福建省莆田市莆田四中、六中2018届高三下学期第一次模拟考试试题（全科）.zip

- 1 -2017-2018 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号： 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( )1,3927A3log,ByxABA． B． C． D．， ， ， 927， ， 13927， ， ，2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 ( )ziizA． B． C． D．23 53. 已知等 差数列 的首项 和公差 均不为零，且 ， ， 成等比数列，na1d2a48则 ( ) A． B． C． D．15923+a6534. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知 在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的ABGBC中点，四边形 与四边形 也为正方形，连接 、 ，则向多边形 中投掷AEFGDHIECIAEFHID一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A． B． C． D． 128165245. 已知直线 平面 ，则“直线 ”是“ ”的 ( )mnmn∥A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6. 已知圆 ： ，点 ， ．从点 观察点 ，要使视线不被圆23xy(0,23)A(,23)BaAB挡住，则实数 的取值范围为 ( )aA． B． C． D．(,23)(,)(,4)(,)(,2,4,)7.将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得图象对应的(cos23infxx0函数为- 2 -偶函数，则 的最小值为 ( ) A． B． C． 6323D． 568. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( ) A． 13 B． 2 C． 1 D． 349.定义 为 个正数 的“均倒数” ．123npp 123,,npp若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则na14nab( )123410bbA． B． 9 C． 10 D． 1210.已知向量 a， 满足 ， ，则 的取值范围是 ( )+3b2a+abA． [2,3] B． [,4] C． [,1] D． [3,]11.已知 函数是一个求余函数，记 表示 除MOD()MOmn以的余数，例如 ．右图是某个算法的程序框n(8,3)2图，若输入 的 值为 ，则输出的值为 ( ) m56A． B． C． D．678912.已知 ，则关于 的方程 ，2,0()xfx()fxt给出下列五个命题：①存在实数 ，使得该方程没有实根； t②存在实数 ，使得该方程恰有 个实 根；t1③存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根； 2④存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根；t3⑤存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根．4其中正确的命题的个数是 ( ) A． B． C． D．4321 nm?(,)0MODn1in2,i0开 始结 束输 入输 出 i是 是否 否- 3 -二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 ，则 a， b， c 的大小关系是________(用“”连接) 0.63.12,5,sin6abc14.若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大 值为 ； xy20yx2zxy15.设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若1F2 21, yabP，0P的面积为 ，且 ，则该双曲线的离心率为 ；1297b16.已知函数 ，则 ()3sin()2fxx2()()019ff018()9f； 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一 )必 考 题 ： 共 60 分 .17. (本小题满分 12 分) 已知函数 ．23()sin()i)cos1fxxx(Ⅰ)求函数 的递增区间；(Ⅱ)若 的角 所对的边分别为 ，角 的( fxABC, ,abcA平分线交 于 ， ， ，求 ．BCD3()2fA2Dcos18. (本小题满分 12 分)交强险是车主必须为机动车购买的险种， 若普通 座以下私家车投保交强险第一年的费6用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆950发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中- 4 -浮动比率是在基准保费上上下浮动）：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%2上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 23上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 34A上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 05上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 1%6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 3某机构为了研究某一品牌普通 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 辆车龄已满三6 60年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 1A234A56数量 0501(Ⅰ)求这 辆车普通 座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到 元）60 0.1(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损 元，一辆非事故车盈利 元，且各种投保类5010型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选辆车，3求这 辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进 辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均120值．