1、吉林省辽源市田家炳高中友好学校 2017 届高三（上）期末考试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若全集 U=0，1，2，3，4，5，6，A=1，3 ，B= 3，5，则 U（A B ）=（ ）A2 ，4 B2，4，6 C0，2，4 D0，2，4，62设 i 为虚数单位，复数 等于（ ）A 1+i B1i C1i D1+i3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）Ay=x+sinx By=xsinx Cy=x +cosxDy=xcosx4命题“x 0R，2 0”的否定为（ ）A xR，2 x
2、0 BxR ，2 x0 CxR ，2 x0 D xR，2 x05若 aR，则 a=2 是（a 1）（a2）=0 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D77一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A6 +8 B12+8 C12+7 D18+28函数 f（x）=sin（x+ ）（x R，0，| ）的部分图象如图所示，则函数 f（x ）的解析式为（ ）Af （x）=sin（2x ） Bf（x）=sin（2x + ） Cf（x）=sin（4x + ）Df（x ） =sin（
3、4x ）9点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点 A 的距离|PA|1的概率为（ ）A B C D10已知两点 A（2，0 ），B（0，2），点 C 是圆 x2+y22x=0 上的任意一点，则ABC 的面积最小值是（ ）A3 B3+ C D11已知数列a n的通项公式为 an= （n N+），其前 n 项和 Sn= ，则直线 + =1 与坐标轴所围成三角形的面积为（ ）A36 B45 C50 D5512若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件：点 A、B 都在 f（x ）的图象上；点 A、B 关于原点对称，则对称点对（A，B ）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B
4、）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）已知函数 f（x）=，则 f（x）的 “姊妹点对”有（ ）个A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13如图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 14甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为 a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a，b1， 2，3，若|a b|1，则称甲乙心有灵犀，则他们心有灵犀的概率为 15已知三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为 16已知抛物线 y2=4x 的焦点 F 与椭圆 + =1（ ab0）的一个焦点重合，它们在第
5、一象限内的交点为 P，且 PF 与 x 轴垂直，则椭圆的离心率为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）等差数列a n中，a 2=8，S 6=66（1）求数列a n的通项公式 an；（2）设 bn= ，T n=b1+b2+b3+bn，求 Tn18（12 分）设ABC 的内角 A、B 、C 所对的边长分别为 a、b 、c ，且满足a2+c2b2= ac（1）求角 B 的大小；（2）若 ，BC 边上的中线 AM 的长为 ，求ABC 的面积19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面ABCD，E 为
6、 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设 AP=1，AD= ，三棱锥 PABD 的体积 V= ，求 A 到平面 PBC 的距离20（12 分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族 ”，否则称为 “非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率第一组 25，30 ） 120 0.6第二组 30，35 ） 195 p第三组 35，40 ） 100 0.5第四组 40，45 ） a 0.4第五组 45，50 ） 30 0.3第六组 50
7、，55 ） 15 0.3（）补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；（）从年龄段在40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45）岁的概率21（12 分）已知椭圆 =1（ab 0）的离心率 e= ，坐标原点到直线 l：y=bx+2 的距离为 ，（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y=kx+2（k0）与椭圆相交于 C、D 两点，是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过点 E（ 1，0）？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由22（12 分）已知函数 f（x ）= x2+lnx（1）求
