1、1第 7 节 二项分布与正态分布【选题明细表】知识点、方法 题号条件概率、相互独立事件的概率 2,3,4,5,6,8,10,12二项分布 7,14正态分布 1,9,11,15二项分布与正态分布的综合 13基础巩固(时间:30 分钟)1.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附:若随机变量 服从正态分布 N(, 2),则 P(-a+2),则a 的值为( A )(A) (B) (C)5 (D)3解析:因为随机变量 服从正态分布 N(3,4),且 P(a+2),所以 2a-3 与 a+2 关于 x=3 对称
2、,所以 2a-3+a+2=6,所以 3a=7,所以 a=.故选 A.10.1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球.则从 2 号箱取出红球的概率是( A )(A) (B) (C) (D)解析:法一 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B:从 1 号箱中取出的是红球,则根据古典概型和对立事件的概率和为 1,可知:P(B)= =,P()=1-=;由条件概率公式知P(A|B)= =,P(A|)=.从而 P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=
3、 .故选 A.法二 根据题意,分两种情况讨论:从 1 号箱中取出白球,其概率为=,此时 2 号箱中有 6 个白球和 3 个红球,从 2 号箱中取出红球的概率为,则此种情况下的概率为=.从 1 号箱中取出红球,其概率为=.此时 2 号箱中有 5 个白球和 4 个红球,从 2 号箱取出红球的概率为,则这种情况下的概率为= .则从 2 号箱取出红球的概率是+ = .故选 A.11.(2017黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世界各地的游客络绎不绝.假设每天到西江苗寨的游客人数 是服从正态分布 N(2 000,10 000)的随机变量.则每天到西江
4、苗寨的游客人数超过 2 100 的概率为 .解析:因为服从正态分布 N(, 2)的随机变量 在区间(-,+)内取值的概率为0.682 7,所以每天到西江苗寨的游客人数超过 2 100 的概率为(1-0.682 7)=0.158 65.答案:0.158 6512.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下4落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入 A 袋中的概率为 . 解析:记“小球落入 A 袋中”为事件 A,“小球落入 B 袋中”为事件 B,则事件 A 的对立事件
5、为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故 P(B)=()3+()3=,从而 P(A)=1-P(B)=1-=.答案:13.(2017泸州市二诊)从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查 100 份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.(1)求这 100 份数学试卷的样本平均分和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分 Z 服从正态分布 N(, 2),其中 近似为样本平均数, 2近似为样本方差 s2.利用该正态分布,求 P(81Z119);记 X 表示 2 400 名学生的数学
6、总分位于区间(81,119)的人数,利用的结果,求 E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附: 19, 18,若 ZN(, 2),则 P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5.解:(1)由题意, =600.02+700.08+800.14+900.15+1000.24+1100.15+1200.1+1300.08+1400.04=100,样本方差 s2=(60-100)20.02+(70-100)20.08+(80-100)20.14+(90-100)20.15+(100-100)20.24+(110-100)20.15+(120-100)20.1+(130-100)2
7、0.08+(140-100)20.04=366.(2)ZN(100,19 2),P(81Z119)=P(100-19Z100+19)=0.682 7;数学总分位于区间(81,119)的概率为 0.682 7,XB(2 400,0.682 7),E(X)=2 4000.682 7=1 638.24.14.(2016广东深圳二调)某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中不小于 80 分为“优秀”,小于 60 分为“不合格”,其他为“合格”.(1)某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采5用分层抽样的方法从高
8、一学生中抽取了 45 名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数统计如下表:等级 优秀 合格 不合格男生(人) 15 x 5女生(人) 15 3 y根据表中统计的数据填写下面 22 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”?男生 女生 总计优秀非优秀总计(2)以(1)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取 3 人.求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率;记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X 的数学期望.参考公式:K
9、 2= ,其中 n=a+b+c+d.临界值表:P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635解:(1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 = ,m=25.所以 x=25-20=5,y=20-18=2,男生 女生 总计优秀 15 15 30非优秀 10 5 15总计 25 20 45而 K2= =1.1252.706,所以没有 90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”.(2)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为 =,所以从该市高一学生中随机抽取1 名学生,该生为“优秀”的概率为.记“所选 3 名学生中恰
10、有 2 人综合素质评价优秀学生”为事件 A,则事件 A 发生的概率为P(A)= ()2(1-)=;由题意知,随机变量 XB(3,),所以随机变量 X 的数学期望 E(X)=3=2.15.(2017重庆市适应性测试)某火锅店为了解气温对营业额的影响,随机记录了该店 1 月份中 5 天的日营业额 y(单位:千元)与该地当日最低气温 x(单位:)的数据,如下表:x 2 5 8 9 116y 12 10 8 8 7(1)求 y 关于 x 的回归方程=x+;(2)判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关;若该地 1 月份某天的最低气温为 6 ,用所求回归方程预测该店当日的营业额;(3)设该地 1 月份的
11、日最低气温 XN(, 2),其中 近似为样本平均数, 2近似为样本方差 s2,求 P(3.8X13.4).附:回归方程=x+中, = ,=- . 3.2, 1.8.若 XN(, 2),则 P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5.解:(1)列表计算如下:i xi yi xiyi1 2 12 4 242 5 10 25 503 8 8 64 644 9 8 81 725 11 7 121 77 35 45 295 287这里 n=5, = xi= =7, = yi= =9,又 lxx= -n =295-572=50,lxy= xiyi-n =287-579=-28,从而, = =- =-0.56,=- =9-(-0.56)7=12.92,故所求回归方程为=-0.56x+12.92.(2)由=-0.560 知 y 与 x 之间是负相关,将 x=6 代入回归方程可预测该店当日的营业额为=-0.566+12.92=9.56(千元).(3)由(1)知 =7,又由 2=s2= (2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2=10 知 =3.2,从而P(3.8X13.4)=P(-X+2)=P(-X)+P(X+2)= P(-X+)+ P(-2X+2)=0.818 6.
