1、2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S m1 13，S m0，S m1 15，其中 mN *且 m2，则数列 的前 n 项和的最大值为( )1anan 1A. B. C. D.24143 1143 2413 613答案 D解析 由题意可得 amS mS m1 13，a m1 S m1 S m15，da m1 a m2，由 Smma 1 0 可得 a1m1，mm 1d2又 ama 1( m1)d13，可得 a12m 15， a113，m14，a n152n，故 Tn 1a1a2 1a2a3 1anan 1 1d(1a1 1a2) (1a2 1a3) (1an 1a
2、n 1) ，可知当 n6 时， Tn取得最大值 .12(113 113 2n) 126 1213 2n 6132.(2017保定模拟)已知函数 f(x)Error!若数列a n满足 anf (n)(nN *)，且a n是递增数列，则实数 a 的取值范围是( )A.(1，3) B.(1，2 C.(2，3) D.2411，3)答案 C解析 因为a n是递增数列，所以Error!解得 2a3，故 选 C.3.在数列a n中，a n0，a 1 ，如果 an1 是 1 与 的等比中项，那么 a1 12 2anan 1 14 a2n a222 的值是( )a332 a442 a1001002A. B. C
3、. D.10099 101100 100101 99100答案 C解析 由题意，得 a ，2n 12anan 1 14 a2n所以 a a 2a nan1 14a ，(an1 an1) 24a ，2n 12n 2n 1 2n 1所以 an1 an12a n1 ，即 an1 ，由 a1 ，得 a2 ，a3 ，an ，所以 12 an 12 23 34 nn 1 ann2 ，1nn 1 1n 1n 1a1 .a222 a332 a1001002 (1 12) (12 13) ( 1100 1101) 1001014.(2017安徽淮北一中四模)已知等差数列 an的公差 d0，且 a2，a 51，a
4、 10成等比数列，若 a15，S n为数列a n的前 n 项和，则 的最小值为 ( )2Sn n 32an 1A.3 B.2 C. D.3 7203 173答案 C解析 由于 a2，a51，a 10 成等比数列，所以(a 51) 2a 2a10，(a14d1) 2( a1d)( a19d) ，解得 d3，所以 ，当且仅当 n2 时2Sn n 32an 1 3n2 8n 323n 3 133n 1 27n 1 2 203“”成立.5.已知函数 f(x)x 2( a8)xa 2a12，且 f(a24) f(2 a8)，设等差数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *)，若 Snf( n)，则 的最
5、小值为( )Sn 4aan 1A. B. C. D.276 358 143 378答案 D解析 由题意可得 a242a8 或 a242a82 ，解得 a1 或 a4.( a 82 )当 a1 时，f(x)x 29x10，数列a n不是等差数列；当 a4 时，f(x)x 24x，S nf (n)n 24n，a 15，a 27，a n5(75)(n1)2n3， Sn 4aan 1 n2 4n 162n 2 12 n 12 2n 1 13n 1 12 n 1 13n 1 2 12 1，(2n 113n 1 2) 13当且仅当 n1 ，即 n 1 时取等号，13n 1 13n 为正整数，故当 n3 时
6、原式取最小 值 ，故 选 D.3786.设等差数列a n满足 a11，a n0(nN *)，其前 n 项和为 Sn，若数列 也为等差数列，Sn则 的最大值是( )Sn 10a2nA.310 B.212 C.180 D.121答案 D解析 设数列a n的公差为 d，依题意得 2 ，S2 S1 S3因为 a11，所以 2 ，2a1 d a1 3a1 3d化简可得 d2a 12，所以 an1(n1)22n1，Snn 2n 2，nn 12所以 2 2 2121.Sn 10a2n n 1022n 12 (n 102n 1) 122n 1 2122n 1 14(1 212n 1)7.抛物线 x2 y 在第
7、一象限内图象上的一点(a i，2a )处的切线与 x 轴交点的横坐标记为12 2iai1 ，其中 iN *，若 a232，则 a2a 4a 6等于( )A.21 B.32 C.42 D.64答案 C解析 抛物线 x2 y 可化为 y2x 2，y4x 在点(a i，2a 处的切线方程为 y2a 4a i(xa i)，12 2i 2i所以切线与 x 轴交点的横坐标为 ai1 ai，所以数列 a2k是以 a232 为首项， 为公比的等12 14比数列，所以 a2a 4a 632 8242，故 选 C.8.(2017 届 天 津 六 校 联 考 )已 知 数 列 an满 足 ： a1 1， an 1