8、函数 f（x）在区间 1，e 上的最小值及最大值（2）求证：在区间（1，+）上，函数 f（x ）的图象在函数 g（x ）= x3 的图象的下方参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1若全集 U=0，1，2，3， 4，5，6，A=1 ，3，B=3，5，则 U（A B ）= （ ）A2 ， 4 B2，4，6 C0 ，2 ，4 D0，2，4 ，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：全集 U=0，1，2 ，3，4，5 ，6 ，A=1，3，B=3，5，AB=1，3
9、，5，则U（ AB ）=0 ，2，4，6，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集和并集的定义是解决本题的关键2设 i 为虚数单位，复数 等于（ ）A1+i B1i C1 i D1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解： = 故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）Ay=x+sinx By=xsinx Cy=x+cosx Dy=xcosx【考点】余弦函数的奇偶性【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项得答案【解答】解：函数 y=f（x ）=x+sin
10、x 的定义域为 R，且 f（ x）= f（x） ，y=x+sinx 为奇函数；y=f（x）=xsinx 的定义域为 R，且 f（x ）=f（x） ，y=xsinx 为偶函数；y=x+cosx 的定义域为 R，由 f（ x）f（x）=0，得x+cosx xcosx=0，得 x=0，不满足对任意 x都成立，由 f（x）+f （x）=0，得x+cosx+x+cosx=0，得 cosx=0，不满足对任意 x 都成立，y=x+cosx 为非奇非偶函数；y=f（x）=xcosx 的定义域为 R，且 f（ x）=f（x） ，y=xcosx 为奇函数故选：C【点评】本题考查函数就偶性的性质，训练了函数奇偶性的
11、判定方法，是基础题4命题“ x0R ，2 0”的否定为（ ）AxR，2x0 Bx R，2x0 Cx R，2x0 D xR ，2x0【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x0R ，2 0”的否定为：xR，2x0故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5若 aR，则 a=2 是（a1） （a2）=0 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据一元二次方程根的定义，我们判断出 a=2（a 1
12、） （a2 ）=0 及（a1 ） （a2）=0a=2 的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案【解答】解：当 a=2 时， （a1） （a2 ）=0 成立故 a=2（a1） （a 2）=0 为真命题而当（a1） （a2）=0，a=1 或 a=2，即 a=2 不一定成立故（a1） （a 2） =0a=2 为假命题故 a=2 是（a1） （a2）=0 的充分不必要条件故选 A【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断 a=2（a 1） （a2 ）=0 及（a1 ） （a2）=0a=2 是解答本题的关键6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D7【考点】程序框
13、图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足 S= 100 的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 11 3第四圈 是 2059 4第五圈 否最终输出结果 k=4故答案为 A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模
14、型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A6+8 B12+8 C12+7 D18+2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个直三棱柱， 三棱柱的底面是一个腰长为 2 的，底边上的高是 1 的等腰三角形，侧棱长是 3，根据三棱柱的表面积包括三部分，写出表示式，得到结果【解答】解：由题意知几何体是一个直三棱柱，三棱柱的底面是一个腰长为 2 的，底边上的高是 1 的等腰三角形，侧棱长是 3，三棱柱的表面积是 2 2 1+3（2+2+2 ）=12+8 ，故选 B【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图，本题
15、是一个基础题，也是易错题，底面的高容易出错8函数 f（x） =sin（x+） （xR ，0，| ）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）Af （x）=sin （ 2x ） Bf（x）=sin （2x+ ） Cf（x）=sin（4x+ ）Df （x） =sin（4x ）【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】根据函数的周期求出 ，结合五点对应法求出 即可【解答】解：由图象得 = = ，即 T=，即 T= ，即 =2，则函数 y=sin（2x+） ，由五点对应法得 2 += ，= = ，则 f（x）=sin（2x+ ） ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析
