1、 浅谈初中数学建模思想摘要：数学建模思想方法是中学数学一种重要的思想方法，是学生学习数学和应用数学必具备的能力。本文试从学习建模思想的必要性、数学模型方法的基本步骤，常见初中数学模型的构建和建模能力培养等方面进行了探讨。关键词：数学模型方法、数学建模、构建、建模能力一、引言：数学建模思想方法不仅是处理数学问题的一种经典方法，又是处理各种实际问题的一般数学方法，它渗透到现实世界的各个领域，广泛应用于工程施工、投资经营、航海运输和规划设计等实际问题的解决。二、初中生学习数学建模思想方法的必要性数学建模思想方法作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各种知识板块当中，在方程、不等式、函数和三角函
2、数等内容篇章中呈现更为突出，学生学习掌握这种思想方法是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力。此外，新课标强调，数学教育要重视学生应用数学知识解决实际问题能力的培养，而这种能力的核心就是掌握数学建模思想方法，但是实际情况是，普遍学生对应用数学知识解决实际问题都感到困难，他们的难中之难是如何将实际问题抽象成数学问题，因此，培养学生数学建模能力是提高学生分析解决实际问题能力的根本途径。同时，数学建模思想方法蕴涵着多种数学思维，是多种数学方法的综合。数学建模过程是思维训练过程，也是观察、抽象、归纳、作图、数学符号表达等多种能力训练和加强的过程。总之，学习数学建模思想方法是学生进行数学学习和应用的需
3、要，也是思维和数学方法综合训练的需要，通过建模解决实际问题，使学生在问题解决的过程中，体会数学的重要实际意义，收获成功的喜悦，培养学习数学兴趣，增强学习信心。三、数学模型方法的基本过程数学模型就是一种数学结构，它是使用数学符号、数学式及数学关系对现实原型作一种简化而本质的刻画，数学模型方法是把所解决的实际问题，转化为数学问题。通过对数学问题的求解，使实际问题得以解决的一种数学方法。它的具体过程可分为以下五个步骤：1、分析问题。分析问题所涉及量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量。2、假设化简。根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。3、建模。在
4、假设的基础上，利用适当的数学工具，数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。4、求解。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。5、解释。联系实际问题，对得到的解答进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最后的判断。四、几种常见初中数学模型的构建1、构建方程（组）模型方程（组）是初中阶段重要的数学模型，具有广泛的应用性。如生产经营、运输、工程施工等实际问题，通常通过列方程（组）来解决，构建方程（组）的关键是弄清问题中的数量关系，寻找等量关系。例 1：明裕商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 盏，调查表明，这
5、种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 盏，为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少盏？分析：这是一个涉及经营决策的实际问题，要实现预期利润月标（10000 元，已知量），就要确定好商品的售价及销售量（未知），若设每盏台灯售价提高 X 元，这两个未知量都可以用含有 X 的代数式来表示，则每盏台灯售价（ 40+X）元，每月能售出（60-10X ）盏，根据利润=（售价-进价） 售量，可构建如下方程来刻画这三个量的关系：（ 40+X-30）（ 600-10X）=10000解方程得：X1=10 X2=40方程的两个根都符合实际意义，因此，商场的经
6、营方案有两种可供选择。方案一：每盏台灯定价为：40+10=50（元），每月应进台灯： 600-1010=500（盏）方案二：每盏台灯定价为：40+40=80（元），每月应进台灯： 600-4010=200（盏）2、构建不等式模型。在现实生活生产中，有些问题中的数量之间并不一定存有“相等关系” 。如方案设计，优化选择等问题，此时如果有用惯性的方程思维思考，哪是行不通的，要根据问题中的不等关系，构建不等式模型。通过解不等式，确定未知量的取值范围，再根据实际意义来讨论确定未知量的取值。例 2：某果农今年收获芒果 30 吨，香蕉 13 吨，计划用大小两种货车共 10 辆将这批水果全部运往外省销售，已知
