1、一种新型的扩频测控信号压缩采样结构 王凯 汪勃 吴斌 北京跟踪与通信技术研究所 摘 要： 压缩感知理论能解决航天测控领域中扩频信号高带宽引发的采样压力和数据量过大的问题, 压缩采样是压缩感知理论的主要应用之一, 为降低前端信号采样压力和后端信号处理压力提供了一种新的途径。针对航天测控领域中最常见的直接序列扩频信号的压缩采样技术展开研究, 提出了分段并行式随机重叠采样结构, 并推导出采样结构的测量矩阵, 结合信号的稀疏基利用匹配追踪算法对采样值进行重构。仿真实验表明, 提出的采样结构能很好地适应高带宽扩频测控信号的压缩采样, 能以较高的概率从低速的压缩采样值中恢复出原信号, 相较于其他压缩采样结
2、构在重构率、计算复杂度及稳定性方面具有较为显著的优势。关键词： 压缩感知; 航天测控; 直接序列扩频; 压缩采样; 分布并行式; 随机重叠窗; 作者简介：王凯, 男, (1993) , 航天工程研究所信息与通信工程专业, 硕士研究生。主要研究方向:测控信号处理、压缩感知理论应用。作者简介：汪勃, 男, (1968) , 研究员。主要研究方向:航天测控技术。作者简介：吴斌, 男, (1963) , 研究员。主要研究方向:航天工程与应用。收稿日期：2017-09-18A Novel Compressive Sampling Structure for Spread Spectrum TT Abst
3、ract： Compressed sensing theory is applied to solve the issue of high sampling pressure and massive data processing caused by the high bandwidth of signal in the field of aerospace tracking, telemetry and command (TT aerospace tracking; telemetry and command; direct-sequence spread spectrum signal;
4、compressive sampling; segmented parallel structure; random overlapping windows; Received： 2017-09-180 引言在日趋复杂的空间信息对抗环境下, 航天测控通信对安全性提出了更高的要求, 扩频体制由于具备抗干扰性、隐蔽性等优点受到了广泛关注1。直接序列扩频是最常见的一种扩频方式, 然而信号经过扩频后带宽会急剧增大, 带宽增大给接收机前端 ADC 带来了巨大的压力, 同时也意味着数据率的提升, 这会给后续信号处理带来沉重负担, 以奈奎斯特采样框架为基础的传统信号采样技术面临海量数据处理与存储问题。近年来
5、出现的压缩感知理论 (Compressed Sensing, CS) , 以信号稀疏表示为基础, 提出了采样率由信号所包含的信息量决定, 而不再受限于信号带宽2。这为降低宽带稀疏信号的采样成本同时缓解其同步解调数据处理压力提供了一种新的途径。压缩采样是压缩感知理论的主要应用之一3, 是将其应用于扩频测控信号采样接收的关键, 目前已经在诸多领域得到应用, 包括生物信号采集4、微传感器等5-6。针对测控通信领域最常见的直扩信号的捕获接收问题, 本文引入压缩感知理论, 提出了分段并行式随机重叠采样结构对信号进行压缩采样。与传统的扩频信号采样方法相比, 能有效地降低宽带扩频测控信号的采样率。并且相较于
6、传统的压缩采样结构, 该结构利用重叠窗函数减少了信号分段时的信息损失, 从而具有更好的重构成功率。1 理论基础1.1 压缩感知原理压缩感知以信号稀疏表示理论为基础, 通过对信号进行随机投影实现压缩采样, 然后由少量采样值通过求解一个凸优化问题重构出原信号。其数学描述如下7:设信号 xR 在稀疏基 下是 K 稀疏的, 即其中变换系数 v 只有 K 个非零值, 那么根据压缩感知理论可知, 信号 x 可以通过在测量矩阵 下进行投影完成压缩采样过程, 进而以低采样速率得到包含信号大部分信息的测量值 y:式中, R 为测量矩阵;= 为感知矩阵。在信号具有稀疏性的前提下, 可以通过优化算法从 y 中不失真
