1、专题四 几何变换压轴题,几何变换压轴题多以三角形、四边形为主，结合平移、 旋转、翻折、类比等变换，而四边形的问题常要转化成三角 形的问题来解决，通过证明三角形的全等或相似得到相等的 角、相等的边或成比例的边，通过勾股定理计算边长要熟 练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理，灵活选择解题方,法，注意区分各种四边形之间的关系，正确认识特殊与一 般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的相互 渗透几何变换是德州市中考的常考点，多与三角形、四边 形、圆相结合，考查形式多样化德州市近五年中考对此 问题的考查：2017年中考试题第11题考查了旋转变换，第 23题考查了翻折变换；2016年中考试题第12题
2、考查了旋转,变换，第23题考查了类比变换；2015年中考试题第6题考查 了旋转变换，第23题考查了类比变换；2014年中考试题第 12题考查了翻折变换，第23题考查了类比变换；2013年中 考试题第23题考查了类比变换,类型一 图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与 三角形、四边形相结合解决旋转变换问题，首先要明确 旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对 应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题,例1 如图，O是等边ABC内一点，OA3，OB4，OC5， 将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO， 下列结论： BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得
3、到；点O 与O的距离为4；四边形AOBO的面积为63 ； AOB150；SAOCSAOB6 . 其中正确的结论是( ) A B C D,【分析】 利用旋转的性质，结合全等三角形、勾股定理 等知识对结论逐一判断即可 【自主解答】 由题意可知123260， 13. 在BOA和BOC中， BOABOC. 又OBO60，,BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，正确 如图1，连接OO， OBOB，且OBO60， OBO是等边三角形， OOOB4，正确 BOABOC， OAOC5.,在AOO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， AOO是直角三角形，AOO90， AOBAOOBOO9060150，
4、 正确 S四边形AOBOSAOOSOBO 34 42 64 ，错误,如图2，将AOB绕点A逆时针旋转60， 使得AB与AC重合，点O旋转至O点 AOO是边长为3的等边三角形， COO是边长为3，4，5的直角三角形， 则SAOCSAOBS四边形AOCOSCOOSAOO 34正确 综上所述，正确的结论为.故选D.,1(2017张家界)如图，在正方形ABCD中，AD2 ，把 边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD 于点E，连接PC，则PCE的面积为_,2(2017赤峰)OPA和OQB分别是以OP，OQ为直角边的等 腰直角三角形，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点 (1)当
5、AOB90时如图1，连接PE，QE，直接写出EP与EQ的 大小关系； (2)将OQB绕点O逆时针方向旋转，当AOB是锐角时如图2，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 加以说明,(3)仍将OQB绕点O旋转，当AOB为钝角时，延长PC，QD 交于点G，使ABG为等边三角形如图3，求AOB的度数,解：(1)EPEQ. (2)结论成立证明如下： 点C，E分别是OA，AB的中点， CEOB，CE OB，DOCECA. 点D是RtOQB斜边中点，DQ OB， CEDQ. 同理，PCDE，DOCBDE，ECABDE. PCEEDQ，EPCQED，EPEQ.,(3)如图，连接GO，点D，
6、C分别是OB，OA的中点，APO与QBO都是等腰直 角三角形， CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，,GBGOGA， GBOGOB，GOAGAO. 设GOBx，GOAy， 则xxyy60360，xy150， AOB150.,类型二 图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多 与三角形、四边形相结合翻折变换的实质是对称，翻折 部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定 理、相似的性质与判定解题,例2 (2016苏州)如图，在ABC中，AB10，B60， 点D，E分别在AB，BC上，且BDBE4，将BDE沿DE所在直 线折叠得到BDE(点B在四边形ADEC内)，连接A
7、B，则 AB的长为 ,【分析】 作DFBE于点F，BGAD于点G，由B 60，BDBE，得到BDE是等边三角形，由对称的性质得 到BDE也是等边三角形，从而GDBF，然后利用勾股 定理求解 【自主解答】 如图，作DFBE于点F，BGAD于点G， B60，BDBE4， BDE是边长为4的等边三角形,将BDE沿DE所在的直线折叠得到BDE， BDE也是边长为4的等边三角形， GDBF2. BD4， BG AB10，AG1064， AB,3(2016张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在 点Q处，点D落在点E处，EQ与BC交于点F.若AD8 cm，AB 6 cm，AE4 cm，则EBF的周
8、长是_cm.,8,4(2017淄博)如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶 点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C，D重合)，折痕 为MN，点M，N分别在边AD，BC上连接MB，MP，BP，BP与 MN相交于点F. (1)求证：BFNBCP； (2)在图2中，作出经过M，D，P三点的O(要求保留作图 痕迹，不写作法)；,设AB4，随着点P在CD上的运动，若中的O恰好与BM， BC同时相切，求此时DP的长,(1)证明：将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与 CD边上的动点P重合， MN垂直平分线段BP， BFN90. 四边形ABCD为矩形， C90，BFNC. 又FBNCBP，
