1、第六讲 重复博弈 张少强 http:/ 信息与博弈 校通识课（ GEN14251L） 重复博弈 (repeated game) 动态博弈的另一种特殊但是非常重要且常见的类型就是所谓的“重复博弈”。 重复博弈是指同样结构的博弈重复多次，其中的每次博弈称为“ 阶段博弈 ”（ stage game）。 以“囚徒困境”为例，如果每次判刑不是很重，那么，两个囚徒在刑满释放之后再作案，作案之后再判刑，释放之后又作案，如此等等，他们之间进行的就是重复博弈，其中每次作案就是一个阶段博弈。 生活中重复博弈的例子 当你到菜市场去买菜，当你担心上当受骗而犹豫不决时，摊主便会对你说：“你放心好了，我天天在这里卖菜，不
2、会骗你的，如果菜不好你回来找我！”他强调自己“ 天天 ”在这里卖菜，你通常便会放下心与之成交。因为他这句话翻译成博弈论的语言就是“ 我跟你是重复博弈 ”。 而你到车站、旅游景点买东西往往质次价高，其原因就在于买卖双方 很少有“重复”博弈的机会 （一锤子买卖）。 生活中重复博弈的例子 在相互联系紧密的人际关系中，人们普遍比较注意礼节、道德， 因为“合作和协调”对 大家都有好处；但是，我们又常常见到这样的消息：在公共汽车上，两个陌生人会为一个座位争吵，为什么会发生这种事情？原因何在 ？ 在公共汽车上，两个陌生人吵架，因为彼此知道这是“ 一次性博弈 ”，吵过了以后谁也不会再遇到谁；可是如果相互认识，
3、就会相互谦让，因为他们知道以后还有碰面甚至交往的可能，即使发生争吵，通常会在在争吵中留有余地，因为二人日后还会有“ 重复博弈 ”。 为什么研究重复博弈？ 长期反复合作与竞争的关系存在（ 例：两企业的长期竞争，长期协议，回头客 ） ; 长期关系比短期关系更加复杂，考虑当前也得兼顾未来 ; 一般动态博弈环环相扣；长期关系中 ，各个 阶段之间的相互 独立性 ;长期关系需要考虑“信誉”“信任” ; 重复博弈不是阶段博弈的简单叠加，必须把重复博弈过程作为整体进行研究。 基本概念 重复博弈是同样结构的博弈重复多次，每次为“阶段博弈”。 重复博弈可以分为“ 有限次 重复博弈”、“ 无限次 重复博弈”，“ 随
4、机结束 的重复博弈”。 注意 ： 重复博弈与一般动态博弈的区别，每个阶段都有得益，每个阶段的博弈方和博弈内容都相同。 有限次重复博弈 给定一个基本博弈 G（可以是静态博弈也可以是动态博弈），重复进行 T次 G，并且在每次重复 G之前各博弈方都能观察到以前的博弈结果，这样的博弈过程称为“ G的 T次重复博弈”，记为 G(T)。而 G则成为 G(T)的“ 原博弈 ”， G(T)的每次博弈称为 G(T)的一个“ 阶段 ”。 无限次重复博弈 无限次重复博弈： 一个基本博弈 G一直重复博弈下去的博弈，用 G()表示。 如果某个重复博弈 没有可以预见的结束 时间，各博弈方主观上认为博弈会不断进行下去，就可
5、以看作是无限重复博弈。 随机结束的重复博弈： 重复的次数虽有限，但重复次数或博弈结束时间却是不确定的。 策略、子博弈 策略 ：重复博弈环境下，参与人的策略非常复杂。一般地，我们定义参与人的一个策略是 在博弈的每个阶段针对 之前阶段的博弈结果而 制定的行动计划 ； 子博弈 ：从某个阶段开始，包括此后所有的重复博弈部分，仍然可以用 逆向归纳法 来分析。对于有限重复博弈，可以寻找 子博弈完美均衡 。 均衡路径 ： 由每个阶段博弈方的 行动组合 串联而成。重复博弈的路径数目是 ： 行动组合数 的 T次幂。 重复博弈使博弈有了更多的可能，分析重复博弈就是要在这些路径中找出具有 稳定性的均衡路径 ，并分析
6、它们的效率意义。 重复博弈的支付 /收益 重复博弈中参与人的行动策略选择不可能只考虑本阶段的支付，必须兼顾其他阶段的支付，必须考虑整个重复博弈过程的总体情况。 总支付 /总收益 ： 参与人各次重复支付的总和。 平均支付 /收益 ： 总支付除以重复次数。 威胁与承诺 动态博弈中涉及的一个重要问题是，博弈过程中 威胁和承诺 如何影响博弈的进程。 重复博弈所关心的议题也与之相似： （ 1）将来可信的威胁或承诺如何影响到当前的行动？ （ 2）在一次博弈中无法实现的均衡，在重复博弈中能否实现？ 有限次重复 博弈分类 1. 两 人零和博弈的有限次重复博弈 2. 惟一 纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 3.
