1、第3节 函数的奇偶性与周期性,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗?反之,成立吗? 提示:一定是.反之,也成立. 2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0.,3.函数y=f(x)(xR)是周期函数,则其周期唯一吗?是否有最小正周期? 提示:不唯一.若T是y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ)也是函数的周期.若函数y=f(x)是常数函数,则y=f(x)是周期函数,且无最小正周期. 4.若函数y=f(x)
2、满足f(x+a)=f(-x)与f(x+a)=f(x)有什么区别?,知识梳理,1.奇函数、偶函数的概念及图象特征,原点,任意,原点,y轴,2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,存在一个最小的正数,f(x+T)=f(x),【重要结论】,1.奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(
3、x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),xR,a0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;,3.对称性
4、的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,双基自测,1.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( ) (A)(a,-f(a) (B)(-a,-f(a) (C)(-a,-f(-a) (D)(a,f(-a),B,解析:因为f(x)为
5、奇函数,所以f(-a)=-f(a), 所以点(-a,-f(a)在函数y=f(x)图象上.故选B.,2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) (A)y=x+1 (B)y=-x3 (C)y= (D)y=x|x|,解析:y=x+1是非奇非偶函数,A错;y=-x3是减函数,B错;y= 在(0,+)上为减函数,C错;y=x|x|为奇函数,当x0时,y=x2,为增函数,由奇函数性质得y=x|x|在R上为增函数,故选D.,D,3.导学号 38486024 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( ) (A)-3 (B)-1
6、 (C)1 (D)3,C,解析:用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)= -x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.,A,5.若函数f(x)=x2+ax+1在区间2b-1,3b上是偶函数,则a+b= .,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,函数奇偶性的判定,解:(2)法一(定义法) 当x0时,f(x)=-x2+2x+1,-x0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x). 所以f(x)为奇函数. 法二(图象法) 作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函
7、数.,(2)f(x)=,(3)f(x)= ;,(4)f(x)=loga(x+ )(a0且a1).,反思归纳 判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法: 确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证f(-x)=f(x)或其等价形式f(-x)f(x)=0是否成立. (2)图象法:,(3)判断函数奇偶性除利用定义法和图象法,也可利用性质法判断如下: 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. (4)分段函数奇偶性的判断,要分别从x0或x0来寻找等式f(-x)=f(x)或 f(-
8、x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.,跟踪训练1:判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=ln ;,(2)f(x)=ln( -3x)+1;,(3)f(x)= ;,(4)f(x)=,解:(4)当x0, f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x0时,f(x)=-x2+x,-x0, f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 所以f(x)是奇函数.,考点二,函数周期性的应用,【例2】 (1)导学号 38486025 (2017江西南昌调研)函数y=f(x)满足对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-
9、1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)= 4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .,解析:(1)因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故f(x)的周期为4,所以f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4, 所以f(2 016)+f(2 018)=f(2 016)+f(2 016+2)=f(2 016)-f(2 016)=0, 所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4. 答案:(1)4,答案:(2)-2,反思归纳 (1)求解
10、与函数的周期性有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.,答案:(1)D,答案:(2)1,考点三,函数奇偶性的应用,【例3】 (1)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+ ,则f(-1)等于( ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2,解析:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.,(2)导学号 38486026 奇函数f(x
11、)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)= 1,则f(8)+f(9)等于( ) (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1,解析:(2)由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得 f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1.故选D.,反思归纳 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略,跟踪训练3:(1)
12、(2017河北武邑中学高三上期中)已知f(x)满足对xR, f(-x)+f(x)=0,且x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ) (A)4 (B)-4 (C)6 (D)-6,解析:(1)由题设函数f(x)是奇函数,故f(0)=e0+m=1+m=0,即m=-1,所以 f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B. 答案:(1)B,(2)设函数f(x)= 为奇函数,则a= .,答案:(2)-1,(3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上是增函数,若f(a)f(2),则实数a的取值范围是 .,解析:(3)由已知f(x)在0,
13、+)上为增函数,且f(a)=f(|a|), 所以f(a)f(2)f(|a|)f(2), 所以|a|2,即a2或a-2. 答案:(3)a|a2或a-2,备选例题,【例1】 已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .,解析:由已知y=f(x)+x2是奇函数,得f(1)+12+f(-1)+(-1)2=0,又f(1)=1,所以f(-1)=-3, 所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案:-1,解析:因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0, 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)
14、=0, 所以f(-3)=0,f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=2. 答案:2,【例2】 (2017山西晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)= .,【例3】 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( ) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2,解析:因为f(x+1)为偶函数,所以f(1+x)=f(1-x), 所以f(-x)=f(2+x). 又因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x), 所以f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=2. 所以f(4)+f(5)=2.故选A.,
