1、- 1 -广西陆川县中学 2017 年秋季期高三 12 月月考文科数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1已知集合 ，则2|0,|3,0xAxByBAA B C D),()1,(1,(0,12若 ,则 =iyix,xRyxA B1 C3 D 33在等差数列 中， ， ，则na710a142a7A7B10C20D304. 已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据xy则变量 与 之间的线性回归方程可能为（ ）xyA B C D0.72.30.71.3yx10.3.7yx1.yx5. 已知数列 满足： ， ，那么使 成立的 的最大值na1,0na2*
2、1naN5na为（ ）A4 B5 C24 D256. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的一个单调递增2sin0fxxfx区间是（ ）- 2 -A B C D75,127,12,3617,27. 若 ，则（ ）0mA Bmloglog(10)mlogC. D211328. 已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A B4 C. 3 D92 31029. 若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（ 324fxax,a）A B C. D1,51,51,5,15,10.已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ，,C
3、DABCABC，则该球的体积为（ ）26A B C. D348241611.设数列 前 项和为 ，已知 ， 则 等于（ ）nanS15a1,0,2,1,nnna2018SA B C. D504504704854912.已知抛物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，2:Cxy:1ly,PABC,AB- 3 -则“点 在 上”是“ ”的（ ）Pl PABA充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分； （13）已知 为各项都是正数的等比数列，若 ，则 na48a567a（14）已知 ，则 1t2ta
4、n24（15）如图，多面体 ， 两两垂直， OABCD,O， ， ， =3=10B则经过 的外接球的表面积是 ,（16）设数列 的前 n 项和为 若 且 则anS1a21naS的通项公式 n三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知函数 .2 1()cos3in()cos()2fxx（）求函数 在 的单调递减区间；f0,（）在锐角 中，内角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，已知 ，ABCBCabc()1fA， ，求 的面积.2asinibaA（18） （本小题满分 12 分）某县政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅
5、（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨部分按 6.60 元/吨计算水费；若用水量超过14 吨时，超过 14 吨部分按 7.80 元/吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨） ，将数据按照 ， ，0,2(,分成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图.14,6- 4 -（图 1） （图 2）（）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数（精确到 0.01） ；（） 求用户用水费用 (元)关于月用水量 （
6、吨）的函数关系yt式；（）如图 2 是该县居民李某 2017 年 16 月份的月用水费 (元)与月份 的散点图，yx其拟合的线性回归方程是 . 若李某 2017 年 17 月份水费总支出为23yx294.6 元，试估计李某 7 月份的用水吨数（19） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， ， ， ,平面 平PABCD2CDBADPA面 ， 为等腰直角三角形， .ABCDP（）证明： ；（）若三棱锥 的体积为 ，求 的面积C43B（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，若2:1 (0)xyCab1F2B- 5 -的周长为 ，且点 到直线 的距离为
7、 .12BF61F2Bb（）求椭圆 的方程；C（）设 是椭圆 长轴的两个端点，点 是椭圆 上不同于 的任意一点，12,APC12,A直线 交直线 于点 ，求证：以 为直径的圆过点 .1P4xM2（21） （本小题满分 12 分）已知函数 2()ln,()fxaxR（）若 在 处取极值，求 在点 处的切线方程；f f(1,)f（）当 时，若 有唯一的零点 ，求证：0a()fx0x0.请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的
8、长度单位相同已知曲线 C 的极坐标方程为 ， 2sin0,2（）求曲线 C 的直角坐标方程；（）在曲线 C 上求一点 ，使它到直线 （ 为参D3:2xtlyt数）的距离最短，写出 点的直角坐标.（23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 ()|1|fxmx（）当 时，求不等式 的解集；1()2f- 6 -（）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围0,1m()fxnn- 7 -文科数学试题答案1-5: DACBC 6-10: DDABA 11、12：BC二、填空题13 8 14 1715 1316 2,341n17解（1）由已知得 21()cos3incos2f
9、xx1i3 分sin(2)6x2kk又63xx0,函数 在 的单调递减区间为 和 . 6 分()f0,35,6（2）由（1）知 ()sin(2)6fx锐角 ， ABC056A又 ()sin(2)16f，即 9 分3又 sinibCaA24bca- 8 -. 12 分1sin32ABCSbc18解：（1）平均数 7.96，中位数 8.15. 4 分（2）设居民月用水量为 t吨，相应的水费为 元，则y即 8 分4, 012,8(12)6.,46.78 6,tytt , 012,.631.,4784 6,ttytt（3）设李某 2017 年 16 月份月用水费 （元）与月份 的对应点为x，它们的平均
10、值分别为 ， ，则 ，又点(,),2345,)ixyy1261x在直线 上，所以 ，因此 ，所以 7 月份的水费,x40y12640为 元9.60.由（2）知，当 时， ，13t()6.3.5.ft所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨. 12 分19证明：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 = ，PDABCPDABCAD所以 平面 .C又 ， 平面 .平面 ，又 为等腰直角三角形，APD，有AB平面 ，又 平面P6 分B（2）设 ，则 ，过 作 于 ，则 .Ax2CDxEADE=1P又平面 平面 ，平面 平面 =PBBC平面 .E又 .211243323BPCDBBDCVSPEADPEx
11、- 9 -2x中， .RTPAB26PAB中， . 12 分D13S20解：（1）设 、 ，1(,0)Fc2(,)由已知可得 6a又 可求 ，(,)Bb2:0BFlxybc所以 ，即 2caa又 ，由可求得b2,3b所以 6 分2143xy证明：（2）由题意知： .设 ， 12(,0)(,A0(,)Pxy则 ，所以10A:2Pylx0164,M又点 在椭圆 C 上，所以2203()xy若以 为直径的圆过点 ，则MP2A2P所以 02 016(,)(,)yAxy2001()x200(4)2()x001()()2xx- 10 -以 为直径的圆过点 12 分MP2A21解：（1） 4 分710xy（
12、2） 2lnfax32xaf0x令 ，则3gx26g由 ，可得0,aax在 上单调递减，在 上单调递增gx,6,6由于 ，故 时，020,ax0gx又 ，故 在 上有唯一零点，设为 ，1gag1,1x从而可知 在 上单调递减，在 上单调递增fx1(0,)1,x由于 有唯一零点 ，故 且 12 分10,22解：（1）由 ，可得=2sin,22sin曲线 的直角坐标方程为 5 分C0xy（2）直线 的参数方程为 ，消去l 32xty为 参 数得 的普通方程为 ，tl 35x与 相离，设点 ，且点 到直线 的距离最Cl 0,Dxy:ly短，则曲线 在点 处的切线与直线 平行，:35l，又01.3yx2201xy- 11 -或 ， 032x0x032y点 的坐标为 10 分D,23解：（1）当 等价于1,2mfx12x当 时，不等式化为 ，无解i当 时，不等式化为 ，解得i10x12x04x当 时，不等式化为 恒成立，i综上所述，不等式 解集为5 分12fx14x（2）因为 fmmx1m（当且仅当 时，等号成立）1xmaxf设 g， 设 ，012cos(0)2， （当 等号成立）insi24gm4ax2 max1112 2: ,2,mg 或 当 且 仅 当 时 等 号 成 立要使 的解集为 ,则fxnn- 12 -的取值范围为 10 分n2,
