1、5.与向量有关的压轴小题1.(2017 届山西临汾一中等五校 联考) 如图，在ABC 中，AD AB， 3 ，| |1，则BC BD AD 的值为( )AC AD A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 方法一 | | |cosCAD，AD AC AD AC | |1，AD | |cosCAD，AD AC AC BAC DAC，2cosCADsinBAC， | |sinBAC，AD AC AC 在ABC 中，由正弦定理得 ，变形得 ACsinBACBC sin B，ACsin B BCsin BAC | |sinBAC BC 3，故选 C.AD AC AC ADBD方法二 ( ) 3 3
2、( )3 3AD AC AD BC BA AD BC AD BA AD BD AD BA AD AD BA 3.AD AD 2.(2017 届河南省豫北名校联 盟精英对抗赛) 已知ABC 的外接圆半径为 1，圆心为点 O，且3 4 5 0，则 的值为( )OA OB OC OC AB A. B. C. D.85 75 15 45答案 C解析 3 4 5 0，OA OB OC 4 5 3 ，OB OC OA 16 240 25 29 2，OB OB OC OC OA 又| | | |1，OA OB OC ，同理可求 ，OB OC 45 OA OC 35 ( ) .OC AB OC OB OA 4
3、5 ( 35) 15故选 C.3.(2017浙江温州中学月考)在 ABC 中，已知 9，sin Bcos Asin C，S ABC 6，PAB AC 为线段 AB 上的点，且 x y ，则 xy 的最大值为( )CP CA |CA |CB |CB |A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 由题设 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C sin Ccos A，即 sin Acos C0，也即 cos C0，C90，又bccos A9，故 b29，即 b3. ab6，故 a4，c5，12故建立如图所示直角坐标系 xOy，则 A(3，0)，B(0，4)，则由 题设可知
4、P(x，y)，直线 AB 的方程为 1 且 x0， y0，x3 y4 12 ，即 xy3，当且仅当 x ，y2 时“”成立，故选 C.x3 y4 xy12 324.(2017运城期中)已知点 O 是ABC 内部一点，且满足 2 3 4 0，则OA OB OC AOB，BOC，AOC 的面积之比依次为( )A.423 B.234 C.432 D.345答案 A解析 如图所示，延长 OA，OB，OC，使 OD2OA，OE 3OB，OF4OC，2 3 4 0，OA OB OC 0，OD OE OF 即 O 是DEF 的重心，故 DOE，EOF ，DOF 的面积 相等，不妨令它们的面积均为 1，则 A
5、OB 的面积为 ，BOC 的面 积为 ，AOC 的面积为 ，故16 112 18AOB，BOC ，AOC 的面积之比依次为 4 23.16 112 18故选 A.5.若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，则| abc|的最小值为( )A. 1 B.1 C. 1 D.2 2 2答案 A解析 ab0，且|a| |b| |c|1，|a b | ，2又(ab)c|ab|c|cosab，c cosab，c，2|a b c| 2a 2b 2c 22ab2a c2b c32(ab)c 32 cosab，c，2当 cos(ab，c)1 时，|a b c| 32 ( 1)2，2min 2 2|a b c|
6、的最小值为 1.26.已知向量 m(sin 2x， 1)，n ，f (x)(m n)m，则函数 f(x)的最小正周期与(cos 2x， 32)最大值分别为( )A.， 3 B. ，3 C.， D. ，322 2 22 72 2答案 B解析 mn ，(sin 2x cos 2x，52)则 f(x)(mn) msin 2x (sin 2xcos 2x) sin 22x sin 4x52 12 52 (cos 4xsin 4x )3 sin 3，12 22 (4x 4)f(x)的最小正周期 T ，最大值为 3 ，故 选 B.24 2 227.(2017湖北部分重点中学联考) 已知 P 是ABC 所在
7、平面内一点，若 ，则AP 34BC 23BA PBC 与ABC 的面积的比为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 A解析 在线段 AB 上取 D 使 AD AB，则 ，过 A 作直线 l 使 lBC，在 l 上取点 E23 AD 23BA 使 ，过 D 作 l 的平行线， 过 E 作 AB 的平行线，设交点为 P，则由平行四边形法则可AE 34BC 得 ，AP 34BC 23BA 设PBC 的高为 h，ABC 的高 为 k，由三角形相似可得 hk13，PBC 与ABC 有公共的底边 BC，PBC 与ABC 的面积的比为 ，故 选 A.138.(2017 届福建福州外国语学校期
