1、- 1 -娄底市 2016 年下学期高三年级教学质量检测数学（理科）试题第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数 ，其中 i 是虚数单位，则 的模为12,zii12zA. B. C. D. 142.下列说法正确的是A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” 1a2 1a2B. 在 中，“ ” 是“ ”必要不充分条件ABC22siniABC. “若 ，则 ”是真命题 tan3D. 使得 成立0,x04x3.我国古 代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日
2、各一尺，大鼠 日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 nA. 4 B. 5 C. 2 D. 3- 2 -4.下列四个图中，函数 的图象可能是ln1xy- 3 -5.设实数 满足 ，则 的取值范围是,xy20x13yxA. B. C. D. 1,51,51,531,6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 S 为 （注：圆台侧面积公式为）RrlA. B. C. D. 1732051721757.已知 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，且 ，则向量 在向量ABC 0ABCA方向上的投影为A. B. C. D.
3、33- 4 -8.在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为1ABC12AB1ABCA. B. C. D.6359.已知函数 的图象关于直线 对称，则sin2cos0yxx1xsin2A. B. C. D. 354510.已知函数 是定义在 上的偶函数, 为奇函数， ,当 时，fxR1fx0f0,1x，则在区间 内满足方程 的实数 为2logfx8,92ffA. B. C. D.17653467811.如图，给定由 10 个点（任意相邻两点距离为 1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A. 12 B. 13 C. 15 D. 1612.已知函数
4、在 处取得最大值，以下各式中：ln,1xff0x 0fx0012f0fx正确的序号是A. B. C. D. - 5 -第卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.设函数 ，则满足 的 取值2,1xf10xfx范围为 .14.多项式 的展开式中 的系数为 .（用 数字作答）623abc23abc15.有一个电动玩具，它有一个 的长方形（单位：cm）和一个半径为 1cm 的小圆盘（盘9中娃娃脸），他们的连接点为 A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点 A 出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的
5、概率为 .16.设数列 满足 ，且 ，若 表示不超过 的最大整na12,6a212nnaxx数，则 .12201707三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17.（本题满分 10 分）已知函数 21,1.fxgxa（1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 a 的取值范围；f- 6 -（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围.xRfxg18.（本题满分 12 分）函数 的部分图像如图sin0,2fx所示，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数yf4的图象.gx（1） 求函数 的解析式；ygx（2）在 中，角 A,B,C 满足
6、 ，且其外接圆的半径ABC2sin13ABgCR=2，求 的面积的最大值.19.（本题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ，n 为正整数.na12nSa（1）令 ，求证：数列 为等差数列，并求出数列 的通项公式；2nbnbna（2）令 ，求 .来源:Zxxk.Com12,nnncaTcc T20.（本题满分 12 分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：- 7 -从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图： （1）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水
7、量的户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到 n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出 n 的值 .21.（本题满分 12 分）如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 中，侧面1ABC底面 ，1ACB160.AC（1）求侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小；11（2）已知点 D 满足 ，在直线 上是否存在BA1A点 P,使 DP/平面 ？若存在，请确定点 P 的位置，若不存1C在，请说明理由.22.（本题满分 12 分）已知函数 在定义域内有两个不2lnafxxR同的极值点.（1）求实数 a 的取值范围；- 8 -