7、多 个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 1. 两 人零和博弈的有限次重复 博弈 猜 硬币博弈 零和博弈是严格竞争的，重复博弈并不改变这一点。 重复零和博弈不会创造出新的利益。 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 正 面 反 面 猜硬币方 盖 硬 币 方 正 面 反 面 1. 两人零和博弈的有限次重复博弈 以 零和博弈 为原博弈的有限次重复博弈与猜硬币博弈的有限次重复博弈一样， 博弈方的正确策略是重复一次性博弈中的纳什均衡策略。 可用逆推归纳法来证明 可以推广到非零和或多个博弈方，但博弈方的利益严格对立，没有纯策略纳 什均衡的其他严格竞争博弈中 产生原因：利益关系严格对立，矛盾不可调和
8、 2. 惟一 纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 情形一：惟一纯策略纳什均衡是帕累托效率意义上的最佳策略 组合； 情形 二：原博弈惟一的均衡没有达到帕累托效率，存在通过合作进一步提高效率的可能性，例如：囚徒困境 博弈。 考察下列 博弈 该博弈存在 唯一的 纳什 均衡 ，即（对抗， 对抗 ）。 同时注意到，该博弈还存在一个 高效均衡 (合作，合作 )，高效均衡对应着一种 合作行为 。 为什么高效的均衡不是纳什均衡？如何保证这一高效均衡能够实现？ 1 , 1 5 , 0 0 , 5 4 , 4 对抗 合作 对抗 合作 1 2 两次重复博弈 假设将上述博弈重复两次 ，用逆向归纳法，先找第二阶段的 纳什
9、均衡，再找第一阶段的纳什均衡。 第二阶段 1 , 1 5 , 00 , 5 4 , 4UDL R12第一 阶段 1 + 1 , 1 + 1 5 + 1 , 0 + 10 + 1 , 5 + 1 4 + 1 , 4 + 1UDL R12对抗 对抗 对抗 对抗 合作 合作 合作 合作 有限次重复博弈 运用 逆向归纳法 ，可以发现上述重复博弈的子博弈完美纳什均衡 为：在每次博弈中，参与人1都 选择“对抗”， 参与人 2都 选择“对抗” 。 这说明：在两次重复博弈中，高效的均衡仍无法实现 。 同样可证明：在 n阶段（有限次）重复 博弈 (即博弈重复 n次且每次博弈开始时，前面博弈的结果都已知 )中，高
10、效的均衡同样无法实现。 有限次重复的“囚徒困境”悖论 假定进行两次重复博弈，双方看到第一次博弈的结果后再进行第二次，最后支付是两阶段各自支付的和。 有限次重复的 “寡头削价竞争” 有唯一纯策略纳什均衡（ 70， 70） 有限 次重复的结果仍然是（低价，低价） 为什么出现悖论？ 每次人际交往其实都可以简化为两种基本选择：合作还是背叛。 在人际交往中普遍都存在 “囚徒困境 ”： 双方明知合作会带来双赢，但理性的自私和信任的缺乏缺导致合作很难形成。特别是一次性博弈必然加剧选择背叛的决心。背叛是个人的理性选择。缺导致集体的非理性。 现实中，如果多次重复博弈，人们可以通过 “长期的合作契约 ”和交往中来
11、纠正人们的短期行为。 (例如开会迟到？ 8:00开会总有人迟到，即使为了防止迟到，故意通知 7:45开会，过段时间还是会有人迟到？必须对迟到的惩罚而不是浪费不迟到的人的时间 ) 逆向 归纳法出现的结果，现实发生的几率很小。 再看一个例子：连锁店悖论 假定在位者在不同的市场上有 20家连锁店，进入者试图进入这些市场。如果进入者进入了每一个市场，此时博弈就变成了 20次重复博弈。当进入者进入第 1个市场时，在位者应该如何反应呢？ 潜在进入者 在位 者 进入 不进入 默许 商战 （ 0， 10） （ -2， 3） （ 5， 5） 连锁店悖论 逆向归纳，倒数第二阶段 子博弈完美纳 什均衡为： 在位者在