8、中 )已知向量 a，b 满足| a|2 |b|0，且关于 x 的函数 f(x)22x 33|a| x26abx7 在实数集 R 上单调递增，则向量 a，b 的夹角的取值范围是( )A. B. C. D.0，6 0，3 0，4 6，4答案 C解析 求导可得 f(x )6x 26| a|x6ab，则由函数 f(x)2x 33| a|x26abx 7 在实数集 R上单调递增，可得 f(x)6x 26|a|x 6a b0 恒成立，即 x2|a| xa b0 恒成立，故判别式 a 24ab0 恒成立，再由|a| 2 |b|0，可得 8|b|28 |b|2cosa，b，2 2cosa，b ，22又a，b0
9、，a，b .0，49.(2017湖南长沙长郡中学)已知点 M(1，0) ，A，B 是椭圆 y 21 上的动点，x24且 0，则 的取值范围是( )MA MB MA BA A. B.1，9 C. D.23，1 23，9 63，3答案 C解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ( x11，y 1)， ( x21， y2)， (x 1x 2，y1y 2)，由 题MA MB BA 意有 (x 11)( x21)y 1y20，MA MB 所以 (x 11)( x1x 2)y 1(y1y 2)MA BA (x 1 1)x1(x 11)x 2y y 1y221x x 1y (x11)( x21)y
10、 1y2( x11)21 21x x 11 x x 11 x 2x 12211421 3421 2 ，x1 2， 2.34(x1 43) 23所以当 x2 时， 有最大值 9，MA BA 当 x 时， 有最小值 ，故选 C.43 MA BA 2310.设双曲线 1(a0， b0) 的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近x2a2 y2b2线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 (， R)， ，则该双曲线的离心率为( )OP OA OB 18A. B.2 C. D.322 233 2答案 D解析 双曲线的渐近线为 y x，焦点 F(c，
11、0)，则 A ，B ，P ，因为 ba (c，bca) (c， bca) (c，b2a) OP ，所以 ，所以 1， ，OA OB (c，b2a) ( c， bca) bc解得 ， ，又由 ，得 ，c b2c c b2c 18 c2 b24c2 18解得 ，a2c2 12所以 e ，故选 D.211.若点 O，F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则 的x24 y23 OP FP 最大值为_.答案 6解析 设 P(x，y)，则 (x，y )(x1， y)x 2xy 2，又点 P 在椭圆上，故 1，OP FP x24 y23所以 x2x3 x2 x2x3 (x2) 22，
12、又2x2，所以当 x2 时， (x2) 22 取34 14 14 14得最大值为 6，即 的最大值为 6.OP FP 12.(2017江西抚州市七校联考) 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a2b 2c 2 ab，且 acsin B2 sin C，则 _.3 3 CA CB 答案 3解析 由 a2b 2c 2 ab，得 2cos C ，即 cos C ，由 acsin B2 sin C，得3 332 3abc2 c，即 ab2 ， abcos C2 3.3 3CA CB 3 3213.(2017 届河南开封月考)过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F(c ， 0)(c0
13、)，作圆x2a2 y2b2x2y 2 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 2 ，则双曲线a24 OP OE OF 的离心率为_.答案 102解析 由 2 ，得OP OE OF ( )可知，E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，OE 12OF OP 则 O 为 FF的中点，PF 2OEa，E 为切点，OEPF，PFPF，|PF|PF| 2a，| PF|3a， |PF|2|PF| 2| FF| 2，则 10a24c 2，e .10214.(2017北京市丰台区二模) 已知 O 为ABC 的外心，且 .BO BA BC 若C90，则 _；若ABC60，则 的最大值为_.答案 12 23解析 若C90 ，则 O 为 AB 边的中点， ，即 ，0，故填 .BO 12BA 12 12设ABC 的三边长分别为 a，b，c，因为 O 为ABC 的外心，且 ，BO BA BC 所以Error!即Error!化简得Error!解得Error!则 ，当且仅当ABC 为等边三角形时“”成立.43 (a3c c3a) 43 23 23
