1、1第 1 章 立体几何初步章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积1空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称 定义 图形 侧面积 体积棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S 直棱柱侧 Ch， C 为底面的周长， h 为高V Sh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S 正棱锥侧 Ch， C 为底面12的周长， h为斜高V Sh， h 为13高多面体棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥
2、，底面与截面之间的部分S 正棱台侧 (C C)12 V (S 上 S 下13 )S上 S下2h， C， C为底面的周长， h为斜高h， h 为高圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S 侧 2 rh，r 为底面半径， h为高V Sh r2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S 侧 rl，r 为底面半径，h 为高， l 为母线V Sh r213 13h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S 侧 ( r1 r2)l，r1， r2为底面半径，l 为母线V (S 上 S 下13 )S上 S下h ( r r1
3、3 21 r1r2)h2旋转体球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体S 球面 4 R2，R 为球的半径V R3432空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于 x、 y、 z 轴的线段分别为平行于 x、 y、 z轴
4、的线段；截线段：平行于 x、 z 轴的线段的长度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段等积变换，如三棱锥转移顶点等3复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等3四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同
5、一条直线的两条直线互相平行4直线与直线的位置关系Error!5平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a a ，b ，a ba a ， a ， b结论 a b a a b(2)面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a ， b ，a b P，a ， b ， a， b ， a结论 a b a (3)空间中的平行关系的内在联系46垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直图形 条件 结论a b， b(b 为 内的任意直线)a a m， a n， m， n ，m n Oa 判定a b， a b a ， b a b性质a ， b a b(2)平面与平面垂直的判定与
6、性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直Error! 性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l (3)空间中的垂直关系的内在联系7空间角(1)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a， b 所成的角(或夹角)5范围：设两异面直线所成角为 ，则 0 90.(2)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，
7、在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角1设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 m ， n ， ，则m n.( )2已知 a， b 是两异面直线， a b，点 Pa 且 Pb，一定存在平面 ，使 P ， a 且 b .( )3平面 平面 ，直线 a ，直线 b ，那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定是垂直( )4球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径( )5若 m， n 在平面 内的射影依次是一个点和一条直线，且 m n，则 n 或 n .( )类型一 由三视图求几何体的表面积与体积例 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
8、为( )A12 B18 C24 D30考点 题点 答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，6故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中， 1143502ABCABCVS柱柱11P柱柱锥PB1 4336.故几何体 ABC PA1C1的体积为 30624.13 12故选 C.反思与感悟 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理(3)旋
9、转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用跟踪训练 1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B3 C. D683 103答案 B解析 将三视图还原为直观图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，147所以 V 1 243.34类型二 平行问题例 2 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， PB平面 ABCD， MA PB， PB2 MA.在线段 PB上是否存在一点 F，使平面 AFC平面 PMD？若存在，请确定点 F 的位置；若不存在，请说明理由考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索
10、性问题解 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下：如图连接 AC 和 BD 交于点 O，连接 FO，则 PF PB.12四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 OF PD.又 OF平面 PMD， PD平面 PMD， OF平面 PMD.又 MA PB， MA PB，12 PF MA， PF MA.四边形 AFPM 是平行四边形 AF PM.又 AF平面 PMD， PM平面 PMD. AF平面 PMD.又 AF OF F， AF平面 AFC， OF平面 AFC.平面 AFC平面 PMD.反思与感悟 (1)证明线线平行的依据平面几何法(常用的有三角形中位线、
