1、第10节 导数的概念及计算,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,易混易错辨析,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 怎样求曲线过点P(x0,y0)的切线方程. 提示:求曲线过点P(x0,y0)的切线,需分点P是切点和不是切点两种情况讨论. (1)点P(x0,y0)是切点,则求出曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率,由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点,则要分以下几步完成: 设出切点坐标P(x1,y1); 求出过点P(x1,y1)的切线方程为y-y1=f(x1)(x-x1); 将点P的坐标代入切线方程,求出x
2、1; 将x1的值代入方程y-y1=f(x1)(x-x1)可得过点P的切线方程. 要特别注意(2)中的x1可能不止一解,有几个解就有几条切线.,知识梳理,1.函数的平均变化率 (1)概念:对于函数y=f(x), = ,叫做函数y=f(x)从x1到x2的变化率. (2)几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的 . (3)物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在x1,x2上的 速度.,平均,斜率,平均,几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0)处的 (瞬时速度就是位移函数s
3、(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 .,切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),(2)函数f(x)的导函数称函数f(x)= 为f(x)的导函数. 3.基本初等函数的导数公式,x-1,cos x,-sin x,axln a,ex,4.导数的运算法则和复合函数的导数 (1)导数的运算法则 f(x)g(x)= ; f(x)g(x)= ; = (g(x)0). (2)复合函数的导数 复合函数y=f(ax+b)的求导法则为f(ax+b)=af(ax+b).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【重要结论】 1.f(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同
4、. 2.f(x0)不一定为0,但f(x0)一定为0. 3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.,双基自测,C,A,B,4.函数f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=6,则a的值等于 .,解析:根据题意,f(x)=ax3+3x2+2,f(x)=3ax2+6x, 若f(-1)=6,则有f(-1)=3a-6=6, 解可得a=4. 答案:4,5.设f(x)=xln x,若f(x0)=2,则x0= .,解析:f(x)=1+ln x,由1+ln x0=2知ln x0=1,故x0=e. 答案:e,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,导数的计算,反思归纳 根据函数
5、解析式求函数的导数应根据函数解析式特征结合导数运算公式求解,具体如下: (1)乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. (6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.,解:(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.,考点二,导数的几何意义及其应用,考查角度1:求切线方程 【例2】 导学号 38486052 (20
6、17西宁三中考试)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+ (a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为( ) (A)9x-y-16=0 (B)9x+y-16=0 (C)6x-y-12=0 (D)6x+y-12=0,反思归纳 求切线方程,注意两点,一是求切点,二是求切线斜率.,解析:由题意可得f(x)=3x2+2ax+a-3是偶函数, 则a=0,所以f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3, 则f(2)=2,f(2)=9,所求切线方程为y-2=9(x-2), 即9x-y-16=0.故选A.,答案:(1)ln 2,(2)(2015陕西卷
7、)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .,答案:(2)(1,1),反思归纳 已知斜率k,求切点(x0,f(x0),即解方程f(x0)=k.,答案:(1)-3,(2)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .,答案:(2)-1,反思归纳 求参数的取值(范围),利用导数的几何意义,建立关于参数的方程(不等式)求解.,答案:1-ln 2,考查角度4:两曲线公切线问题 【例5】 导学号 18702097 若直线y=kx+b是曲线 y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b等于 .,备选例题,答案:-3,
8、【例3】 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系;,解:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y=2x-2, 对于C2:y=-x2+ax+b,有y=-2x+a, 设C1与C2的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直. 所以(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即4 -2(a+2)x0+2a-1=0, 又点(x0,y0)在C1与C2上,(2)求ab的最大值.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,错解:点(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,所以点
9、(0,0)为切点,f(x)=3x2-6x+2,f(0)=2,直线l的方程为y=2x,又直线l与曲线y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足=4-4a=0,a=1.故选A. 易错分析:(1)“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,易忽视后面一种情况. (2)求曲线的切线方程首先确定已知点是否为切点是求解的关键,分清过点P的切线与在点P处切线的区别. (3)求曲线过点(0,0)的切线,应先设切点坐标,而不要使用点斜式方程设切线,导致解题过程复杂化.,正解:点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上. (1)当点O(0,0)是切点时,由f(x)=3x2-6x+2知f(0)=2. 直线l的方程为y=2x. 又直线l与曲线y=x2+a相切, 所以x2+a-2x=0满足=4-4a=0,a=1.,