7、地恢复出原信号 x, 重构过程如图 1 所示。图 1 压缩感知理论稀疏信号重构过程 下载原图由于感知矩阵 的行数 M 比列数 N 少, 因此式 (1) 是一个欠定的方程组。最直接的重构方法是通过求解一个最小化 l0范数问题8获得稀疏解 , 然后重构出原信号 。由于式 (3) 在求解的过程中非零元素的位置未知, 是一个常见的组合优化问题, 在短时间内很难得到最优解。因此 Donoho 和 Candes 等提出当感知矩阵 满足约束等距特性 (Restricted Isometry Property, RIP) 9时, 可以将式 (3) 等价地转换为式 (4) 所表示的最小化 l1范数问题, 即以便
8、于实现信号的精确重构。1.2 随机解调压缩采样原理根据压缩感知数学原理, 离散信号压缩采样的本质即为压缩测量矩阵 的行向量与信号 x (n) 做内积运算。推广到模拟信号 x (t) , 则测量矩阵和稀疏基矩阵都需要转换为模拟形式, 通过模拟形式的采样内核的内积实现。随机解调采样10是最基础的模拟信号压缩采样方法, 其原理结构如图 2 所示, 包括伪码生成模块、混频器、积分模块和低速 ADC 四部分。图 2 基于随机解调原理的压缩采样结构 下载原图其信号处理流程如下:首先使用伪随机序列 pc (t) 调制信号, 进行混频;然后利用积分模块完成采样值累加;最后通过低速率的 ADC 进行采样, 得到
9、一系列观测数据, 以完成信号压缩采样的过程。压缩采样本质上是实现对信号的压缩观测, 目的是得到信号的观测矩阵。2 分段并行式随机重叠采样结构基于随机解调压缩采样原理, 目前已经提出了直接型、预调制型11、并行分段积分型12、调制宽带转换器 (MWC) 13以及 XSampling14等压缩采样结构, 但将它们应用于直扩信号的压缩采样时均存在测量矩阵维数大、信号模型失配、重构精度与计算复杂度矛盾等问题。本文在并行采样结构15的基础上, 提出了分段并行式随机重叠采样结构 (Segmented Parallel Random Overlapping Compressed Sampling, SPRO
10、CS) , 其系统结构如图 3 所示。在此采样结构中, 模型的基本单元与随机解调结构相同, 但它利用多条并行支路的多个 ADC 对信号采样, 并且每一次重构都利用了同一通道中的多个采样值16, 同时利用随机重叠的窗函数改进分段信号边缘的信息损失。图 3 分段并行式随机重叠采样结构 下载原图设接收端收到的信号为式中, n (t) 为经信道传输获得的加性高斯白噪声。假设采样结构共有 M 条并行通道, 每条并行通道分为 L 段积分区间, 接收信号被独立地送入各并行通道进行采样。首先用随机序列 pc (t) 与信号进行混频, 调制并展宽输入信号的频谱, 为了有效地对信号进行压缩感知, 随机码的速率不得
11、低于信号 Nyquist 频率17。为保证采样值之间的独立性, 每次调制时均独立生成新的随机序列, pm, l (t) 为第 m 条并行通的第 l 段积分区间生成的序列, 选用伯努利随机序列, 取值为+1, -1。信号经过伪随机序列调制后, 通过窗函数实现对每一通道信号的分段积分wl (t) |l=1, 2.L表示随机重叠矩形窗函数, 如图 4 所示, 窗长为 Tc, 由于在窗口边缘的信息丢失比在窗口中间的更严重, 所以引入重叠来平均信息减少导致的误差, 重叠长度 T i在0.05T c, 0.10Tc之间随机产生, 随机重叠可以在平衡计算复杂度和重构效果的同时, 有更强的适应性。图 4 随机