9、 BFNBCP.,(2)解：如图1所示,如图2，设O与BC的交点为E，连接OB，OE. MDP为直角三角形， MP为O的直径BM与O相切， MPBM.,MBMP，BMP为等腰直角三角形AMBPMD180BMP90， MBAAMB90，PMDMBA. 在ABM和DMP中，ABMDMP，DMAB4，DPAM.,设DP2a，则AM2a，OE4a， BM BMMP2OE， 2(4a)，解得a ， DP2a3.,类型三 图形的类比变换图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、 四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相 似的性质与判定，难度较大此类题目第一问相对简单，后 面的问题需要结合
10、第一问的方法进行类比解答,例3 (2016朝阳)小颖在学习“两点之间线段最短”查阅 资料时发现：ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹 角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小,【特例】 如图1，点P为等边ABC的中心，将ACP绕点A 逆时针旋转60得到ADE，从而有DEPC，连接PD得到PD PA，同时APBAPD12060180，ADP ADE180，即B，P，D，E四点共线，故PAPBPC PDPBDEBE.在ABC中，另取一点P，易知点P与 三个顶点连线的夹角不相等，可证明B，P，D，E四点 不共线，所以PAPBPCPAPBPC，即点P到三 个顶点距离之和最小,【探究】 (1)如图2
11、，P为ABC内一点，APBBPC 120，证明PAPBPC的值最小；,【拓展】 (2)如图3，ABC中，AC6，BC8，ACB 30，且点P为ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之 和的最小值 【分析】 (1)先证APD为等边三角形，再证B，P，D，E 四点共线，根据两点间线段最短即可得答案；(2)利用“探 究”得出的结论进行求解,【自主解答】 (1)如图，将ACP绕点A逆时针旋转60得 到ADE，PAD60，PACDAE， PADA，PCDE，APCADE120， APD为等边三角形，,PAPD，APDADP60， APBAPD12060180， ADPADE180，即B，P，D，E四点共线
12、， PAPBPCPDPBDEBE， PAPBPC的值最小 (2)由“探究”知，当APBAPCBPC120时，AP BPPC的值最小,如图，把CPB绕点C逆时针旋转60 得CPB，由“探究”知A，P，P，B共线，且APBPPCAB， PCBPCB， PCBPCAPCBPCA30， ACB90，AB,5(1)问题发现 如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一 直线上，连接BE. (1)填空： AEB的度数为 ； 线段AD，BE之间的数量关系为 ,(2)拓展探究 如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的 高，连接
13、BE.请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的 数量关系，并说明理由,(3)解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD .若点P满足PD1，且 BPD90，请直接写出点A到BP的距离,解：(1)60 ADBE (2)AEB90，AE2CMBE.理由： ACB和DCE均为等腰直角三角形， ACBDCE90， ACBC，CDCE， ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE， ACDBCE.,ADBE，BECADC135. AEBBECCED1354590. 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， CMDMME，DE2CM， AEDEAD2CMBE. (3),6我们把两条中线互相垂直
14、的三角形称为“中垂三角形” 例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂 足为P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC a，ACb，ABc. 【特例探索】 (1)如图1，当ABE45，c2 时，a ，b ； 如图2，当ABE30，c4时，a ，b ；,【归纳证明】 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的 关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；,【拓展应用】 (3)如图，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点， BEEG，AD2 ，AB3，求AF的长,解：(1) (2)猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是a2b2
15、5c2. 证明：如图，连接EF. AF，BE是ABC的中线， EF是ABC的中位线， EFAB，且EF AB c. ,设PFm，PEn，则PA2m，PB2n. 在RtAPB中，(2m)2(2n)2c2； 在RtAPE中，(2m)2n2( )2； 在RtBPF中，m2(2n)2( )2. 由得m2n2 ， 由得5(m2n2) ， a2b25c2.,(3)如图，设AF，BE交于点P，取AB的中点H，连接FH，AC.E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， EGACFH.,又BEEG，FHBE. 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ADBC， AEBF，AEBF，APFP， ABF是“中垂三角形”， AB2AF25BF2，即32AF25( )2， AF4.,