19. (本小题满分 12 分) - 5 -如图，在三棱锥 中， ， ，PABC4PABC， ， 为线段 的中点， 是线段90AB43DEP上一动点． （1）当 时，求证： 面 ；E∥ D（2）当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．20. (本小题满分 12 分)已知一定点 ，及一定直线 ： ，以动点 为圆心的圆 过点 ，且与直(0,1Fl1yMF线 相切．l(Ⅰ)求动点 的轨迹 C的方程；M(Ⅱ)设 P在直线 l上，直线 PA， B分别与曲线 C相切于 A， B， 为线段 AB的中N点．求证： ，且直线 恒过定点．2ABN21. (本小题满分 12 分) 已知函数 .()sincofxx(Ⅰ)若 ，求函数 的极值；(0,2x(Ⅱ)若 ，记 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，证明：i()fxiN（ ） ． 2223411+9nx n，(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.- 6 -22.[选修 4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 为极点， 轴非负半l13xty Ox轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ．C24cos3in4(Ⅰ) 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；l(Ⅱ) 设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值．,ABOB23.选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分)设函数 ． )1fxxa(Ⅰ)当 时，求不等式 的解集；2a()5f(Ⅱ)对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．x3a2017-2018 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D D C B B C A C D B B1. A 【解析】：∵ ， ，则 ，故应1,927A3log,0,123yx1,3A选 A． 2. D 【解析】：∵ ，∴ ，∴ ，故应选 D．zii1zi5z3. D【解析】：∵ ， ， 成等比数列，2a48∴ ，∴ ，∴ ，248a211(3)()7)adad21d又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，0d1111(0nna1591123++3aa故应选 D．- 7 -4. C【解析】：设 ，则 ， ，故多边形 的面积2AB1G5AAEFGHID，152S∵ ，∴sincos5EABG，112in2SEAB阴 影 部 分故所求概率为 ．故应选 C．6P5. B 【解析】： 由 ， 推不出 （可能 ） ，由 ， 能推出mnn∥ nmn∥；nm6. B 【解析】：点 在直线 上，过点 作圆的切线，设该切线的斜率为 ，B23y(0,23)Ak则该切线的方程为 ，即 ．由圆心到切线的距离等于半径得： ，∴23ykx0kxy 231k，k∴该切线的方程为 ，它和直线 的交点为 、 ．故要使视线23yx23y(4,)(,不被圆 C挡住，则实数 的取值范围为 ，故应选 B． （或作出图形，利用平几法，求相a(,4)(,)关线段）7. C 【解析】：∵ 向左平移 （()2cos3in4cos()3fxx）0单位后得到函数 ，又 为偶函数，故()gx4cs()3()gx，3k，故 ， ，故 ，故应选 C．Z3kZmin238. A 【解析】：抠点法:在长方体 中抠点，①由正视图1ABCD可知： 上没有点； ②由侧视图可知： 上没有点； ③由俯视图可知： 上没1CD1 1C有点；④由正（俯）视图可知： 处有点，由虚线可知 处有点， 点排除．由上述可,E,BFA还原出四棱锥 ，如右上图所示，1ABEDF- 8 -∴ ，∴ ．故选 .1BEDFS1 13ABEDFVA9. C 【解析】：依题意得： ，∴ ，故可得 ，∴2nS2nS41na，14nab，再由裂项求和法，可得 ，故11()nn12341010bb应选 C．10. D 【解析】：∵ ， ，∴ ， ，∴+3a2(+)9a2()4ab，22(+)()13ab∴ ，∴ ，∴ ， （当且仅当 时，等213+ab212bb132号成立） ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，故应选22()13()ab13aa3abD．11. B 【解析】：此框图的功能是求 大于 的约数的个数，其约数有 ，5612， ， ， ， ， ，47814256共有 个，故应选 B．12. B 【 解 析 】 ： 设 ， 则 ， 先 作 出 的 图 象 ， 及 直 线 ，()mfx()ft2,0()mfyt结 合 图 象可 以 看 出 ： ① 当 时 ， 不存在，从而 不存在；②当 时 ， ，则 ，原 方 程 有0tx0t 0x唯 一 根 ；③ 当 时 ， 则 存 在 唯 一 负 数 与之对应，再 作 出 的 图 象 ， 及 直 线 ，01t m2,()0xf， ym结 合 图 象 ，可 以 看 出 ： 不存在；④当 时 ， 则 存 在 一 个 负 数 或一 个 非 负 数 与之对应，再 作 出x1t1m2的 图 象 ， 及 直 线 （ ） ， 结 合 图 象 ， 可 以 看 出 ： ⑴ 对 于 负 数 ，没2,0()f， iy,2 1m有 与之对应，⑵当 时，则有两个不同的 与之对应，⑶当 时，则有唯一的x21mx201与之对应，综上所述：原 方 程 的 根 的 情 况 有 ： 无 实 根 ， 恰 有 实 根 ， 恰 有 实 根 ， 从 而 可 得1① 、 ② 、 ③ 正 确 ． 故 应 选 B．二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 【解析】bca- 9 -∵ ， ，∴ ；0.63.1. 152,52,sin26abc3.0.6bca14. 