7、大货车可以装芒果 4 吨和香蕉 1 吨，小货车可以装芒果和香蕉各 2 吨。（1）该果农安排两种货车运货时，有哪几种运送方案？（2）若大货车每辆要付运费 2000 元，小货车每辆要付运费 1300 元，则该农民应选择哪一种方案才能使运费最少？最少运费是多少？分析：为了确保能将全部水果运走，所租车辆的总载重要不小于水果的总重量，要特别注意“总载重 ”不一定恰好等于 “货重”。因此，不能用方程来表示此题中的数量关系，要用不等式来描述他们的不等关系。解：（1）设租大车 X 辆，则租小车（10-X）辆依题意得：4X+2（10-X）30X+2（10-X）13解得：5X7根据实际意义，X 的值为 5、6 和
8、 7。共有三种租车方案。方案一：租大车 5 辆，小车 5 辆。方案二：租大车 6 辆，小车 4 辆。方案三：租大车 7 辆，小车 3 辆。（2）通过计算三种方案的总费用分别为 16500 元，17200 元和 17900 元，方案一最省钱，应选择方案一。3、构建函数模型。现实生活中，普遍存在着最优化问题，如最佳设计、最佳投资、最小成本和最大利润等，这些问题都可以归结为函数的最值问题（求函数的最大值或最小值）。通过构建其相应的函数，确定自变量的取值范围，运用函数知识和方法解决。例 3：其宾馆有 50 个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天 180 元时，房间会全部住满，当每个房间的定价每增加
9、10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，房价定为多少时，宾馆的利润最大？分析：利润、房价和客房开住数量三者存在函数关系，若设每个房间在原价的基础上增加 X 元（X0 ，且 X 为 10 的倍数），则客房每天可开住（50-X/10）间，用 Y 表示当天利润，可构建函数为：Y=（50-X/10）（180+X-20）即 Y=-1/10（X-170）2+10890由二次函数知识可知，该函数存在最大值，当 X=170 时，函数最大值 Y=10890。所以，当房价定为：180+170=350（元）时，宾馆的利润最大（10890 元）。4、构建几何模型
10、现实世界有许多实际问题，需通过建立相应的几何模型，应用几何知识、方程知识和三角知识来解决。如航行、测量、建筑等问题。例 4：海中有一个小岛，它的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，现在测得小岛在北偏东 60 方向上，航行 12 海里后，再测得小岛在北偏东 30 方向上，如果渔船上不改变航线，继续向东航行，有没有触礁的危险？分析：要判断渔船有没有触礁的危险，就要判断渔船的航线和以小岛为圆心，8 公里为半径的圆的位置关系，这就要由直线和圆的位置关系知识来确定，以上复杂的实际问题可以抽象成以下简洁明了的几何图形来呈现。如图：A 表示海岛； B、C 分别表示渔航前后的位置； B=12，A
11、C BD，求 AC 的长。用解直角三角形知识容易求得 AC=ADsinADC=12sin60=6 3 8，所以，渔船的航线偏离了以 A 为圆心， 8 为半径的圆，渔船没有触礁的危险。五、如何在教学中培养学生数学建模思想和能力学生数学建模思想和建模能力的形成，需要通过长期的系统的循序渐进地培养和训练，教师在教学过程中可着重从以下几方面有意识地进行培养。1、加强基础知识和基本能力教学数学建模是多种数学方法能力的综合，在建模过程中，要求学生要具有观察、分析、抽象、作图、想象、数学符号表达等能力，数学模型建立后，还要运用相应的数学知识去推理、演算、求解。夯实双基是掌握建模思想方法的前提。2、结合教材，
12、透渗建模思想数学建模思想作为一种重要的数学思想方法，普通渗透在初中数学教材的各个板块知识当中，其中方程、函数、不等式、三角函数等知识内容中较为常见，教学时教师要善于发掘，巧妙设计，让学生在学习活动中通过不断地经历、体会、感悟、内化、提升，最终形成思想方法。3、加强案例教学和专题训练实际问题（情景问题）是数学建模思想能力培养教学的重要载体，教师要充分利用教材中的案例或另设问题，让学生去探索，使他们在分析思考、讨论、探寻解决略策、求解等解决问题各个环节当中，理解掌握建模思想方法的基本步骤，还要及时组织学生进行反思，总结解题方法，积累经验，并及时给予类似问题让学生训练，使他们能够举一反三，触类旁通，能够娴熟地应用数学建模思想方法去解决问题。在数学知识和问题解决之间隔着一层不薄不厚的心智的膜，穿透它需要建模思想的智慧锋芒，数学建模思想方法使数学知识汇集成了实际问题解决的自觉意识和能力。参考：1 、中学数学教材教法赵振威主编 华东师范大学出版社 1994 年2、数学课程村准北京师范大学出版社 2004 年3、数学方法论与解题研究张雄、李得虎编著 教育出版社 2003 年
