1、排列组合问题教学探究 排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础.事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程中极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧和解题模型，最终达到灵活运用。 从解法上看，排列组合问题大致有以下几种模型： 一、“在或不在”问题 例1：六个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲乙两人必须排在两端； （2）甲不在左端，乙不在右端。 分析：（1）甲乙两人排在两端有种站法；其余的人共有A种站法，故共有AA=48种站法。
2、 （2）直接法求解有困难，选用间接法：甲在左端的站法有A种；乙在右端的站法也有A种；且甲在左端而乙在右端的站法有A种；故共有A-2A+A=504种站法。 注：“在”通常用直接法，“不在”常选用间接法。 二、相邻问题捆绑法 例2：六个人按下列要求站一横排，甲乙必须相邻，有多少种不同的站法？ 分析：甲乙两人构成一个集团的站法有种；这个集团再与余下的4人全排，故共有AA=240种站法。 变式1.六个人按下列要求站一横排，甲乙之间间隔两人，有多少种不同的站法？ 分析：先选出甲乙之间间隔两人并排列有A种站法；这两个人再与甲乙两人构成一个集团的站法有AA种；这个集团在与余下的两人全排，故共有AAA=144
3、种站法。 注：将需要相邻的元素构成一个集团，先内排再外排。 三、不相邻问题插空法 例3：六个人按下列要求站一横排，甲乙不相邻，有多少种不同的站法？ 分析：甲乙不相邻，插空法：第一步让余下的4人排，有A种站法；第二步将甲、乙插入4人形成的5个空中（含两端），有A种站法，故共有AA=480种站法。 变式2.有3名男生，4名女生，按下列要求站一横排，有多少种不同的站法？ （1）男生不相邻； （2）男女相间。 分析：（1）男生不相邻，插空法：第一步让4名女生排，有种站法；第二步将男生插入4名女生形成的5个空中（含两端），有种站法，故共有AA=1440种站法。 （2）“相间”要考虑两方面，与“不相邻”有
4、区别。先排男生有A种站法，再将女生插空，有A种站法，故共有AA=144种站法。 注：将无要求的元素先排，再把要求不相邻的元素插空。 四、“多面手”问题 例4：由12人组成的课外文娱小组，其中7个人会跳舞，7个人会唱歌，若从中选出4个会唱歌，4会跳舞的人去排演节目，共有多少种不同的选法？ 分析：由人数分析，12人中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，即有两人为“多面手”。这一类问题从多面手出发按一个标准分类即可。（1）“多面手”不参加跳舞：有CC种选法；（2）“多面手”1人参加跳舞：有CCC种选法；（3）“多面手”2人参加跳舞：有CCC种选法，故共有CC+CCC+CCC=52
5、5种选法。 注：这种做法讨论简单易行，条理清晰。 五、“成双成对”问题 例5：从不同号码的5双鞋中任取4只，恰好一双的取法共有多少种？ 分析：5双鞋中任取4只，恰好一双，说明4只鞋中，有一双和两个单只。分两步：（1）先选出一双：有C种选法；（2）再选出两双各取一只：有CCC种选法；故共有CCCC=120种选法。 注：“成双成对”问题，成双成对处理。 六、定序问题 例6：在书柜的某一层上原有6本书，如保持原书顺序不变，再放入3本不同的书，那么有多少种放置方法？ 分析：解法1：（1）先全排：有A种方法；（2）再除以6本书的全排：故共有=504种方法。 解法2：只需在9个位置中选3个排后放入的3本书
6、，故共有A=504种方法。 注：定序问题“无序化”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数。 七、相同元素隔板法 例7：要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？ 分析：要从7个班中选10人参加数学竞赛，其实相当于有10个名额，即相同元素。采用隔板法：10个元素有9个空，在9个空中选6个位置插6个隔板，分成7份给7个班，故共有C=C=84种方法。 注：隔板法的特征：相同元素、至少一个。 八、分组分配问题 例8：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ （1）分成三份，一份2本，一份2本，一份3本； （2）平均分成三份
7、，每份两本； （3）分成三份，一份4本，另两份每份1本； （4）甲得1本，乙得1本，丙得4本。 分析：（1）无序不均匀分组问题 分三步：先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；对于余下的3本全选有C种选法，由分步计数原理知有CCC=60种选法。 （2）无序均匀分组问题 先分三步，则应是CCC种选法，但是这里出现了重复，不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则CCC种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有A种情况，而
8、且这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只是一种情况，故分法有=15种。 （3）无序部分均匀分组问题 两组均分产生顺序重复，故分配方式有=15种。 （4）直接分配问题 甲选1本有C种选法；乙再从余下的5本中选1本有C种选法；丙在余下的4本全选有C种选法，故共有CCC=30种选法。 注：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型。解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，几组均分就除以几的阶乘，形成无序的组再分配。可以概括为以下几个环节：选数、形成无序的组、分配。 无论是排列还是组合，最主要的是掌握从实际问题的叙述中分析特点，明确完成的是哪个事件，合理地完成每一步。区别有序还是无序，鉴别并抽出模型的主要特征，进而确定并建立相应的数学模型解决问题。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。第 6 页 共 6 页
