1、解答题滚动练 51.(2017北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PAPD ，AB 4.6(1)求证：M 为 PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.(1)证明 设 AC，BD 交于点 E，连接 ME，如图.因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDBME，所以 PDME.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点.(2)解 取 AD 的中点 O，连接 OP，OE.因为 PAPD ，所以 O
2、PAD ，又因为平面 PAD平面 ABCD，且 OP平面 PAD，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OPOE .因为四边形 ABCD 是正方形，所以 OEAD .如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P(0，0， )，D(2，0，0)，B(2，4， 0)， (4 ， 4，0)， (2 ，0， ).2 BD PD 2设平面 BDP 的法向量 n(x，y ，z)，则Error!即Error!令 x1，则 y1，z .2于是 n(1 ，1， ).2平面 PAD 的法向量为 p(0 ，1，0)，所以 cosn，p .np|n|p| 12由题意知二面角 BPDA 为锐角，所以它
3、的大小为 .3(3)解 由题意知 M ，C(2，4，0)， .( 1，2，22) MC (3，2， 22)设直线 MC 与平面 BDP 所成的角为 ，则sin |cosn， | ，MC |nMC |n|MC | 269所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 .2692.(2017安徽太和中学模拟)新一届班委会的 7 名成员有 A，B，C 三人是上一届的成员，现对 7 名成员进行如下分工.(1)若正、副班长两职只能由 A，B，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若 A， B，C 三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解 (1)先确定正、副班长，有 A 种选法，
4、其余全排列有 A 种，共有 A A 720( 种)分工方23 5 23 5案.(2)方法一 设 A，B，C 三人的原 职务分别是 a，b，c，当 ABC 任意一人都不担任 abc 职务时有 A A 种；当 ABC 中一人担任 abc 中的职务时，有 C A A A 种；当 ABC 中两人担任 abc34 4 13 12 24 4中的职务时，有 3C A A A 种；当 ABC 中三人担任 abc 中的职务时，有 2A 种；故共有 A A23 14 1 4 4 34C A A A 3C A A 2A 134A 3 216(种)分工方案.4 13 12 24 4 23 14 4 4 4方法二 担任
5、职务总数为 A 种，当 A 担任原职务时有 A 种，同理 BC 各自担任原职务时也7 6各自有 A 种，而当 AB，BC，CA 同时担任原职务时各有 A 种；当 ABC 同时担任原职务时有6 5A 种，故共有 A 3A 3A A 134A 3 216( 种)分工方案.4 7 6 5 4 43.已知数列a n满足 a11，a n1 a n2，数列b n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2b n.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)设 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Tn.解 (1)因为 a11， an1 a n2，所以 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 an1(n
6、1)22n1.又当 n1 时，b 1S 12b 1，所以 b11，当 n2 时，S n2b n， Sn1 2b n1 ， 由，得 bnb nb n1 ，即 ，bnbn 1 12所以b n是首项为 1，公比为 的等比数列，12故 bn n1 .(12)(2)由(1)知 cn anbn ，则2n 12n 1Tn ， 120 321 522 2n 12n 1Tn ， 12 121 322 2n 32n 1 2n 12n得 Tn 12 120 221 222 22n 1 2n 12n11 1 3 .12 12n 2 2n 12n1 12n 11 12 2n 12n 2n 32n所以 Tn6 .2n 3
7、2n 14.已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 为 F1( ， 0)， F2( ， 0)， M 是 椭 圆 上 一 点 ，5 5若 0， | | |8.MF1 MF2 MF1 MF2 (1)求椭圆的方程；(2)直线 l 过右焦点 F2( ，0)(不与 x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点 A，B，在 x 轴上是5否存在一个定点 P(x0， 0)，使得 的值为定值？若存在，写出 P 点的坐标( 不必求出定值)；PA PB 若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，c ，|MF1|2| MF2|24c 220， |MF1|MF2|8，5(| | |)2|MF 1|2|MF 2|22|MF 1|MF2
8、|36，MF1 MF2 解得|MF 1|MF 2|6，即 2a6，a3，b 2a 2c 24，椭圆的方程为 1.x29 y24(2)方法一 设直线 l 的方程为 xmy ，5代入椭圆方程并消元整理得(4m 29)x 218 x4536m 20. 5设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程的两个解，由根与系数的关系得x1x 2 ，x1x2 ，1854m2 9 45 36m24m2 9则 y1y2 (x1 )(x2 ) ，1m2 5 5 1m2x1x2 5x1 x2 5 164m2 9 (x 1x 0，y1)(x2x 0，y2)(x 1x 0)(x2x 0)y 1y2x 1x2x 0(x1x
9、2)x y 1y2PA PB 20 x0x ，45 36m24m2 9 1854m2 9 20 164m2 9 4x20 36m2 9x20 185x0 294m2 9令 t，则(4x 36)m 29x 18 x029t(4m 29)，PA PB 20 20 5比较系数得 4x 364t 且 9x 18 x0299t，20 20 5消去 t 得 36x 36936x 72 x0294，解得 x0 .20 20 5119 5在 x 轴上存在一个定点 P ，使得 的值为定 值 .(119 5，0) PA PB 12481方法二 当直线与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 yk(x )(k0)
10、，代入椭圆方程并消元5整理得(9k24)x 218 k2x45k 2360， 5设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程的两个解，由根与系数的关系得x1x 2 ，x1x2 ，185k24 9k2 45k2 364 9k2y1y2k 2(x1 )(x2 )k 2 ，5 5 x1x2 5x1 x2 5 16k24 9k2 (x 1x 0，y1)(x2x 0，y2)(x 1x 0)(x2x 0)y 1y2x 1x2x 0(x1x 2)x y 1y2PA PB 20，9x20 185x0 29k2 4x20 364 9k2令 t，则(9x 18 x029)k 24x 36t(49k 2)，PA PB 20 5 209x 18 x0299t，且 4x 364t ，20 5 20解得 x0 ，此时 t 的值为 .119 5 12481当直线 l 与 x 轴 垂直时，l 的方程 为 x ，代入 椭圆方程，解得 A ，B ，5 (5， 43) ( 5，43) ，PA PB ( 295， 43)( 295，43) 2081 169 12481当直线 l 与 x 轴垂直时， 也为定值 .PA PB 12481综上，在 x 轴上存在一个定点 P ，使得 的值为定值 .(119 5，0) PA PB 12481