11、平行四边形对边平行)；公理 4；线面平行的性8质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行的依据定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质(3)证明面面平行的依据定义；面面平行的判定定理；线面垂直的性质；面面平行的传递性跟踪训练 2 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2.点 G， E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， BC17平面 GEFH.(1)证明： GH EF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索
12、性问题(1)证明 因为 BC平面 GEFH， BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFH GH，所以 GH BC.同理可证 EF BC，因此 GH EF.(2)解 连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK.因为 PA PC， O 是 AC 的中点，所以 PO AC，同理可得 PO BD.又 BD AC O，且 AC， BD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，所以平面 GEFH 必过平面 ABCD 的一条垂线，所以 PO 平行于这条垂线，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.9又因为平面 PBD平面
13、GEFH GK， PO平面 PBD，所以 PO GK，所以 GK平面 ABCD.又 EF平面 ABCD，所以 GK EF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8， EB2，得 EB AB KB DB14，从而 KB BD OB，即 K 是 OB 的中点14 12再由 PO GK 得 GK PO，12所以 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 ， PO 6，2 PB2 OB2 68 32所以 GK3，故四边形 GEFH 的面积 S GK 318.GH EF2 4 82类型三 垂直问题例 3 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD，
14、 AC CD， ABC60，PA AB BC， E 是 PC 的中点证明：(1) CD AE；(2)PD平面 ABE.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， CD平面 ABCD， PA CD. AC CD， PA AC A， PA， AC平面 PAC， CD平面 PAC.而 AE平面 PAC， CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA. E 是 PC 的中点， AE PC.10由(1)知， AE CD，且 PC CD C， PC， CD平面 PCD， AE平面 PCD.而 PD平面 PCD
15、， AE PD. PA底面 ABCD， AB底面 ABCD， PA AB.又 AB AD 且 PA AD A， PA， AD平面 PAD， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， AB PD.又 AB AE A， AB， AE平面 ABE， PD平面 ABE.反思与感悟 (1)两条异面直线相互垂直的证明方法定义；线面垂直的性质(2)直线和平面垂直的证明方法线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理(3)平面和平面相互垂直的证明方法定义；面面垂直的判定定理跟踪训练 3 如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是直角三角形， ACB90，点 B1在底面ABC 上的射影恰好是 BC 的中点，且 BC
16、 CA AA1.(1)求证：平面 ACC1A1平面 B1C1CB；(2)求证： BC1 AB1.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 (1)设 BC 的中点为 M，点 B1在底面 ABC 上的射影恰好是点 M， B1M平面 ABC.11 AC平面 ABC， B1M AC.又 BC AC， B1M BC M， B1M， BC平面 B1C1CB， AC平面 B1C1CB.又 AC平面 ACC1A1，平面 ACC1A1平面 B1C1CB.(2)连接 B1C. AC平面 B1C1CB， AC BC1.在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， BC CC1.四边形 B1C1CB 是
17、菱形， B1C BC1.又 B1C AC C， BC1平面 ACB1， BC1 AB1.类型四 空间角问题例 4 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， M， N 分别是 A1B1， BC， C1D1和 B1C1的中点(1)求证：平面 MNF平面 ENF；(2)求二面角 M EF N 的正切值考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直(1)证明 连接 MN， N， F 均为所在棱的中点， NF平面 A1B1C1D1.而 MN平面 A1B1C1D1， NF MN.又 M， E 均为所在棱的中点， C1MN 和 B1NE 均为等腰直角三角形 MNC1 B1NE4
18、5， MNE90，12 MN NE，又 NE NF N， MN平面 NEF.而 MN平面 MNF，平面 MNF平面 ENF.(2)解 在平面 NEF 中，过点 N 作 NG EF 于点 G，连接 MG.由(1)知 MN平面 NEF，又 EF平面 NEF， MN EF.又 MN NG N， EF平面 MNG， EF MG. MGN 为二面角 M EF N 的平面角设该正方体的棱长为 2，在 Rt NEF 中， NG ，NENFEF 233在 Rt MNG 中，tan MGN .MNNG 2233 62二面角 M EF N 的正切值为 .62反思与感悟 (1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，
19、利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：作棱的垂面；过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线跟踪训练 4 如图，在圆锥 PO 中，已知 PO底面 O， PO ， O 的直径 AB2， C 是2AB的中点， D 为 AC 的中点(1)证明：平面 POD平面 PAC；(2)求二面角 B PA C 的余弦值考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直(1)证明 连接 OC.13 PO底面 O， AC底面 O， AC PO. OA OC， D 是 AC 的中点， AC OD.又 OD PO O， AC平面 POD.又 AC平面 PAC，
20、平面 POD平面 PAC.(2)在平面 POD 内，过点 O 作 OH PD 于点 H.由(1)知，平面 POD平面 PAC，又平面 POD平面 PAC PD， OH平面 PAC.又 PA平面 PAC， PA OH.在平面 PAO 中，过点 O 作 OG PA 于点 G，连接 HG，则有 PA平面 OGH， PA HG.故 OGH 为二面角 B PA C 的平面角 C 是 A的中点， AB 是直径， OC AB.在 Rt ODA 中， OD OAsin 45 .22在 Rt POD 中，OH .POODPD POODPO2 OD22222 12 105在 Rt POA 中，OG .POOAPA
