1、第三节 等腰三角形与直角三角形,知识点一 等腰三角形 1等腰三角形：有 _相等的三角形是等腰三角形 2等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两条腰 _ ，两个底角_，简称等 边对等角,相等,两边,相等,(2)等腰三角形顶角的 _、底边上的 _及底边上 的高线互相重合，简称“三线合一” (3)等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴 3等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形 (2)有两个_相等的三角形是等腰三角形，简称等角 对等边,平分线,中线,1,角,逆向运用等腰三角形“三线合一”的性质也可以判定三角形 是等腰三角形 (1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一
2、边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是 等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是 等腰三角形,知识点二 等边三角形 1等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形 2等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边 _，每个角都等于 _ (2)等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴,都相等,60,3,3等边三角形的判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角等于60的 _ 是等边三角形 (4)有两个角等于 _的三角形是等边三角形,60,等腰三角形,知识点三 直角三角形 1勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：直角三角形
3、的两条直角边的平方和等于斜 边的平方如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2b2c2. (2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形,勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明 线段垂直的重要依据,2直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 _ (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _ (3)直角三角形中30角所对的直角边等于 _ (4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于 _,互余,一半,斜边的一半,30,3直角三角形的判定 (1)有一个角是 _的三角形是直角三角形 (2)有两个角
4、_的三角形是直角三角形 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形 (4)如果三角形一边上的_ 等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形,90,互余,中线,知识点四 角平分线与线段的垂直平分线 1角平分线 (1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 _ (2)判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离 _的 点在这个角的平分线上,相等,相等,2线段的垂直平分线 (1)线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线 段的直线叫做这条线段的垂直平分线 (2)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 _ (3)判定定理：到
5、一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的 _上.,相等,垂直平分线,考点一 等腰三角形的性质与判定 (5年3考) 命题角度 等腰三角形的性质与判定 例1 在正方形网格中，网格线的交点称为格点如图是33 的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使 得ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有( ) A6个 B7个 C8个 D9个,【分析】根据已知条件，分情况进行讨论 【自主解答】如图，AB是腰长时，有4个点可以作为点C； AB是底边时，有2个点可以作为点C. 所以满足条件的点C的个数是426. 故选A.,讲： 分类讨论解等腰三角形问题在求解与等腰三角形有关的问题时，如果腰或者顶角 不
6、确定，那么需要分类讨论进行求解，最易犯错的地方就 是忽略分类讨论，导致漏解 练：链接变式训练3,1(2017烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已 知ABCD，AE与AB的夹角为48，若CF与EF的长度相等， 则C的度数为( ) A48 B40 C30 D24,D,2(2016滨州)如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上 一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为 ( ) A50 B51 C51.5 D52.5,D,3(2017历下二模)如图，等腰ABC中，ABAC， BAC50，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC 的度数是 _,15,命题角度 等边三角形的性质与判定
7、例2 如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线一点，当PACQ时，连接PQ交AC于D，则DE的长为( ),【分析】 过P作PFBC交AC于F，得出APF是等边三角形， 推出APPFQC，根据等腰三角形性质求出EFAE，证得 PFDQCD，进而求得DE.,【自主解答】 如图，过P作PFBC交AC于F. PFBC，ABC是等边三角形， PFDQCD，APF是等边三角形， APPFAF.PEAC，AEEF. APPF，APCQ，PFCQ. 又PDFQDC，PFDQCD，FDCD. AEEF，EFFDAECD， AECDDE AC. AC1，DE .故选A.,4如图
8、，直线lmn，等边ABC的顶点B，C分别在直 线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为28，则的度数 为( ) A28 B30 C32 D45,C,5如图，等边ABC的边长为6，ABC，ACB的角平分线 交于点D，过点D作EFBC，交AB，CD于点E，F，则EF的长 为 _,4,考点二 勾股定理及其逆定理 (5年4考) 例3 (2013济南)如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端， 绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮 上方的部分忽略不计)为( ) A12m B13m C16m D17m,【分析】 设旗杆高度为x，利用勾股定
9、理求出x即可 【自主解答】如图，设旗杆高度为x， 则ACADx，ABx2，BC8. 在RtABC中，AB2BC2AC2， 即(x2)282x2，解得x17. 即旗杆的高度为17 m故选D.,在应用勾股定理时，注意以下两个问题：(1)使用勾股定理 的前提必须是在直角三角形中；(2)当直角三角形的斜边不 确定时，要注意分类讨论,6如图，在ABD中，D90，CD6，AD8， ACD2B，则BD的长是( ) A12 B14 C16 D18,C,7如图，四边形ABCD中，ABAD于A，AB8 ，AD8 ， BC7，CD25，则四边形ABCD的面积为_,考点三 直角三角形的性质 (5年1考) 例4 如图，
10、已知AOB60，点P在边OA上，OP10，点M，N在边OB上，PMPN.若MN2，则OM( ) A3 B4 C5 D6,【分析】 过点P作PHMN于H，根据等腰三角形的性质求 出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可 【自主解答】 如图，作PHMN于H， PMPN，MHNH MN1. AOB60，OPH30， OH OP5，OMOHMH4.故选B.,直角三角形的性质：(1)两锐角互余；(2)勾股定理； (3)斜边的中线等于斜边的一半；(4)30角所对的 直角边等于斜边的一半,8如图，RtABC中，ACB90，A55，将其折叠， 使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB( ) A40
11、B30 C20 D10,C,9如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点 上，点P为BC的中点，则AP_,考点四 角平分线与线段的垂直平分线 (5年1考) 命题角度 角平分线的性质与判定 例5 如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平 分ABC，交CD于点E，BC5，DE2，则BCE的面积等 于（ ） A10 B7 C5 D4,【分析】 作EFBC于F，根据角平分线的性质求得EF的长， 然后根据三角形面积公式求得即可 【自主解答】 如图，作EFBC于F， BE平分ABC，EDAB，EFBC，EFDE2， SBCE BCEF 525.故选C.,10如图，ABC中，C90，AC
12、BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，则DEB的周长是( )A6 B4 C10 D以上都不对,A,4,命题角度 线段垂直平分线的性质与判定 例6 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结 论不一定成立的是( ) AABAD BAC平分BCD CABBD DBECDEC 【分析】 根据线段垂直平分线的性质可得ABAD，BCCD， 再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分BCD，EB DE，进而可证明BECDEC.,【自主解答】 AC垂直平分BD， ABAD，BCCD， AC平分BCD，EBDE， BCEDCE. 在RtBEC和RtDEC中，RtBECRtDEC.故选C.,线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个 性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解 决相关的问题,12如图，在ABC中，D为BC的中点，ADBC，E为AD上一 点，ABC60，ECD40，则ABE( ) A10 B15 C20 D25,C,13(2017历城一模)如图，在ABC中，DE垂直平分AC交 AB于点E.若A30，ACB80，则BCE _度,50,14如图，在ABC中，ACB90，分别以点A和点B为圆 心，以相同的长(大于 AB)为半径作弧，两弧相交于点M和 点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E.若AC3，AB5，则 DE ,