16、式的求解，结合条件求出 和 的值是解决本题的关键9点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点 A 的距离|PA|1 的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型；两点间的距离公式【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD 的面积，及动点 P 到定点 A 的距离|PA|1 对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案【解答】解：满足条件的正方形 ABCD，如下图示：其中满足动点 P 到定点 A 的距离|PA|1 的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积 S 正方形=1阴影部分的面积故动点 P 到定点 A 的距离|PA|
17、1 的概率 P= =故选：C【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量” 只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件 A 的基本事件对应的“ 几何度量”N （A） ，再求出总的基本事件对应的“ 几何度量”N ，最后根据 P= 求解10已知两点 A（2，0） ，B （0，2） ，点 C 是圆 x2+y22x=0 上的任意一点，则ABC 的面积最小值是（ ）A3 B3+ C D【考点】直线和圆的方程的应用【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求ABC 的面积最小值【解答】解：直线 A
18、B 的方程为 ，即 xy+2=0圆 x2+y22x=0，可化为（x 1）2+y2=1，圆心（1，0 ）到直线的距离为 d= =圆上的点到直线距离的最小值为|AB|=ABC 的面积最小值是 =故选 A【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题11已知数列an的通项公式为 an= （nN+ ） ，其前 n 项和 Sn= ，则直线 +=1 与坐标轴所围成三角形的面积为（ ）A36 B45 C50 D55【考点】数列的求和；直线的截距式方程【分析】利用裂项相消法求出 Sn，由 Sn= 求出 n 值，从而得到直线方程，易求该直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公
19、式可得答案【解答】解：an= = ，则 Sn=1 + =1 ，由 Sn= ，即 1 = ，解得 n=9，所以直线方程为 ，令 x=0 得 y=9，令 y=0 得 x=10，所以直线 与坐标轴围成三角形面积为 109=45故选 B【点评】本题考查裂项相消法求数列的前 n 项和、考查直线的截距式方程、三角形面积公式，属中档题12若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件：点 A、B 都在 f（x ）的图象上；点 A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A ，B）与（B ，A ）可看作同一个“姊妹点对” ） 已知函数 f（x）= ，则 f（x）的“姊妹点对” 有（ ）个A
20、1 B2 C3 D4【考点】函数的值【分析】首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数 （x ）=2ex+x2+2x 零点的个数即可【解答】解：设 P（x，y） （x 0） ，则点 P 关于原点的对称点为 P（ x，y） ，于是 ，化为 2ex+x2+2x=0，令 （x）=2ex+x2+2x ，下面证明方程 （x）=0 有两解由 x2+2x0 ，解得2x 0，而 0（x 0） ，只要考虑 x2，0 即可求导 （x）=2ex+2x+2，令 g（x ）=2ex+2x+2，则 g（ x）=2ex+20，（x ）在区间2，0上单调递增，而 （ 2）=2e2 4+2
21、0 ，（1 ）=2e1 0，（x）在区间（2，0 ）上只存在一个极值点 x0而 （2）=2e20 ，（1）=2e 110， （0）=20，函数 （x）在区间（2，1） ， （1 ，0）分别各有一个零点也就是说 f（x）的“ 姊妹点对”有两个故选 B【点评】本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13如图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 144 【考点】归纳推理【分析】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数与行数相同，之间的数总是上一行对应的两个数的积，即可得出
22、结论【解答】解：由题意 a=1212=144故答案为：144【点评】此题主要归纳推理，其规律：每一行的第一个数和最后一个数与行数相同，之间的数总是上一行对应的两个数的积通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力14甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为 a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a，b1，2 ，3，若|a b|1 ，则称甲乙心有灵犀，则他们心有灵犀的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】基本事件总数 n=33=9，再用列举法求出甲乙心有灵犀包含的基本事件的个数，由此能求出他们心有灵犀的概率【解答】解：甲想一数字记为
23、 a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且a， b1，2，3，基本事件总数 n=33=9，|ab|1，则称甲乙心有灵犀，甲乙心有灵犀，包含的基本事件有：（1 ， 1） ， （1，2） ， （2，1） ， （2 ，2） ， （2 ，3） ， （3，2 ） ， （3，3） ，共有 7 个，他们心有灵犀的概率为 p= 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用15已知三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为 3 【考点】球的体积和表面积【分析】三棱锥扩展为四棱柱（长方体） ，两个几何体的外接
