1、1课堂达标(三十五) 空间几何体的表面积与体积A基础巩固练1(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A. 1 B. 3 2 2C. 1 D. 332 32解析 V 3 1，选 A.13 ( 122 1221) 2答案 A2(2018山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 ，则侧视图中线段的长度 x的值是( )7A. B2 7 7C4 D5解析 分析题意可知，该几何体为如图2所示的四棱锥 PABCD，故其体积 V 4CP3 ，13 32 32 7 CP ， x 4，故选 C.7 32 7 2答案 C3(20
2、17课标)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B. 34C. D.2 4解析 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： AC1， AB ，结合勾股定理，底面半径 r ，12 12 (12)2 32由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是 V r2h 21 ，故选 B.(32) 34答案 B4(2018青岛二模)已知三棱锥 DABC中，AB BC1， AD2， BD ， AC ， BC AD，则该三棱锥的外接球的表面积为( )5 2A. B6 6C5 D8解析 由勾股定理易知 DA BC， AB BC， BC平面DAB， CD . AC2 AD
3、2 CD2. DA AC.取 CD的中点 O，由直角三角形的BD2 BC2 6性质知 O到点 A， B， C， D的距离均为 ，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球62的表面积为 4 26. (62)3答案 B5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A286 B3065 5C5612 D60125 5解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中 AE平面 BCD， CD BD，且 CD4， BD5， BE2， ED3， AE4. AE4， ED3， AD5.又 CD BD， CD AE，则 CD平面 ABD，故 CD AD，所以 AC 且 S ACD10.41在
4、Rt ABE中， AE4， BE2，故 AB2 .5在 Rt BCD中， BD5， CD4，故 S BCD10，且 BC .41在 ABD中， AE4， BD5，故 S ABD10.在 ABC中， AB2 ， BC AC ，5 41则 AB边上的高 h6，故 S ABC 2 66 .因此，该三棱锥的表面积为12 5 5S306 .5答案 B6如图，已知球 O是棱长为 1的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O的截面面积为( )4A. B.66 3C. D. 6 33解析 平面 ACD1截球 O的截面为 ACD1的内切圆因为正方体的棱长为 1，所以AC CD1 AD1
5、 ，所以内切圆的半径 r tan 30 ，所以 S r2 . 222 66 16 16答案 C7有一根长为 3 cm，底面直径为 2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图)，由题意知 BC3 cm， AB4 cm，点 A与点 C分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC的长度即为铁丝的最短长度 AC 5(cm)，故铁丝的最短长度为 5 cm.AB2 BC2答案 58(2017江苏)如图，在圆柱 O1， O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线
6、均相切记圆柱 O1， O2的体积为 V1，球 O的体积为 V2，则 的值是_V1V25解析 设球半径为 r，则 ，故答案为 .V1V2 r22r43 r3 32 32答案 329(2018辽宁省沈阳二中期中)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱 A1A和 B1B上各有一个动点 P， Q，且满足 A1P BQ， M是棱 CA上的动点，则 的最大值VMABQPVABCA1B1C1 VMABQP是_解析 设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V侧棱 AA1和 BB1上各有一动点 P， Q满足 A1P BQ，四边形 PQBA与四边形 PQB1A1的面积相等， M是棱 CA上的动点， M是 C时，
7、最大VMABQPVABCA1B1C1 VMABQP又四棱椎 M PQBA的体积等于三棱锥 C ABA1的体积等于 V，13的最大值是 .VMABQPVABCA1B1C1 VMABQP13VV 13V 12答案 1210.如图，在三棱锥 DABC中，已知 BC AD， BC2， AD6， AB BD AC CD10，求三棱锥 DABC的体积的最大值6解 由题意知，线段 AB BD与线段 AC CD的长度是定值，因为棱 AD与棱 BC相互垂直设 d为 AD到 BC的距离则 VDABC ADBCd 2 d，当 d最大时， VDABC体积最大，12 13 AB BD AC CD10，当 AB BD A