8、(n N*).若 bn 1 (n 2)anan 2(nN *)，b 1 ，且数列b n是单调递增数列，则实数 的取值范围是( )(1an 1)A. B. C. D.23 32 32 23答案 D解析 a n1 1 12 1 2n1 2 n，anan 2 1an 1 2an 1an 1 (1an 1) 1an (1a1 1)b n1 (n2)2 n，数列b n是单调递增数列， 当 n2 时，bn1 b n(n2)2 n(n12 )2n1 n2 1221 ；32当 n1 时，b 2b 1(12)2 ，23因此 ，故选 D.239.(2017 届湖南省岳阳市质量 检测) 执行如图所示的程序框图，则输
9、出 s 的值为( )A.1 B. C. D.2 0182 019 2 0182 017 2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n1，s ，2412 1第二次循环， n2，s ，2412 1 2422 1直至 n1 008，s ，2412 1 2422 1 241 0082 1结束循环，输出 s 2412 1 2422 1 241 0082 1 121 1 121 1 122 1 122 1 121 008 1 121 008 1 1 ，故选 D.11 13 13 15 12 015 12 017 12 017 2 0162 01710.已知 表示大于 x 的最小整数，例如 4， 1，
10、下列命题中正确的是( )x) 3) 1.3)函数 f(x) x 的值域是 ；x) (0，1若a n是等差数列，则Error!也是等差数列；若a n是等比数列，则Error!也是等比数列；若 x(1 ，2 014)，则方程 x 有 2 013 个根.x)12A. B.C. D.答案 D解析 当 xZ 时， x1，f (x) xx 1x1; 当 xZ时，令x) x)xna，nZ，a(0，1) ，则 n1，f (x) x1 a(0，1)，因此 f(x) x 的值域x) x) x)是 ；0.9，1，1.1 是等差数列，但 1， 2， 2 不成等差数列； 0.5，1，2 是等比(0，1 0.9) 1)
11、1.1)数列，但 1， 2， 3 不成等比数列；由前分析可得当 xZ 时， f(x)1；当0.5) 1) 2)xZ，x na， nZ ，a(0 ，1)时， f(x)1a1(xn )n1x，所以 f(x1)f(x) ，即f(x) x 是周期为 1 的函数，由于 x(1 ，2)时 f(x)2 x ，x ，即一个周期内有一个x)12 32根，所以若 x ，则方程 x 有 2 013 个根. 正确，故选 D.(1，2 014) x)1211.数列a n的前 n 项和为 Snn 26n，则 a2_；数列 的前 10 项和|an| _.|a1| |a2| |a10|答案 3 58解析 当 n1 时，a 1
12、S 1 5，当 n2 时，a nS nS n1 n 26n(n1) 26( n1)2n7，a 22273，|a 1| |a2| | a10|53113139 794958.1 13212.(2016 届长春外国语学校质 量检测) 已知数列a n为等比数列，且 a2 013a 2 015 dx，则 a2 014(a2 0122a 2 014a 2 016)的值为_.204 x2答案 2解析 因为 dx，204 x2所以 a2 013a 2 015 dx，204 x2则 a2 014(a2 0122a 2 014a 2 016)a 2 014a2 0122a a 2 014a2 01622 014
13、a 2a 2 013a2 015a (a 2 013a 2 015)2 2.22 013 22 01513.(2017辽宁庄河月考)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列，且满足a13，b 11，b 2S 210，a 52b 2a 3，数列 的前 n 项和为 Tn，若 TnM 对一切正整anbn数 n 都成立，则 M 的最小值为 _.答案 10解析 由已知可得Error!解得 dq2，所以 an2n1，b n2 n1 ，则 ，故 Tn3anbn 2n 12n 15 7 (2n 1) ，由此可得120 121 122 12n 1Tn3 5 7 (2 n1) ，以上两式两边错位
14、相减可得 Tn3212 121 122 123 12n 12(2n1) 32 ，即 Tn10 ，(121 122 123 12n 1) 12n 12n 2 2n 12n 12n 3 2n 12n 1故当 n时， 0， 0，此时 Tn10，所以 M 的最小值为 10.12n 3 2n 12n 114.设 Sn，T n分别为等差数列 an， bn的前 n 项和，且 .设点 A 是直线 BC 外一点，SnTn 3n 24n 5点 P 是直线 BC 上一点，且 ，则实数 的值为_.AP a1 a4b3 AB AC 答案 325解析 不妨取 Sn3n 22n，T n4n 25n，当 n1 时，a 1S 15，当 n2 时，anS nS n1 6n1，验证得 n1 上式成立.综上， an6 n1，同理可得 bn8n1 .a1 a4b3 2825 ( )(1 ) AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC 1 ， .2825AB AC 2825 325