【解析】：画出可行域后可得最优解为 ，故 ；3 (,)Pmax3z15. 【解析】：由 得： ，故 ，又 ，∴ ，∴54122184PFac29b7b4a，∴ ；5c4e16. 【解析】：∵ ，∴2018 1()3sin()2fx，11()3sin()3sin()22fxxx∴ ，又设 ，则1f 32018()()099Sffff208()()9Sff，∴1ff2082017320162[()()][()()][()()]999Sffffff，∴ ．0128ff 8S三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一 )必 考 题 ： 共 60 分 .17. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)∵ 23(sin(i)cos1fxxx213sincoii，………3 分，令 ， ，∴1i(2)6x226kxkZ， ，3kkZ∴函数 的递增区间为 ， ，………6 分；() fx[,]63kkZ(Ⅱ) ∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴()2fA13sin()2Asin(2)16A0A- 10 -，1266A∴ ，∴ ，又 平分 ，∴ ，……8 分；又 ，3ADBC6AD2ADB又由正弦定理得： ，∴ ，∴ ，又 ，sinsiB2sini62siB03∴ ；……10 分=4∴ ，∴ ．……12 分()3C12362cos()()344C18. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)这 辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为0元；…5 分5201519(.9+.8.7+.+.3)5042.1662(Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 辆事故车，设为 ，a， 辆非事故车，设为 ， ， ， ．从这 辆车中随机挑选 辆车的情况有 ，b4123463(,1)ab，(,2)， ， ， ， ， ， ， ， ，,3a(,)b(,)a(,)(,1)a(,2)(,4)a(,),2，,1， ， ， ， ， ， ， ，共 种情(4),,24,3b,,1,32,0况．…6 分其中 辆车中恰好有一辆为事故车的情况有： ， ， ， ，3 (,2)a(,)(,4)a(,3)， ，(,24)a(,)， ， ， ， ， ，共 种．…7 分，故该顾客在1b(,14)b(,23)(,4)b(,3)1店内随机挑选 辆车，这 辆车中恰好有一辆事故车的概率为 .…9 分，3 2=05②由统计数据可知，该销售商一次购进 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车12辆，40非事故车 辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元 )80 [(50)4108]50． …12 分- 11 -19. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)在直角 中， ， ，∴ ，ABC904ABC2A又∵ 在 中， ， ， ，∴ ，P423P2PC∴ …3 分 ， 又 ，∴ ， 又 面 ，DEDE∥ EBD面 ， ∴ 面 …6 分DE∥(Ⅱ)∵ ， ， ，∴ 面 ，又 面 A，∴ACABCA，PB又∵ ， ，∴ ，又 ，∴ 面 ，又 面DPDBPCE，A∴ ，…9 分，又 ，∴当 最小时， 的面积最小，又当DBE12BACE时，PC最小，故此时 ，426sin23PD∴ ，cos2ACEP43∴ ，又 面 ，11263DECSDBPAC∴ ……12 分．41639EBDECEVSB20. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) ∵圆 过点 ，且与直线 相切，∴点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，MFlMFMl∴点 的轨迹是以 为焦点，以直线 ： 为准线的一抛物线，∴ 即(0,1)l1y12p，2p∴动点 的轨迹 C的方程为 ；… 4 分2xy(Ⅱ)依题意可设 ， ， ，… 5 分 ， 又 ，∴ ，∴0(,1)Px1(,)4A21(,)B24xy21x，12yx- 12 -∴切线 的斜率 ，∴切线 ： ，即 ，… 6 分 ， PA12kxPA211()4yxx21140yx同理可得：切线 的斜率 ， ： ，… 7 分 ， 又 ，∴B2kxB220xy0(,)Px且 ，故方程 即 有两根 ，1012+4x0+420+4x241x，∴ ，… 8 分 ，2∴ ，∴ ，… 9 分 ， 又 为线段 AB的中点，∴1112kxPABN…10 分 ，ABNP又 由 得： ，即 ，同理可得：2101+4x2110+4x101+xy，202y故直线 的方程为 …11 分 ， 故 直线 恒过定点 ．… 12 分 ．AB0xyAB(0,)F21. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) ∵ ， ，∴ ，(sincofxx02()sincosincofxxx…1 分0x令 ，则 或 ，… 2 分 ， ∴当 或 时， ，当()f2x32x32x()0fx时，32x，∴ 在 上递增，在 上递减， 在 上递增，∴当()0f()fx0,)23(,)2()fx3,2)时，2xf取得极大值， ，当 时， 取得极小值，()()2xf极 大 值 32x()fx；… 5 分3()2fxf极 小 值(Ⅱ)∵ 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，又令 ， ，则i()xiN()0fx，(12ix，… 6 分 ，N∴ ， ， ，… 9 分 ，22241(1)()ixi2()i21()i2iiN∴ ． …22234+nx 211[ ()]()34nn 2- 13 -12 分 ．22. (本小题满分 10 分)解：(Ⅰ)∵直线 的参数方程为 （ 为参数） ，∴直线 的普通方程为l13xtyl，3(1)yx即 ，∴直线 的极坐标方程： …2 分 ； 又 ∵曲线 的极坐标方程为l=C， ， ，∴ ， 即24cosin4cosxiny243xy， ∴ 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， …5 分 ；2()3xyC())(Ⅱ )∵将直线 ： 代入曲线 的极坐标方程： 得：l=2cosin，… 7 分 ； 设直线 与曲线 的两交点 的极坐标分别为 ，2540l,AB1(,)A，∴ ，… 8 分 ；(,)B124∴ 的值．