8、（2）记两个极值点为 ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，求12,x12x012xe的取值范围.- 9 -一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA二、填空题： 13. 14. -6480 15. 16.2016 三 ：解答题 17.解：（）方程| f（ x）|= g（ x），即| x21|= a|x1|，变形得|x1|（| x+1| a）=0，显然， x=1 已是该方程的根，从而欲使原方程只有 一解，即要求方程| x+1|=a 有且仅有一个等于 1 的解或无解， a05 分（）当 x R 时，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即（ x21） a|x1|（*）对 xR 恒成立，当 x
9、=1 时，（*）显然成立，此时 a R；当 x1 时，（*）可变形为 a ，令 （ x）= =- 10 -因为当 x1 时， （ x）2，当 x1 时， （ x）2，所以 （ x）2，故此时a2综合，得所求实数 a 的取值范围是 a210 分18.（）由图知 ，解得 ，即由于 ，因此 3 分即函数 的解析式为 6 分（）- 11 -，即 ，所以 或 1（舍）， 8分由正弦定理得 ，解得由余弦定理得 ， （当且仅当 a=b 等号成立） 的面积最大值为 .12 分19.解：（I）在 中，令 n=1，可得 ，即当 时， ，.来源:Zxxk.Com又 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.于是 .6
10、 分- 12 -(II)由（I）得 ，所以由-得12 分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的 10户中用水量为一阶的有 2户，二阶的有 6户，三阶的有 2户。第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3 1 分，所以 X的分布列为X来源 :Zxxk.Com 0 1 2来源:Z,xx,k.Com 3- 13 -P5 分EX= 6 分(2)设 Y为从全市抽取的 10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 Y B ,所以 ，其中 8 分设 10 分若 ，则 ， ；若 ，则 ， 。所以当 或 ， 可能最大，所以 的取值为 6。12 分21.解：（1)侧面 底面 ，作 于点 ， 平面- 14 -又
11、，且各棱长都相等， ， ， 2 分故以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则， ， ， ， ， ， 4 分设平面 的法向量为 ，则 ,解得 由 而侧棱 与平面 所成角，即是向量 与平面 的法向量所成锐角的余角，侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小为 6 分（2） ，而 又 ，点 的坐标为 假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为 ， ， 为平面 的法向量，- 15 -由 ，得 10 分又 平面 ，故存在点 ，使 ，其坐标为 ，即恰好为 点 12 分22.解：（）由题意知，函数 f（ x）的定义域为（0，+），方程 f（ x）=0在（0，+）有两个不同根； 即方程 lnxax=0 在（
12、0，+）有两个不同根； （解法一）转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0，+）上有两个不同交点，如右图 可见，若令过原点且切于函数 y=lnx图象的直线斜率为 k，只须 0 a k 令切点 A（ x0， lnx0）， 故 ，又 ，故 ，解得，x0=e， 故 ， 故 4 分来源:学.科.网 Z.X.X.K（解法二）转化为函数 与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点 又 ， 即 0 x e时， g（ x） 0， x e时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（0， e）上单调增，在（ e，+ ）上单调 减 故 g（ x）极大= g（ e）= ； 又 g（ x）有且只有一
13、个零点是 1，且在 x0时， g（ x） ，在在 x+时，- 16 -g（ x）0， 故 g（ x）的草图如右图， 可见，要想函数 与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点， 只须 4 分（解法三）令 g（ x）= lnxax，从而转化为函数 g（ x）有两个不同零点， 而 （x0）， 若 a0，可见 g（ x） 0 在（0，+）上恒成立，所以 g（ x）在（0，+）单调增， 此时 g（ x）不可能有两个不同零点 若 a0，在 时， g（ x）0，在 时， g（ x）0， 所以 g（ x）在 上单调增，在 上单调减，从而= ， 又因为在 x0时， g（ x） ，在在 x+时， g（
14、x）， 于是只须： g（ x）极大0，即 ，所以 综上所述， 4 分（）因为 等价于 1+ lnx1+lnx2 由（）可知 x1， x2分别是方程 lnxax=0 的两个根， 即 lnx1=ax1， lnx2=ax2 所以原式等价于 1+ ax1+ax2=a（ x1+x2），因为 0，0 x1 x2， - 17 -所以原式等价于 又由 lnx1=ax1， lnx2=ax2作差得， ，即 所以原式等价于 ， 因为 0 x1 x2，原式恒成立，即 恒成立 令 ， t（0，1）， 则不等式 在 t（0，1）上恒成立 8 分令 ， 又 = ， 当 21时，可见 t（0，1）时， h（ t）0， 所以 h（ t）在 t（0 ，1）上单调增，又 h（1）=0， h（ t）0 在 t（0，1）恒成立，符合题意 当 21 时，可 见 t（0 ， 2）时， h（ t）0， t（ 2，1）时 h（ t）0， 所以 h（ t）在 t（0， 2）时单调增，在 t（ 2，1）时单调减，又 h（1）=0， 所以 h（ t）在 t（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去 综上所述，若不等式 恒成立，只须 21，又 0，所以 1 12 分- 18 -