12、每一个市场选择默许，进入者在每一个市场选择进入。 潜在进入者 在位 者 进入 不进入 默许 商战 （ 0+5， 10+5） （ -2+5， 3+5） （ 5+5， 5+5） 2. 惟一 纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 定理： 如果 阶段博弈 G有唯一 的纯策略纳什均衡 ，则对任意有限的 T，重复博弈 G(T)有唯一的子 博弈完美均衡解 ，即 G的 纳什 均衡 结果在每一个阶段重复进行 。总支付是原博弈的 T倍。 但是好像也有问题？ 理论和实践的直觉矛盾 ; 现实中寡头之间的价格战并不十分普遍，是不容易重复打价格战的。 囚徒困境重复 200次，实验结果表明当一个囚徒选择抵赖，另一个坦白的话，下一
13、次博弈时，都会选择抵赖。 泽尔 腾在 1978年研究“连锁店悖论”发现，实际中，对开头几个市场进入者，在位者不计代价的打击。 上述问题的症结与此前讲的 蜈蚣博弈 类似，在于较多阶段的动态博弈中 逆向归纳法的适用性 。 其它解释 虽然 博弈次数有限，但是我们不知道具体是多少，类似一个无限次数的重复博弈类似于无限（例如：人的生命 ） 即使 我们知道准确的结束合作关系的时间，比如劳动合同常常有明确的时间期限，但我们并不是从上班第一天就开始偷懒，是因为面对足够长的合同期，偷懒被开除而损失如此长期的一笔工资收益是不划算的。所以，员工仍采取了合作的态度，但是的确可以发现，随着终止合同离开雇主的日期越来越近
14、，员工的努力程度在打折扣 有限次博弈开始起作用 了 这个 有限博弈中的合作或对抗会给你进入另外一个博弈带来影响 ,必须考虑自己的表现， 例如考虑应聘到 其他企业 工作的影响。 3. 多 个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 两市场博弈的重复博弈（重复两次） 0， 0 4， 1 1， 4 3， 3 厂 商 1 厂商 2 B A A B 两市场博弈 (A,B)+(A,B) (1,4) 或 (B,A)+(B,A) (4,1) 连续 两次采用 混合策略 (2,2) 轮换策略 (A,B)+(B,A) 或 (B,A)+(A,B)(2.5,2.5) 一次纯策略 +一次 混合策略 (1.5,3) 或 (3,1.5
15、) 平均收益： 此博弈有 2个纯策略纳什均衡 (1,4)和（ 4,1) 和混合策略纳什均衡概率 (0.5, 0.5) 3. 多个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈 考虑三次重复博弈各策略组合子博弈纳什均衡路径： 1.由 原博弈的纳什均衡组合而成的路径 ，如采取 轮换策略 （在上述的协调博弈中，双方轮换采取纯纳什均衡策略 ,路径为(A,B),(B,A),(A,B).） , 每阶段的平均支付为(4+1)/2=2.5, 高于混合策略的支付 2. 2. 触发策略： 博弈方首先采取合作行为，如果发现对方没有合作，那么在后续阶段的博弈中采取不合作策略进行惩罚。 若 触发策略 （第二阶段触发）的设计为： （ 1
16、）厂商 1的策略是第一阶段合作 A， 如果发现对方采取 B不合作，则第二阶段采取不合作的 B策略惩罚，否则第二阶段继续合作；第三阶段无条件采取 B策略。 （ 2）厂商 2的策略是第一阶段合作 A， 如果发现对方采取 B不合作，则后续两个阶段一直采取不合作的 B策略；如果发现对方采取合作 A， 则第二阶段采取不合作 B，第三阶段采取合作 A。 那子博弈路径为 (A,A), (A,B), (B,A)为子博弈纳什均衡。 0， 0 4， 1 1， 4 3， 3 厂 商 1 厂商 2 B A A B 两市场博弈 多 个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈的收益范围 由于具有多个纳什均衡的重复博弈可以设计多种策略组合，因此存在许多收益差异很大的子博弈完美纳什均衡。在双方缺乏沟通的情况下，结果具有不确定性。 但是，可以设计 包含报复机制的触发策略 ，实现收益较高的均衡。 个体理性收益 ：不管对方采取何种行动，只要自己的行动合理就可保证实现的收益。 可 实现收益 ：各纯策略组合支付的平均收益。并不一定是均衡策略的组合收益。例如（ 3,3）即每次均合作也是可实现的收益。
