1、第2节 圆与方程,考纲展示,1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.,3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.,知识梳理自测,考点专项突破,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.在平面中,如何确定一个圆呢? 提示:(1)圆心与半径.(2)不共线三点. 2.圆的一般方程中为何限制D2+E2-4F0?,3.直线与圆的位置关系有哪些? 提示:相离、相切、相交. 4.两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系? 提示:两圆
2、的方程作差消去二次项得到的关于x,y的二元一次方程,就是公共弦所在直线的方程.,知识梳理,1.圆的定义与方程 (1)圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. (2)圆的方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,2.点A(x0,y0)与C的位置关系 (1)|AC|r点A在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2. 3.直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其判别式为,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如下:,5.圆与圆的位置关系 O1、O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|.,【重要结论】 1.两圆相交时,公共弦所在直线的方
3、程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 若两圆相交,则有一条公共弦,由-, 得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程. 2.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.,双基自测,1.已知圆心为C(-1,2),半径r=4的圆的方程为( ) (A)(x+1)2+(y-2)2=4 (B)(x-1)2+(y+2)2=4 (C)(x+1)2+(y-2)2=16 (D)(x-1)2+(y+2)2=16,C,解析:圆的方程为(x+1)2+(y
4、-2)2=16.故选C.,A,3.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x-5=0的位置关系是( ) (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)内含,解析:因为半径r1=2,r2=3,圆心C1(0,0),C2(2,0),1|C1C2|5,两圆相交,故选B.,B,4.(2017湖南株洲一模)若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .,答案:x-y-3=0,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,圆的方程,【例1】 (1)(2017北京市海淀高三下学期期中)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为( ) (A)(x-1)2+y2=1 (B)(x+1)2
5、+y2=1 (C)x2+(y-1)2=1 (D)x2+(y+1)2=1,解析:(1)设圆的半径为r,则由题意可得r=|1-2|=1,可得x2+(y-1)2=1,故选C. 答案:(1)C,(2)(2018广西柳州高中模拟)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( ) (A)(x-2)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y-2)2=1 (C)(x+2)2+(y-1)2=1 (D)(x-1)2+(y+2)2=1,解析:(2)因为圆心(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1), 所以圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)
6、2=1.故选A. 答案:(2)A,(3)(2017百校联盟2月联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 .,答案:(3)(x-2)2+(y-1)2=10,反思归纳 (1)求圆的方程,一般采用待定系数法. 若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程. 若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下两个性质: 圆心在过切点且与切线垂直的直线上; 圆心在任一弦的垂直平分线上.,跟踪训练1:(1)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) (A)(x-3)2+(y+
7、1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (D)(x+1)2+(y+1)2=4,答案:(1)C,(2)(2017吉林省白城一中月考)圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为 ; (3)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 .,解析:(2)圆心(1,0)关于直线y=-x对称的点为(0,-1),所以圆C的方程为x2+(y+1)2=1. (3)设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=1,再由过点(1,2),则(1-0)2+(2-b)2=1,得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1. 答案:(2)x2+(y+1
8、)2=1 (3)x2+(y-2)2=1,考点二,直线与圆的位置关系,反思归纳 (1)圆的切线方程的求法 代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式=0进而求得k. 几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. (2)弦长的求法 代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程,在判别式0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.,跟踪训练2:(1)(2017江西4月质检)已知点P(a,b)及圆O: x2+y2=r2,则“点P在圆O
9、内”是“直线l: ax+by=r2与圆O相离”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,考点三,圆与圆的位置关系,【例3】 (1) 导学号 38486174 已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+25=0相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为( ) (A)x+y-3=0 (B)x-y+3=0 (C)x+3y-1=0 (D)3x-y+1=0,反思归纳 判断圆与圆的位置关系时,一般不用代数法,利用几何法的关键是判断圆心距|O1O2|与半径的关系.,跟踪训练3:(1)圆C1:(x-m)2+(y+
10、2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为( ) (A)2 (B)-5 (C)2或-5 (D)不确定 (2)圆x2+y2+4x-4y-1=0与圆x2+y2+2x-13=0相交于P,Q两点,则直线PQ的方程为 .,考点四,与圆有关的轨迹问题,【例4】 已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆外,过点P作圆C的切线,设切点为M. (1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;,(2)求满足|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.,解:(2)设P(x,y),因为|PM|=|PO|, 所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2. 整理得2x-4y
11、+1=0, 即点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.,反思归纳 求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法: (1)直接法:根据题设条件直接列出方程; (2)定义法:根据定义写出方程; (3)几何法:利用圆的性质列方程; (4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.,跟踪训练4: 导学号 18702429 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM, ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,备选例题,(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.,【例3】(2017广东汕头市三模)已知圆C经过(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点. (1)求圆C的方程;,