21、 POOAPO2 OA2 212 1 63在 Rt OHG 中，sin OGH .OHOG10563 15514cos OGH .1 sin2 OGH1 1525 105故二面角 B PA C 的余弦值为 .1051如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A是棱台 B是圆台C是棱锥 D不是棱柱考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 C解析 图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平行，所以不是圆台；图是棱锥，图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱，故选 C.2设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列
22、四个说法：若 m ， n ，则 m n；若 ， ， m ，则 m ；若m ， n ，则 m n；若 ， ，则 .其中正确说法的序号是( )A B C D考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 A解析 如果 m ，则 m 不平行于 ；若 m ， n ，则 m， n 相交，平行或异面，若 ， ，则 ， 相交或平行3正方体的 8 个顶点中，有 4 个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为( )A1 B1 C2 D32 3 2 6考点 题点 15答案 B解析 设正方体棱长为 a， S 正方体表面积 6 a2，正三棱锥侧棱长为 a，则三棱锥
23、表面积为 S2三棱锥表面积 4 2a22 a2. .34 3 S三 棱 锥 表 面 积S正 方 体 表 面 积 23a26a2 134某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm 2，体积是_cm3.考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 80 40解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为 2 cm，下面长方体的底面边长为 4 cm，高为 2 cm，其直观图如图所示，其表面积S62 224 242422 280(cm 2)体积 V22244240(cm 3)5.如图，在三棱锥 V ABC 中，平面
24、 VAB平面 ABC， VAB 为等边三角形， AC BC 且AC BC， O， M 分别为 AB， VA 的中点(1)求证： VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 (1)因为 O， M 分别为 AB， VA 的中点，16所以 OM VB.又因为 VB平面 MOC， OM平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)因为 AC BC， O 为 AB 的中点，所以 OC AB.又因为平面 VAB平面 ABC，平面 VAB平面 ABC AB，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.又因为 OC平面 MOC，所
25、以平面 MOC平面 VAB.1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为2研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.一、选择题1给出下列说法中正确的是( )A棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B底面是矩形的平行六面体是长方体C棱柱的底面一定是平行四边形D棱锥的底面一定是三角形考点 多面体的结构特征题点 多面体的结构特征答案
26、A解析 平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故 A 正确；三棱柱的底面是三角形，故 C 错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故 B 错17误；四棱锥的底面是四边形，故 D 错误故选 A.2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )考点 由三视图还原实物图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图答案 D解析 A 项的主视图如图(1)，B 项的主视图如图(2)，故均不符合题意；C 项的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选 D.3下列说法正确的是( )A经过空间内的三个点有且只有一个平面B如果直线 l 上有一个点不在平面 内，那么直线
27、上所有点都不在平面 内C四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 C解析 在 A 中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故 A 错误；在 B 中，如果直线 l 上有一个点不在平面 内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面 内，故 B 错误；在 C 中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故 C 正确；在 D 中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故 D 错误故选 C.184设 l 是
28、二面角，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 a， b 与 l 均不垂直，则( )A a 与 b 可能垂直也可能平行B a 与 b 可能垂直，但不可能平行C a 与 b 不可能垂直，但可能平行D a 与 b 不可能垂直，也不可能平行考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系的判定答案 A解析 l 是二面角，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 a， b 与 l 均不垂直，当 a l，且 b l 时，由平行公理得 a b，即 a， b 可能平行，故 B 与 D 不正确；当 a， b垂直时，若二面角是直二面角，则 a l 与已知矛盾，若二面角不是直二面角，
29、则 a， b 可以垂直，且满足条件，故 C 不正确； a 与 b 有可能垂直，也有可能平行，故选 A.5在空间中， a， b 是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列条件中可推出 a b的是( )A a ， b ， B a ， bC a ， b D a ， b考点 直线与平面垂直的性质题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案 C解析 对于 A，若 a ， b ， ，则 a 与 b 没有公共点，即 a 与 b 平行或异面；对于B，若 a ， b ，则 a 与 b 没有公共点，即 a 与 b 平行或异面；对于 C，若a ， b ，由线面垂直的性质定理，可得 a b；对于 D，若 a ， b