… 10 分 ．12OA23．解：(Ⅰ)∵ ，∴ 当 时，()fxa2，… 2 分 ；,()1231,xfx又 ，∴ 或 或 ，… 3 分 ； ∴ 或 或()5f5xx1512x，23x∴ 或 ，… 4 分 ； ∴ 的解集为 ；… 5 分 ；()5fx(,2)(3,)(Ⅱ) ∵ （当且仅当 时，等号成立） ，… 6 分 ；()11fxa10xa∴ …7 分 ； 又对任意实数 ，都有 恒成立，∴ ，… 8 分 ；mina()fmin()3fx∴ ，3∴ 或 ， ∴ 或 ． …9 分 ； 故 实 数 的 取 值 范 围 为12a4a或 ． …10 分 ． 2a4- 14 -- 1 -莆田六中 2018 届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分） ．1．已知集合 , ,则 ( )20Ax10BxBAA． B． C． D．1,1,22．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式 （ 为虚数单位） ，将指数函数的 定义域扩大到复数，建立了三角函cosinixex数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数 在复平面内位于( )54ieA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3．已知△ ABC 中，点 D 为 BC 中点，若向量 ，则 =( )1,2,3ABCADCA．2 B．4 C． D．44．若直线 的倾斜角为 ， 则双曲线 的离心率为( )0bxay,b6021xyabA．2 B． C. D．35525．若 ,则 的概率为 ( ),xy24xyA．B.C．D.14π86．若函数 的部分图象如图所示,则π()sin()0,,)2fxxAxR=( ) A．1 B. C． D.π3f 37．如图所示,棱长为 1 的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为( )A．12 B． 4+5C． D．8+4683- 2 -8．若 ,则 的大小关系为( )01ab1,log,babaA． B．1logba1loglbbaC． D． llb 1lba9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对( x,y)所对应的点都在函数的图象上，则实数 的值依次为( )fxac,acA．1,2, B．2, ,2 C．D．23593,231,210．已知直线 与曲线 交于 两点，若 x 轴上0yt0ypxNM存在关于原点对称的两点 ( 均在 y 轴右侧)，使得A,M,恒为定值 2，则 p=( )NBMAA．1 B．2 C．3 D．411．在三棱锥 中， ， ， 则三棱锥CD1,A2D3ABC的外接球表面积为( ) A． B． C． Bπ7π44πD． 7π12. 定义在 R 上的函数 ，当 时， ，且对任意实数fx0,21fx，都有 .若12,,2nxnN 1ff有且仅有三个零点，则 的取值范围是( ) A. B. logagfxa2,10C. D.2,102,,10二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．若 是偶函数，则数据 3，6，8， a 的中位数是 . 2lnexafx14．成书于公元前 1 世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之” ，用现代数学符号表示就是 ， 可见当时就已经知道勾股定理.如果正22abc整数 满足 ， 我们就把正整数 叫做勾股数，下面给出几组勾股数：,abc22c,3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数 m,且第二- 3 -个、第三个数都可以用含 m 的代数式来表示，依此规律,当 时，得到的一组勾股数是 13m．15．已知不等式组 表示的平面区域为 D,若存在 ，103xy 0,xy使得 ，则实数 k 的取值范围是 .001ykx16．四边形 ABCD 中 , ， ， 则四边2ADBC2BC形 ABCD 面积的取值范围为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共 60 分17． （本小题满分 12 分）已知 .121n nSaa(1)若 是等差数列,且 , ,求 ； (2)若 是等比数列,且na1528n na,求 .1235Sn18． （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 -'ABC， =90A，='ABC， 点 ,MN分别为 和 'BC的中点.（Ⅰ）证明： /''A平 面 ；（Ⅱ）若二面角 '-为直二面角，求 的值.19． （本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量 及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数（人） x30 25 y10结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3- 4 -已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％，将频率视为概率.（Ⅰ）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；,xy（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.20．(本题满分 12 分) 已知圆 关于椭圆 C： 的一个20xy21xyab0焦点对称，且经过椭圆的一个顶点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l： 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，已知 O 为坐标原点，以线段 OA、 OB 为1ykx邻边作平行四边形 OAPB， 若点 P 在椭圆 C 上，求 k 的值及平行四边形 OAPB 的面积.21． （本小题满分 12 分）已知函数 ,其中常数 ．