24、球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径【解答】解：三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA=2，SB=SC=4 ，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为： =6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3故答案为：3【点评】本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力16已知抛物线 y2=4x 的焦点 F 与椭圆 + =1（ ab0）的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 P，且 PF 与 x 轴垂直，则椭圆的离心率为 1 【考点】双曲线的简单性质【分析】由抛物线的方程算出抛物线的焦点为 F
25、（1 ，0） ，由 TFx 轴算出点 P 坐标为（1 ， 2） ，得到椭圆的半焦距 c=1 且点 P（1 ，2）在椭圆上，由此建立关于 a、b 的方程组解出 a= +1，由椭圆的离心率加以计算，可得答案【解答】解：抛物线的方程为 y2=4x，抛物线的焦点为 F（1，0） ，又抛物线与椭圆在第一象限内的交点为 T，且 TFx 轴，设 P（1，y0） ，代入抛物线方程得 y02=41=4，得 y0=2（舍负） 因此点 P（1，2）在椭圆上，椭圆的半焦距 c=1， ，解之得 a2=3+2 ，b2=2+2 ，由此可得 a= +1，椭圆的离心率 e= 1故答案为 1【点评】本题给出抛物线的焦点 F 是椭
26、圆的右焦点，它们在第一象限的交点在 x 轴上的射影恰好为点 F，求椭圆的离心率着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （ 10 分） （ 2016长沙二模）等差数列an 中，a2=8，S6=66（1 ）求数列an的通项公式 an；（2 ）设 bn= ，Tn=b1+b2+b3+bn，求 Tn【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式【分析】设等差数列an的公差为 d，则有 ，解之可得 a1=6，d=2，进而可得通项公式；（2）把（1）的结果代入可得 bn 的通项，由列项相
27、消法可得答案【解答】解：（1）设等差数列 an的公差为 d，则有 （2 分）解得：a1=6，d=2，（4 分）an=a1+d（n1 ）=6+2 （n 1）=2n+4 （6 分）（2 ） bn= = = （9 分）Tn=b1+b2+b3+bn= + + = = （12 分）【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，设及列项相消法，属基础题18 （ 12 分） （ 2014修水县校级模拟）设ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为a、 b、c，且满足 a2+c2b2= ac（1 ）求角 B 的大小；（2 ）若 ，BC 边上的中线 AM 的长为 ，求ABC 的面积【考点】余弦定理；三角形的面
28、积公式【分析】 （1）利用余弦定理表示出 cosB，将已知等式变形后代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（2 ）利用正弦定理化简已知等式，求出 cosA 的值，由 A 为三角形内角，利用利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数，确定出 C 的度数，设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|= m，|CM|= m，利用余弦定理列出关于 m 的方程，求出方程的解得到m 的值，确定出|CA|与|CB|，即可确定出三角形 ABC 的面积【解答】解：（1）a2+c2b2= ac，cosB= = = ，B 为三角形内角，B= ；（2 ）由正弦定理： =
29、= ，将 2bcosA= （ccosA+acosC）化简得：2sinBcosA= （sinCcosA+sinAcosC） ，即 2sinBcosA=sinB，cosA= ，A= ，C= ，设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|= m，|CM|= m，由余弦定理可知：|AM|2=|CM|2+|AC|22|CM|AC|cos ，即 7= m2+m2+ m，解得：m=2，则 SABC= |CA|CB|sin = 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19 （ 12 分） （ 2014新课标）如图，四棱锥 PABCD 中，底
30、面 ABCD 为矩形，PA平面ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设 AP=1，AD= ，三棱锥 PABD 的体积 V= ，求 A 到平面 PBC 的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面 AEC；（）通过 AP=1，AD= ，三棱锥 PABD 的体积 V= ，求出 AB，作 AHPB 角 PB 于H，说明 AH 就是 A 到平面 PBC 的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 E
31、O，ABCD 是矩形，O 为 BD 的中点E 为 PD 的中点，EO PBEO平面 AEC，PB平面 AECPB平面 AEC；（）AP=1，AD= ，三棱锥 PABD 的体积 V= ，V= = ，AB= ，PB= = 作 AHPB 交 PB 于 H，由题意可知 BC平面 PAB，BC AH，故 AH平面 PBC又在三角形 PAB 中，由射影定理可得：A 到平面 PBC 的距离 【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力20 （ 12 分） （ 2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合