30、 ，则由线面垂直的定义可得 a b，故选 C.6 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V L2h.它实际上13619是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积7264公式中的圆周率 近似取为( )A. B. C. D.15750 258 237 227考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 D解析 设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面周长 L2 r， r
31、 ， V r2h .令L2 13 L2h12 L2h，得 ，故选 D.L2h12 7264 2277.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是( )A CC1与 B1E 是异面直线B AC平面 ABB1A1C AE， B1C1为异面直线，且 AE B1C1D A1C1平面 AB1E考点 线面平行、垂直的综合问题题点 平行与垂直判定答案 C解析 由已知 AC AB， E 为 BC 的中点，得 AE BC.又 BC B1C1， AE B1C1，C 正确8在长方体 ABCD A1B1C1D1中
32、，若 AB AD2 ， CC1 ，则二面角 C1 BD C 的大小为( )3 2A30 B45 C60 D90考点 二面角题点 知题作角答案 A解析 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OC1.20因为 AB AD2 ，所以 AC BD，3又易知 BD平面 ACC1A1，所以 BD OC1，所以 COC1为二面角 C1 BD C 的一个平面角因为在 COC1中， OC ， CC1 ，6 2所以 tan COC1 ，33所以二面角 C1 BD C 的大小为 30.二、填空题9圆台的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的 2 倍，则两底面圆的半径分别
33、为_考点 题点 答案 a,2a解析 如图，画出圆台轴截面，由题设，得 OPA30， AB2 a，设 O1A r， PA x，则 OB2 r， x2 a4 r，且 x2 r， a r，即两底面圆的半径分别为 a,2a.10.一个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为_考点 直线与平面平行的性质题点 与性质有关的计算问题答案 a2421解析 在平面 VAC 内作直线 PD AC，交 VC 于 D，在平面 VBA 内作直线 PF VB，交 AB 于 F，过点 D 作直线 DE VB，交 BC 于 E，连接
34、 EF. PF DE， P， D， E， F 四点共面，且面 PDEF 与 VB 和 AC 都平行，则四边形 PDEF 为边长为 a 的正方形，12故其面积为 .a2411.如图，若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在平面互相垂直，则 cos cos _.考点 平面与平面垂直的性质题点 有关面面垂直性质的计算答案 25解析 由题意，两个矩形的对角线长分别为 5,2 ，5所以 cos ，525 4 529cos ，2529所以 cos cos 2.5三、解答题12一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中 M， N 分别是 AF， BC 中点)22(1)求证： MN平面 CDE
35、F；(2)求多面体 A CDEF 的体积考点 题点 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB BC BF2， DE CF2 ，2 CBF90.取 BF 的中点 G，连接 MG， NG，由 M， N 分别是 AF， BC 的中点可知， NG CF， MG EF.又 MG NG G， CF EF F，平面 MNG平面 CDEF.又 MN平面 MNG， MN平面 CDEF.(2)解 作 AH DE 于点 H，由于三棱柱 ADE BCF 为直三棱柱，平面 CDEF平面ADE AH， AH平面 ADE， AH平面 CDEF，且 AH .2 VA CDEF S 四边形 CDEF
36、AH 22 .13 13 2 2 8313如图所示，在几何体 ABCDFE 中， ABC， DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.(1)求几何体 ABCDFE 的体积；(2)证明：平面 ADE平面 BCF.考点 题点 (1)解 取 BC 的中点为 O， ED 的中点为 G，连接 AO， OF， FG， AG.23 AO BC， AO平面 ABC，平面 BCED平面 ABC，平面 BCED平面 ABC BC， AO平面 BCED.同理 FG平面 BCED. AO FG ，3 VABCDFE 4 2 .13 3 833(2)
37、证明 由(1)知 AO FG， AO FG，四边形 AOFG 为平行四边形， AG OF.又 DE BC， DE AG G， DE平面 ADE， AG平面 ADE， FO BC O， FO平面 BCF， BC平面BCF，平面 ADE平面 BCF.四、探究与拓展14如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，若 AB BC， E， F 分别是 AB1， BC1的中点，则下列结论中成立的是( ) EF 与 BB1垂直； EF平面 BCC1B1； EF 与 C1D 所成的角为 45； EF平面 A1B1C1D1.A B C D考点 线面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 B解析 显
38、然正确，错误2415如图，在 ABC 中， O 是 BC 的中点， AB AC， AO2 OC2.将 BAO 沿 AO 折起，使 B 点与图中 B点重合(1)求证： AO平面 B OC；(2)当三棱锥 B AOC 的体积取最大时，求二面角 A B C O 的余弦值；(3)在(2)的条件下，试问在线段 B A 上是否存在一点 P，使 CP 与平面 B OA 所成的角的正弦值为 ？证明你的结论，并求 AP 的长53考点 空间角问题题点 空间角的综合问题(1)证明 AB AC 且 O 是 BC 的中点， AO BC，即 AO OB， AO OC，又 OB OC O，OB 平面 B OC，OC平面 B
39、 OC， AO平面 B OC.(2)解 在平面 B OC 内，作 B D OC 于点 D，则由(1)可知 B D OA，又 OC OA O， B D平面 OAC，即 B D 是三棱锥 B AOC 的高，又 B D B O，当 D 与 O 重合时，三棱锥 B AOC 的体积最大，25过 O 作 OH B C 于点 H，连接 AH，如图由(1)知 AO平面 B OC，又 B C平面 B OC， B C AO， AO OH O， B C平面 AOH， B C AH， AHO 即为二面角 A B C O 的平面角在 Rt AOH 中， AO2， OH ， AH ，22 322cos AHO ，OHAH 13故二面角 A B C O 的余弦值为 .13(3)解 如图，连接 OP，在(2)的条件下，易证 OC平面 B OA， CP 与平面 B OA 所成的角为 CPO，sin CPO ，OCCP 53 CP .35又在 ACB中，sin AB C ，310 CP2 CP AB， B P ， AP . 22 CP255 455
