1、“幂的运算”学法导航一、知识点扫描1同底数幂乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加即aman=am+n（m、n 是正整数）当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a manap=am+n+p（m、n、p 是正整数）2幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即（a m） n=amn（m、n 是正整数）多重乘方也具有这一性质，如：（a m） np=amnp（m、n 是正整数）3积的乘方：等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即（ab）n=anbn （n 是正整数）积的乘方也适用于多个数相乘，如：（abc） n=anbncn.二、学习方法导航1幂的运算性质的导入
2、，是一个由具体到抽象、有特殊到一般的认识过程学习时应以学生已有的知识和经验为出发点，让学生自主探索、合作交流2幂的运算是学习整式的乘法的基础，学习时要重视法则的语言的表述，进行“以理驭算”的训练，为后续的学习做必要的铺添3要注意公式中的底数 a、b 的意义的理解：a、b 代表的不仅可以是单独的数、单独的字母、还可以的一个任意的代数式这体现了整体思想和把“新问题转化为旧知识”的化归思想三、易混淆的几个问题辨析例 1 判断下列等式是否成立：(1)(- x)2- x2，(2)(- x3)-(- x)3，(3)( x-y)2( y-x)2，(4)( x-y)3( y-x)3，错解：全部正确诊断：(1)
3、对于-a 2与（-a） 2的区别：前者表示 a 的平方的相反数，后者表示的是 a 的相反数的平方如：-a 4（-a） 4应等于-a 8，而不能错认为等于 a8，所以(1)(2)是错误的(2)当 n 为偶数时，（a-b） n=（b-a） n，当 n 为奇数时，（a-b） n=-（b-a） n所以(4)是错误的正确解答：上述等式成立的是(3)例 2 计算：(1)a3a3； (2)a 3a4； (3)x 5x5；(4)x5x 5； (5)y y 13； (6)m 2 mm 3 m错解：(1)a 3a3=2a3； (2)a 3a4=a12；(3)x5x5=x25； (4)x 5x 5=2x10；(5)
4、yy13=y13；(6)m2mm 3m=m3m 4=m7诊断： (1)(4)两小题的解答错把同底数幂的乘法运算与同底同指数幂的加法运算相混淆；(2)(3)两小题错把幂之间的运算符号用到指数运算中，即把同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算法则误认为“底数不变，指数相乘”；(5)小题错把第一个幂中 y 的指数 1 误认为是零；(6)小题错把同底数幂相加误认为是同底数幂相乘正确解答：(1)a 3a3=a6； (2)a 3a4=a7；(3)x5x5=x10； (4)x 5x 5=2x5；(5)y y13=y14； (6)m 2 mm 3 m=m3m 4说明：在学习同底数幂的乘法时，应注意不要把幂的
5、乘法运算与整式加法运算相混淆幂的乘法只要求同底就可以用性质计算，这就是“底数不变，指数相加”；幂的加法则不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，这就是说，它们是同类项时才能进行加法计算，这时是幂不变，系数相加例 3 下列各等式：(1)(a) 2(a)3(a)(a)(a)(a)(a)a 5；(2)(a 2)(a) 3(a a)(a)(a)(a)=a 5；(3)(a) 2(a 3)=(a)(a)(aaa)=a 5；(4)(a 2)(a 3)=(aa)(aaa)=a 5其中错误的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个错解：根据乘方的意义选 D诊断：(1)式与乘方的意义相符，所以是正确的(2)式
6、第一步与乘方的意义相符，但因有偶数个负数相乘，积为正号(a 本身的正负不予考虑)，故结果是错误的(3)式的第一步与乘方的意义相符，因有奇数个负数相乘，积为负，故结果是对的(4)式相当于两个负数相乘，其积的符号为正，故结果是错误的正确解答：根据乘方的意义应选 C例 4 下列各等式中，仅有一个括号内填入 t3才能使等式成立，这个等式是( )At 3()2t 3Bt 2( )t 6Ct 2( )t 5 2t 5Dt 2( )t 62t 6错解：因为 t 2t3=t6，所以 t2t3t 6=2t6故选 D诊断：将“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”误认为“指数相乘”，因而产生t2t3=t6 的错误正确
7、解： 因为 t2t3=t5，所以 t 2(t3)t 5=t5t 5=2t5故应选 C例 5 计算：(1)(a 5)3；(2) a 5a3错解：(1)(a 5)3=a8；(2)a5a3=a15诊断：(1)误将幂的乘方运算法则与幂的乘法运算法则相混淆(2)误将“同底数幂相乘”按“幂的乘方”进行计算正确解法：(1)(a 5)3=a15；(2)a 5a3a 8例 6 计算：(1)x 2(x3)4；(2)x 2(x 3)4错解：(1)x 2(x3)4=(x 2+3)4=x 20；(2)x2(x 3)4=x2(x 12)=x 14诊断： (1)x 2(x3)4里包括两级运算：即乘法运算和乘方运算，上面解答
8、错在把运算顺序颠倒了其实按照运算顺序，应先做乘方运算，后做乘法运算，即x 2(x3)4=x 2x12=x 14(2)上面解答或是没有真正理解乘方的意义，或是未把(x 3)4看作积的乘方，即(1)(x 3)4=(1) 4(x3)4=x12说明： 学习幂的乘方时，注意防止将幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质相混淆防止的办法是要注意每一性质得来的根据例 7 计算：(1)(a 3)2；(2)(x n-1)2错解：(1)(a 3)2=a9；(2)(x n-1)2x 2n-1诊断：(1)由于没有掌握幂的乘方性质，把指数相乘误认为将指数乘方(2)错在 2 没有与 n1 中的每一项相乘，事实上，当幂指数是一个多
9、项式时，乘方的次数必须同幂的指数中每一项相乘正确解法：(1)(a 3)2=a6；(2)(x n-1)2=x2n-2以上所述是产生幂运算错误两种知识方面的因素此外，还有非知识方面的因素，象错 am+ama 2m，也有不认真仔细审题之过(没注意左边就是两同类项之和，可合并)又如计算 amnam-n不就是计算被除数与除数相等时的商吗？直接观察便知结果是 1，但却偏偏出现误算 am-nam-n=a(m-n)-(m-n)=am-n-m-n=a-2n，这是心理素质不稳定、急躁而出现认知故障，造成运算刻板，最终导致错误四、幂的运算法则逆向运用学习了幂运算后，对法则的正向运用往往比较得心应手，但在解决许多数学
10、问题时如逆向运用法则，则可以化难为易，事半功倍现举例说明：例 1 已知；a m=2，a n=3，使求 a2m+3n的值解；原式=a 2ma3n=（a m） 2（a n） 3=2233=108评注：本题逆向运用了同底数幂乘法运算法则，即 am+n=aman，幂的乘方运算法则，即amn=（a m） n例 2 计算（-0.25） 200542006解：原式=-4（0.254） 2005=-4评注：本题逆向运用了积的乘方运算法则，即 anbn=（ab） n例 3 比较 a=2555，b=3 444， c=4333的大小解：2 555=（2 5） 111=32111，3 444=（3 4） 111=81111，4 333=（4 3） 111=64111所以 acb评注：本题巧妙地运用幂的乘方将不同指数化为相同指数再比较