32、低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为 “非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率第一组 25， 30） 120 0.6第二组 30， 35） 195 p第三组 35， 40） 100 0.5第四组 40， 45） a 0.4第五组 45， 50） 30 0.3第六组 50， 55） 15 0.3（）补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；（）从年龄段在40，50 ）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45 ）岁的
33、概率【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图【分析】 （I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出 n、a、p的值（II）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果【解答】解：（）第二组的频率为 1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，高为 频率直方图如下：第一组的人数为 ，频率为 0.045=0.2， 由题可知，第二组的频率为 0.3，第二组的人数为 10000.3=300， 第
34、四组的频率为 0.035=0.15，第四组的人数为 10000.15=150，a=1500.4=60（）40，45 ）岁年龄段的“低碳族”与45，50）岁年龄段的“低碳族” 的比值为60： 30=2：1，所以采用分层抽样法抽取 6 人， 40，45）岁中有 4 人，45，50 ）岁中有 2 人设40 ，45）岁中的 4 人为 a、 b、c 、d，45，50）岁中的 2 人为 m、n，则选取 2 人作为领队的有（a ， b） 、 （a， c） 、 （a，d ） 、 （a，m） 、 （a，n ） 、 （b，c ） 、 （b，d） 、 （b，m） 、（b，n） 、 （c，d） 、 （c，m） 、 （
35、c，n） 、 （d，m） 、 （d，n） 、 （m，n） ，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在40，45）岁的有（a，m） 、 （a，n ） 、 （b，m） 、 （b，n） 、（c ， m） 、 （c ， n） 、 （d，m） 、 （d，n） ，共 8 种选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45）岁的概率为 【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目21 （ 12 分） （ 2016 秋辽源期末）已知椭圆 =1（ ab0）的离心率 e= ，坐标原点到直线 l：y=bx+
36、2 的距离为 ，（1 ）求椭圆的方程；（2 ）若直线 y=kx+2（k 0 ）与椭圆相交于 C、D 两点，是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过点 E（1 ，0）？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的简单性质【分析】 （1）利用直线 l：y=bx+2，椭圆的离心率 e= ，坐标原点到直线 l 的距离为 ，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（2 ）直线 y=kx+2 代入椭圆方程，利用韦达定理及 CD 为圆心的圆过点 E，利用数量积为0，即可求得结论【解答】解：（1）直线 l：y=bx+2，坐标原点到直线 l 的距离为 =b=1椭圆
37、的离心率 e= =（ ）2 ，a2=3所求椭圆的方程是 +y2=1；（2 ）直线 y=kx+2 代入椭圆方程，消去 y 可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0=36k2 36 0，k 1 或 k 1设 C（x1 ，y1） ，D（x2，y2） ，则有 x1+x2= ，x1x2= =（x1+1，y1） ， =（x2+1 ，y2） ，且以 CD 为圆心的圆过点 E，ECED（x1+1 ） （x2+1）+y1y2=0（1+k2）x1x2+（2k+1 ） （x1+x2）+5=0（1+k2） +（2k+1）（ ）+5=0解得 k= 1 ，当 k= 时，以 CD 为直径的圆过定点 E【点评】本题考查椭圆
38、的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解22 （ 12 分） （ 2016 秋辽源期末）已知函数 f（x）= x2+lnx（1 ）求函数 f（x）在区间1，e上的最小值及最大值（2 ）求证：在区间（1，+）上，函数 f（x）的图象在函数 g（x）= x3 的图象的下方【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；（2 ）构造函数设 F（x）= x2+lnx x3，利用导数可知函数 F（x）的单调性为递减，从而可得 F（ x）F（1）=0 可证【解答】解：（1）由 f（x）= x2+lnx 有 f（x）=x+ ，当 x1，e时，f（x）0f（x）max=f（e）= e2+1，f（x）min=f（1）= ，（2 ）设 F（x）= x2+lnx x3，则 F（x）=x+ 2x2= ，当 x1，+）时，F（x ）0 ，且 F（1）= 0 故 x1，+）时 F（x）0 x2+lnx x3，得证【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性