12、重叠窗函数结构 下载原图根据上述分析, 可得信号总时长 T 为:从而各支路 ADC 的工作频率为:综上可知在 SPROCS 采样结构中, 第 m 条并行通道的第 l 段积分区间的采样值为:式中, l=1, 2, ., L。直扩扩频信号在其自相关域具有较强的稀疏性, 能满足压缩感知的应用条件, 以原子扩充的方式构造出直扩信号的稀疏基18为:其中字典原子为:它由传输时延 , 多普勒频率 fd和对应的数据位 k 决定。记 s= 1, 2, ., N, v=v1, v2, ., vN为稀疏向量, 稀疏度为 K 的信号可表示为:在不考虑噪声条件下, 式 (7) 可重新表示为:则采样值 ym=ym, 1,
13、 ym, 2, ., ym, L为 L1 维向量, v=v 1, v2, ., vN为N1 维向量, 相应的感知矩阵中的各元素可表示为:根据式 (2) 及稀疏基表达式 s= 1, 2, ., N, 可提取出测量矩阵的表达式为 =HP, 其中反映了窗函数的作用, 而则反映了随机序列调制的过程。综合 M 条并行通道可得, y (m, l) 构成 ML 维的采样值矩阵。可得第 m 条通道的压缩采样值构成的向量为 ym=ym, 1, ym, 2, ., ym, L, 它们一同构成重构所需的采样值矩阵得到采样值后, 利用正交匹配追踪算法 (OMP 算法) 对采样值进行重构19, 从而验证结构的有效性。3
14、 性能分析在压缩感知理论中, 感知矩阵要满足 RIP 条件才能有效地对信号进行重构。但要直接证明 RIP 条件非常复杂, 为此 Bareaniuk 提出了一个等价条件:稀疏基字典和测量矩阵不相关20。故可通过相关性分析来验证由 SPROCS 结构推导得出的测量矩阵的 RIP 特性, 降低了分析的复杂性。定义稀疏基字典和测量矩阵之间的相关系数为:的大小表征了二者的相关程度。同时定义采样结构的压缩比为:式中, N 为稀疏基维数;M 为并行通道数;MN 即为测量矩阵维数。测量矩阵和稀疏基的相关系数随压缩比的变换规律如图 5 所示。仿真中固定 N 值分别为200、500 和 1 000, 通过改变 M
15、 的取值范围使得压缩比变换范围为1, 100, 在每种压缩比情况下独立进行 100 次蒙特卡洛仿真实验。图 5 相关系数随压缩比变化关系 下载原图仿真结果表明, 随着压缩比的上升, 相关系数逐步增大;当压缩比低于 70 时, 相关系数低于 5, 相较于 , 可认为稀疏基与测量矩阵的相关性较小, 即可认为感知矩阵满足 RIP 条件, 采样结构能通过压缩采样值有效地获取信号中所包含的信息。当压缩比超过 70 时, 相关系数急剧增大, 导致压缩采样值中可提取的重构信号信息快速下降, 并且可以发现稀疏基维数 N 值越大, 相关系数值也随之增大。4 仿真验证在推导得出采样结构的测量矩阵基础上, 结合直扩
16、信号稀疏基字典和 OMP 重构算法, 对直扩测控信号 SPROCS 采样结构进行数值仿真实验验证, 从采样结构的有效性、结构参数对性能的影响以及与其他结构的比较等方面进行仿真实验。4.1 采样结构有效性首先考察 SPROCS 采样结构的有效性, 即从采样值中恢复信号的能力。在无噪声情况下, 截取信号的一部分进行重构实验, 得到原始信号和经压缩采样后重构信号如图 6 (a) 所示, 相应的重构绝对误差如图 6 (b) 所示。图 6 信号重构波形及重构误差 下载原图在不同信噪比的情况下重新进行上述仿真实验, 可以得到相对误差平均值如表1 所示。表 1 不同信噪比下信号重构相对误差平均值 下载原表
17、通过图 6 的重构结果可知, 从 SPROCS 结构的采样值中能有效地重构原信号。虽然随着噪声的增强, 信号的重构误差会逐渐增大, 但在可接受的信噪比范围内仍然可认为 SPROCS 结构能有效地采集稀疏信号的信息, 并能利用这些信号完成对信号的重构。4.2 采样结构参数对于 SPROCS 结构, 通道数 M 和积分区间数 L 是 2 个重要的参数, 因此仿真验证这 2 个参数对采样值重构性能的影响。首先在固定并行通道数目 M 的情况下, 考察重构成功率随积分区间数 L 的变化, 仿真结果如图 7 (a) 所示。其次固定L, 考察重构率随 M 的变化, 仿真结果如图 7 (b) 所示。结果表明,
