1、1第 4 节 三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法 题号三角函数的定义域、值域、最值 3,5,8三角函数的单调性、单调区间 6,9,11奇偶性、周期性、对称性 1,2,4,7综合应用 10,12,13,14,15基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017南开区模拟)函数 y=cos(2x-)的最小正周期是( B )(A) (B) (C)2 (D)4解析:函数 y=cos(2x-)的最小正周期 T= =.故选 B.2.(2017江西模拟)函数 y=sin 2x- cos 2x 的图象的一条对称轴方程为( B )(A)x= (B)x=-(C)x= (D)x=-解析:因为 y=sin 2x
2、- cos 2x=2(sin 2x- cos 2x)=2sin(2x-),所以 2x-=k+,kZ,可得 x= + ,kZ,当 k=-1 时,x=- 是函数的一条对称轴,故选 B.3.(2017 德州市月考)x0,2, y= + 的定义域为( C )(A)0,) (B)(,(C), ) (D)( ,2解析:法一 由题意, 所以函数的定义域为, ).故选 C.法二 x= 时,函数有意义,排除 A,D;x= 时,函数有意义,排除 B.故选 C.4.(2017山东枣庄一模)函数 y=1-2sin2(x- )是( A )(A)最小正周期为 的奇函数(B)最小正周期为 的偶函数(C)最小正周期为的奇函数
3、(D)最小正周期为的偶函数2解析:y=1-2sin 2(x- )=cos(2x- )=cos( -2x)=-sin 2x,故函数 y 是最小正周期为 的奇函数,故选 A.5.(2017河北衡水一模)已知函数 y=2sin x 的定义域为a,b,值域为-2,1,则 b-a 的值不可能是( C )(A) (B) (C)2 (D)解析:函数 y=2sin x 在 R 上有-2y2,函数的周期 T=2,值域-2,1含最小值不含最大值,故定义域a,b小于一个周期,b-a0)图象上与 y 轴最近的两个对称中心间的距离为,则 f()的值为( C )(A) (B)- (C) (D)-解析:因为点 P(4,-3
4、)在角 的终边上,所以 sin =-,cos =,由函数 f(x)图象上与 y 轴最近的两个对称中心间的距离为,得 T=2=,所以 = =2,所以 f()=sin(2+)=sincos +cossin = + (-)3= .故选 C.8.(2017全国卷)函数 f(x)=sin2x+ cos x- (x )的最大值是 . 解析:由题意得 f(x)=sin2x+ cos x-=-cos2x+ cos x+=-(cos x- )2+1.因为 x0,所以 cos x0,1.所以当 cos x= 时,f(x) max=1.答案:19.导学号 38486085 若函数 f(x)=2sin(2x+)(00
5、)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则 等于( B )(A) (B) (C)2 (D)34解析:因为 f(x)=sin x(0)过原点,所以当 0x,即 0x 时,y=sin x 是增函数;当x ,即 x 时,y=sin x 是减函数.由 f(x)=sin x(0)在0,上单调递增,在,上单调递减知, =,所以 =.故选 B.12.(2017郴州二模)已知函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,给出下列四个命题:函数 f(x)的图象关于直线 x=对称;函数 f(x)在区间-,上单调递增;函数 f(x)的最小正周期为 ;函数 f(x)的值域为-2,2.其中是真命题的序号
6、是 .(将你认为是真命题的序号都填上) 解析:对于函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,由于 f(-)=-2,f( )=0,所以 f(-)f( ), 故 f(x)的图象不关于直线 x=对称,故排除.在区间-,上,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin 2x,2x-,单调递增,故正确.函数 f()= ,f( )=0,所以 f()f( ),故函数 f(x)的最小正周期不是 ,故错误.当 cos x0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin xcos x+sin 2x=2sin 2x,故它的最大值为 2,最小值为-2;当 cos x
7、0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=-2sin xcos x+sin 2x=0,综合可得,函数 f(x)的最大值为 2,最小值为-2,故正确.答案:13.(2017丰台区二模)已知函数 f(x)=sin xsin(-x)+ cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)的单调递增区间.解:(1)因为 f(x)=sin xsin(-x)+ cos2x=sin 2x+ =sin(2x+)+ ,所以 f(x)的最小正周期 T= =.(2)因为 f(x)=sin(2x+)+ ,所以令 2k-2x+2k+,kZ,解得 k- xk+ ,kZ,5所以可得 f(x)的单
8、调递增区间为k- ,k+ ,kZ.14.(2017北京卷)已知函数 f(x)= cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x-,时,f(x)-.(1)解:f(x)= cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+ cos 2x=sin(2x+),所以 f(x)的最小正周期 T= =.(2)证明:因为-x,所以-2x+ ,所以 sin(2x+)sin(-)=-,所以当 x-,时,f(x)-.15.(2017河东区二模)已知函数 f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+).(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程
9、;(2)讨论函数 f(x)在区间- ,上的单调性并求出值域.解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)=cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x=cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin(2x-).所以 f(x)的最小正周期 T= =.由 2x-=k+ (kZ),得 x= + (kZ).所以函数图象的对称轴方程为 x= + (kZ).(2)令-2x-,则-x.令2x-,则x.因为- x,所以 f(x)=sin(2x-)在区间- ,上单调递增,在区间,上单调 递减.当 x=时,f(x)取最大值 1.6因为 f(- )=- f()=,所以 x=- 时,f(x) min=- .所以值域为- ,1.
