是等差数列.又 b11=log2 a11=3, b4=17,所以等
13、差数列b n的公差 d= =-2,所以 bn=b4+(n-4)d,即 bn=25-2n.即数列b n是以-2 为公差的等差数列.(2)解:等差数列b n的前 n项和为 Sn,则 Sn= n= =(24-n)n=-(n-12)2+144,所以当 n=12时,S n有最大值,最大值为 144.15.已知在正项数列a n中,a 1=2,点 An( , )在双曲线 y2-x2=1上,数列b n中,点(bn,Tn)在直线 y=-x+1上,其中 Tn是数列b n的前 n 项和.(1)求数列a n的通项公式;(2)求证:数列b n是等比数列.(1)解:由点 An在 y2-x2=1上知,a n+1-an=1,所以数列a n是以 2为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)证明:因为点(b n,Tn)在直线 y=-x+1上,所以 Tn=-bn+1,所以 Tn-1=-bn-1+1(n2),两式相减得 bn=-bn+bn-1(n2),所以 bn=bn-1,所以 bn=bn-1(n2).令 n=1,得 b1=-b1+1,所以 b1=,所以b n是首项为,公比为的等比数列.