18、 重构成功率随着并行通道数 M 的增加逐渐升高, 当通道数超过 60 时, 各 L 值情况下重构率超过 95%, 采样结构具备较优的采样性能, 此后随着通道数目的增加, 重构成功率缓慢上升, 直至达到最大值保持平衡。对于分段积分区间数 L, 同样的重构成功率随之增加而逐渐升高, 当分段数目 L8 时, 重构成功率变化不大, 基本保持不变。随着 M 和 L 的增加, 重构成功率都呈上升趋势, 但同时计算复杂度也会因此上升, 在实际应用中需在重构效率和计算复杂度之间做出权衡。在不考虑噪声的情况下, 考察采样值重构信号计算复杂度。为了直观地对计算复杂度进行表示, 定义计算复杂度指数为式中, t f为
19、 M=40, L=8 时进行重构且重构成功率达到 95%的计算时间;t i则为不同 M 和 L 值情况下重构成功率达到 95%所对应的重构计算时间。在不同条件下的重构复杂度指数如表 2 所示, 从而可以在结构性能与计算复杂度之间做出权衡。图 7 重构率性能仿真 下载原图表 2 重构复杂度指数表 下载原表 4.3 与其他采样结构比较对 SPROCS 结构与其他采样结构的采样性能进行比较, 此处考虑 PCS 结构和PSCS 结构21, 它们均为并行采样结构。首先考察采样结构对不含噪声信号的重构能力, 设置 PSCS 结构和 SPROCS 结构的分段积分区间数均为 L=8, PCS 结构由于不采用分
20、段积分可认为 L=1, 在不同的采样通道数 M 情况下进行采样重构实验, 计算对应的重构率, 结果如图 8 所示。由仿真结果可知, 随着并行通道数目 M 的增加, 3 种采样结构的重构率均逐步上升。图 8 不同结构采样成功率随通道数目变换关系 下载原图仿真实验结果表明, 信号重构率随着采样结构并行通道数的增加逐渐升高。当并行通道数达到 20 时, 3 种结构从采样值完成信号重构的概率均趋近于1。SPROCS 和 PSCS 结构在对无噪信号的采样重构时性能十分相近, 并且均优于PCS 结构, 在获得相同重构率时所需的通道数目较少, 相应地就减少了所需 ADC的数目。进一步考虑存在噪声的情况, 在
21、信号中加入经信道传输获得的白噪声, 在不同信噪比情况下对采样结构的重构概率进行仿真。结构参数设置不变, 取通道数为固定值 M=10, 输入信号的信噪比范围为5 d B, 30 d B, 以 5 d B 为步进间隔, 每种信噪比条件下进行 100 次独立仿真实验并计算出重构率的平均值, 结果如表 3 所示。表 3 不同采样结构信号重构率表 下载原表 可见虽然 PSCS 结构和 SPROCS 结构在重构性能上相差不大, 在 SNR 不同的情况下, SPROCS 在重构性能略优于 SPCS, 但是随着 SNR 的下降 PSCS 结构的重构性能鲁棒性不如 SPROCS 结构, 这也可从重构均方误差值随
22、 SNR 的变换图中看出 (如图 9 所示) , SPROCS 稳定性更好。图 9 重构均方误差值随输入信噪比变换关系 下载原图5 结束语针对航天测控通信领域扩频信号高带宽给信号采样带来的问题, 本文基于压缩感知理论提出了一种适用于航天测控信号压缩采样的 SPROCS 结构, 采样过程中将信号送入各条并行通道并进行分段积分, 然后采用 OMP 重构算法从低速率的压缩采样值中重构原始信号。并且通过仿真实验验证了 SPROCS 结构的有效性和其欠采样能力, 并且考察了并行通道数和分段积分数对采样结构重构效率的影响, 以及采样信号 SNR 对重构结果的影响, 对此结构在重构精度和计算复杂度之间如何权衡进行了分析。此外, 还对 SPROCS 采样结构和其他压缩采样结构的性能进行了比较。仿真结果表明, SPROCS 结构具有优异的压缩采样能力, 相较于其他采样结构, 它具有重构精度高、稳定性好等优点。后续将针对 SPROCS 采样结构的硬件实现和降低其对信号噪声的敏感度展开研究。本文的研究成果为基于压缩感知的扩频测控信号接收技术研究奠定了基础, 并为后续的信号处理技术研究提供理论支撑。参考文献