2lnfxax0a（1）讨论函数 的单调性；（2）已知 , 在 处的切线为fx1ft,yg求证：当 时, 恒成立.02xt0xtfgx(二)选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 为极xOyl21xy O点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .1C22cos4sin3(1)求出直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；l1(2)若直线 与曲线 交于 A， B 两点，点 C 是曲线 上与 A， B 不重合的一点，求 ABC 面1C1 积的最大值.- 5 -23． （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ．()|3|2|fxx(Ⅰ)若不等式 恒成立，求实数 的最大值 ；|1|mmM(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数 满足 ，求证： ．,abc2c1abc- 6 -2017-2018 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号： 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( )1,3927A3log,ByxABA． B． C． D．， ， ， 927， ， 13927， ， ，2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 ( )ziizA． B． C． D．23 53. 已知等差数列 的首项 和公差 均不为零，且 ， ， 成等比数列，na1d2a48则 ( ) A． B． C． D．15923+6534. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的ABGBC中点，四边形 与四边形 也为正方形，连接 、 ，则向多边形 中投掷AEFGDHIECIAEFHID一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A． B． C． D． 128165245. 已知直线 平面 ，则“直线 ”是“ ”的 ( )mnmn∥A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6. 已知圆 ： ，点 ， ．从点 观察点 ，要使视线不被圆23xy(0,23)A(,23)BaAB挡住，则实数 的取值范围为 ( )aA． B． C． D．(,23)(,)(,4)(,)(,2,4,)7.将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得图象对应的(cos23infxx0函数为偶函数，则 的最小值为 ( ) A． B． C． 6323- 7 -D． 568. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( ) A． 13 B． 2 C． 1 D． 349.定义 为 个正数 的“均倒数” ．123npp 123,,npp若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则na14nab( )123410bbA． B． 9 C． 10 D． 1210.已知向量 a， 满足 ， ，则 的取值范围是 ( )+3b2a+abA． [2,3] B． [,4] C． [,1] D． [3,]11.已知 函数是一个求余函数，记 表示 除MOD()MOmn以的余数，例如 ．右图是某个算法的程序框n(8,3)2图，若输入 的值为 ，则输出的值为 ( ) m56A． B． C． D．678912.已知 ，则关于 的方程 ，2,0()xfx()fxt给出下列五个命题：①存在实数 ，使得该方程没有实根； t②存在实数 ，使得该方程恰有 个实根；t1③存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根； 2④存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根；t3⑤存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根．4其中正确的命题的个数是 ( ) A． B． C． D．4321二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）nm?(,)0MODn1in2,i0开 始结 束输 入输 出 i是 是否 否- 8 -13.设 ，则 a， b， c 的大小关系是________(用“”连接) 0.63.152,,sin6abc14.若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 ； xy20yx2zxy15.设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若1F2 21, yabP，0P的面积为 ，且 ，则该双曲线的离心率为 ；1297b16.已知函数 ，则 ()3sin()2fxx2()()019ff018()9f； 三、 解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一 )必 考 题 ： 共 60 分 .17. (本小题满分 12 分) 已知函数 ．23()sin()i)cos1fxxx(Ⅰ)求函数 的递增区间；(Ⅱ)若 的角 所对的边分别为 ，角 的( fxABC, ,abcA平分线交 于 ， ， ，求 ．BCD3()2fA2Dcos18. (本小题满分 12 分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 座以下私家车投保交强险第一年的费6用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆950发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：- 9 -交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%2上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 23上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 34A上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 05上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 1%6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 