8、C CD5 时， d有最大值 .此时 V242 1 15.15B能力提升练1(2018太原一模)如图，平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD ， BD CD，2将其沿对角线 BD折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，若四面体 A BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A3 B. 32C4 D. 34解析 由图示可得 BD A C ， BC ， DBC与 A BC都是以 BC为斜边的直2 3角三角形，由此可得 BC中点到四个点 A， B， C， D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为 ，所以该外接球的表面积 S4 23.3 (32)答案 A2(2018
9、宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )7A. B. 23 43C. D483解析 如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥 PABCD.连接 BD.其体积 V VBPAD VBPCD 122 122 .13 12 13 12 43答案 B3如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 ，以顶点 A为球心，2 为半径作为一个球，则图中球面与正方体的表面相3交所得到的两段弧长之和为_解析 由题意，图中弧 为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为EF A1AE BAF ，所以 EAF ，由弧长公式知弧
10、的长为 2 .弧 为不过球6 6 EF 6 3 FG心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为 B，因为球心到平面 BCC1B1的距离 d，球的半径 R2，所以小圆的半径 r 1，又 GBF ，所以弧 的长为 13 R2 d22 FG .故两段弧长之和为 .2 2 568答案 564(2016浙江)如图，在 ABC中， AB BC2， ABC120.若平面 ABC外的点 P和线段 AC上的点 D，满足 PD DA， PB BA，则四面体 PBCD的体积的最大值是_解析 设 PD DA x，在 ABC中， AB BC2， ABC120， AC AB2 BC2 2ABBCcos ABC 2 ，4
11、 4 222cos 120 3 CD2 x，且 ACB (180120)30，312 S BCD BCDCsin ACB 2(2 x) (2 x)12 12 3 12 12 3要使四面体体积最大，当且仅当点 P到平面 BCD的距离最大，而 P到平面 BCD的最大距离为 x.则 V 四面体 PBCD (2 x)x ( x )23，由于 0x2 ，故当 x 时， V13 12 3 16 3 3 3四面体 PBCD的最大值为 3 .16 12答案 125如图，在直三棱柱 ABCA B C中， ABC为等边三角形， AA平面ABC， AB3， AA4， M为 AA的中点， P是 BC上一点，且由 P沿
12、棱柱侧面经过棱 CC到 M的最短路线长为 ，设这条最短路线与 CC的交点为 N，求：29(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与 NC的长；(3)三棱锥 CMNP的体积解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4和 9的矩形，故对角线长为 .42 92 979(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB展开，如下图，设 PC x，则 MP2 MA2( AC x)2. MP ， MA2， AC3，29 x2，即 PC2.又 NC AM，故 ，即 . NC .PCPA NCAM 25 NC2 45(3)S PCN CPCN 2 .12 12 45 45在三棱锥 MPCN中， M到面 PCN的距离
13、，即 h 3 .32 332 VCMNP VMPCN hS PCN13 .13 332 45 235C尖子生专练如图所示，从三棱锥 PABC的顶点 P沿着三条侧棱 PA， PB， PC剪开成平面图形得到P1P2P3，且 P2P1 P2P3.(1)在三棱锥 PABC中，求证： PA BC；(2)若 P1P226， P1P320，求三棱锥 PABC的体积解 (1)证明：由题设知 A， B， C分别是 P1P3， P1P2， P2P3的中点，且 P2P1 P2P3，从而 PB PC， AB AC，取 BC的中点 D，连接 AD， PD(图略)，则 AD BC， PD BC，又AD PD D， BC平面 PAD.又 PA平面 PAD，故 PA BC.(2)由题设有 AB AC P1P213， PA P1A BC10， PB PC P1B13， AD PD1212，在等腰三角形 DPA中，AB2 BD2底边 PA上的高 h ，AD2 (12PA)2 119 S DPA PAh5 .12 119又 BC平面 PAD， VPABC VB PDA VC PDA10 BDS DPA DCS PDA13 13 BCS PDA 10513 13 119 .503 119
