1、1第三课时 定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法 题号定点问题 5定值问题 1,2,4,6存在性问题 1,3,5,7,81.导学号 38486189 (2017长春市二模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)与直线 x- y+4=0相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在 x轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l与抛物线 C交于 A,B两点,使得 + 为定值.如果存在,求出点 M的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)联立方程组有 y2-2 py+8p=0,由于直线与抛物线相切,得 =8p 2-32p=0,p=4,所以 y2=8x.(2)假设存在满足条件的点 M(
2、m,0)(m0),直线 l:x=ty+m,有所以 y2-8ty-8m=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),有 y1+y2=8t,y1y2=-8m,|AM|2=(x1-m)2+ =(t2+1) ,|BM|2=(x2-m)2+ =(t2+1) ,+ = += ( )= = ,若 为常数,对于任意的 tR,只有 4t2+m是 t2+1的 4倍,所以 m=4,2当 m=4时, + 为定值,所以 M(4,0).2.导学号 38486190 (2017四川广元市一模)已知椭圆 E: + =1(ab0)经过点 P(2, ),一个焦点为 F(2,0).(1)求椭圆 E的方程;(2)设直线 l:y=kx
3、+m与椭圆 E相交于 A,B两点,O 为坐标原点,椭圆 E的离心率为 e,若kOAkOB=e2-1.求证:AOB 的面积为定值.(1)解:由题意知,c=2,b 2=a2-4,代入 P点的坐标得 + =1,解得 a2=8,所以椭圆 E的方程为 + =1.(2)证明:e= = ,所以 kOAkOB=e2-1=-,将 y=kx+m代入 + =1.化得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-8=0.记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,因为 kOA= ,kOB= ,所以 =-,所以 y1y2=-x1x2= ,而 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+
4、km(x1+x2)+m2= +km( )+m2= ,所以 m2=4k2+2,3设点 O到直线 AB的距离为 d,则 d= = ,而|AB|= ,代入 m2=4k2+2得|AB|= ,所以 SAOB = =2 ,所以AOB 的面积为定值 2 .3.导学号 38486191(2017渭南市一模)已知椭圆 C: + =1(ab0),其焦距为 2,点 P(1,)在椭圆 C上.(1)求椭圆 C的标准方程;(2)是否存在与椭圆 C交于 A,B两点的直线 l:y=mx+t(mR),使得 =0成立?若存在,求出实数 t的取值范围,若不存在,请说明理由.解:(1)由椭圆 C的焦距 2c=2,解得 c=1,因为点
5、 P(1,)在椭圆 C上,所以 + =1,解得 a2=4,b2=a2-1=3,所以椭圆 C的标准方程为 + =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 得(3+4m 2)x2+8tmx+4t2-12=0.=(8tm) 2-4(3+4m2)(4t2-12)0,化简得 3+4m2t2.x1+x2= ,x1x2= ,(*)4假设 =0成立,则 x1x2+y1y2=0,x1x2+(mx1+t)(mx2+t)=0,(1+m2) x1x2+tm(x1+x2)+t2=0,将(*)代入,化简得 7t2=12+12m2.代入 3+4m2t2中得 t2.又因为 7t2=12+12m212,所以 t2
6、 ,即 t ,或 t- .所以存在实数 t,使得 =0成立,实数 t的取值范围为(-,- ,+).4.导学号 38486192 已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,直线 l:y=3与 C交于 A,B两点,l与 y轴交于点 N,且AFB=120.(1)求抛物线 C的方程;(2)当 00)的焦点为 F(0,),准线方程为 y=-.直线 y=3与 y轴交于点 N,即 N(0,3).当 00,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= , x1x2= , 若APF=BPF,则 kAP+kBP=0,即 += =0,6即 k(x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0)
7、=k2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=0,代入,整理得 k(x0-4)=0,因为 kR,所以 x0=4;即在 x轴上存在点 P(4,0),使得APF=BPF.6.导学号 38486194(2017汉中市质量检测)已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x2+y2=5,椭圆 E: +=1(ab0)的离心率 e= ,直线 l被圆 O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆 E的方程;(2)过圆 O上任意一点 P(x0,y0)(x0 ,y0 )作两条直线与椭圆 E分别只有唯一一个公共点,求证:这两直线斜率之积为定值.(1)解:设椭圆半焦距为 c,圆心 O到 l的距离d= = ,则 l被圆
8、O截得的弦长为 2 =2 ,所以 b= .由题意得 又 b= ,所以 a2=3,b2=2,所以椭圆 E的方程为 + =1.(2)证明:设过 P(x0,y0)的直线与椭圆 E的切线 l0的方程为 y-y0=k(x-x0),整理得 y=kx+y0-kx0,联立直线 l0与椭圆 E的方程得消去 y得 2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得(3+2k 2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为 l0与椭圆 E相切,所以 =4k(y 0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得(2- )k2+2x0y0k-( -3)=0,设与椭圆 E分别只有
9、唯一的公共点的直线的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=- .因为点 P在圆 O上,所以 + =5,7所以 k1k2=- =-1.所以这两条直线斜率之积为-1.7.导学号 38486195 (2017郑州市三模)已知 F1,F2分别为椭圆 C1:+ =1(ab0)的上、下焦点,其中 F1也是抛物线 C2:x2=4y的焦点,点 M是 C1与 C2在第二象限的交点,且|MF 1|=.(1)求椭圆的方程.(2)已知点 P(1,3)和圆 O:x2+y2=b2,过点 P的动直线 l与圆 O相交于不同的两点 A,B,在线段AB取一点 Q,满足: =- , = (0 且 1),探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上,若存在求出该直线方程.解:(1)由 C2:x2=4y知 F1(0,1),设 M(x0,y0)(x0 ,所以|m|+ 在 ( ,+)上单调递增,所以 + = ,所以(d 1+d2)d34 .当 k=0时,四边形 F1F2QP为矩形,此时 d1=d2= ,d3=2,所以(d 1+d2)d3=2 2=4 .综合可知,(d 1+d2)d3存在最大值,最大值为 4 .