3某机构为了研究某一品牌普通 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 辆车龄已满三6 60年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 1A234A56数量 0501(Ⅰ)求这 辆车普通 座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到 元）60 0.1(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损 元，一辆非事故车盈利 元，且各种投保类5010型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选辆车，3求这 辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进 辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的 平均120值．19. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 中， ， ，PABC4PABC- 10 -， ， 为线段 的中点， 是线段90ABC43PDACEPC上一动点． （1）当 时，求证： 面 ；EP∥ DB（2）当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．20. (本小题满分 12 分)已知一定点 ，及一定直线 ： ，以动点 为圆心的圆 过点 ，且与直(0,1Fl1yMF线 相切．l(Ⅰ)求动点 的轨迹 C的方程；M(Ⅱ)设 P在直线 l上，直线 PA， B分别与曲线 C相切于 A， B， 为线段 AB的中N点．求证： ，且直线 恒过定点．2ABN21. (本小题满分 12 分) 已知函数 .()sincofxx(Ⅰ)若 ，求函数 的极值；(0,2x(Ⅱ)若 ，记 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，证明：i()fxiN（ ） ． 2223411+9nx n，(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修 4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)- 11 -已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 为极点， 轴非负半l13xty Ox轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ．C24cos3in4(Ⅰ) 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；l(Ⅱ) 设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值．,ABOB23.选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分)设函数 ． )1fxxa(Ⅰ)当 时，求不等式 的解集；2a()5f(Ⅱ)对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．x3a2017-2018 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D D C B B C A C D B B1. A 【解析】：∵ ， ，则 ，故应1,927A3log,0,123yx1,3A选 A． 2. D 【解析】：∵ ，∴ ，∴ ，故应选 D．zii1zi5z3. D【解析】：∵ ， ， 成等比数列，2a48∴ ，∴ ，∴ ，248a211(3)()7)adad21d又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，0d1111(0nna1591123++3aa故应选 D．4. C【解析】：设 ，则 ， ，故多边形 的面积2ABG5AAEFGHID- 12 -，152S∵ ，∴2sincos5ABEABG，11in22SE阴 影 部 分故所求概率为 ．故应选 C．6P5. B 【解析】： 由 ， 推不出 （可能 ） ，由 ， 能推出mnn∥ nmn∥；nm6. B 【解析】：点 在直线 上，过点 作圆的切线，设该切线的斜率为 ，B23y(0,23)Ak则该切线的方程为 ，即 ．由圆心到切线的距离等于半径得： ，∴23ykx0kxy 231k，k∴该切线的方程为 ，它和直线 的交点为 、 ．故要使视线23yx23y(4,)(,不被圆 C挡住， 则实数 的取值范围为 ，故应选 B． （或作出图形，利用平几法，求相a(,4)(,)关线段）7. C 【解析】：∵ 向左平移 （()2cos3in4cos()3fxx）0单位后得到函数 ，又 为偶函数，故()gx4cs()3()gx，3k，故 ， ，故 ，故应选 C．Z3kZmin238. A 【解析】：抠点法:在长方体 中抠点，①由正视图1ABCD可知： 上没有点； ②由侧视图可知： 上没有点； ③由俯视图可知： 上没1CD1 1C有点；④由正（俯）视图可知： 处有点，由虚线可知 处有点， 点排除．由上述可,E,BFA还原出四棱锥 ，如右上图所示，1ABEDF- 13 -∴ ，∴ ．故选 .1BEDFS1 13ABEDFVA9. C 【解析】：依题意得： ，∴ ，故可得 ，∴2nS2nS41na，14nab，再由裂项求和法，可得 ，故11()nn12341010bb应选 C．10. D 【解析】：∵ ， ，∴ ， ，∴+3a2(+)9a2()4ab，22(+)()13ab∴ ，∴ ，∴ ， （当且仅当 时，等213+ab212bb132号成立） ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，故应选22()13()ab13aa3abD．11. B 【解析】：此框图的功能是求 大于 的约数的个数，其约数有 ，5612， ， ， ， ， ，47814256共有 个，故应选 B．12. B 【 解 析 】 ： 设 ， 则 ， 先 作 出 的 图 象 ， 及 直 线 ，()mfx()ft2,0()mfyt结 合 图 象可 以 看 出 ： ① 当 时 ， 不存在，从而 不存在；②当 时 ， ，则 ，原 方 程 有0tx0t 0x唯 一 根 ；③ 当 时 ， 则 存 在 唯 一 负 数 与之对应，再 作 出 的 图 象 ， 及 直 线 ，01t m2,()0xf， ym结 合 图 象 ，可 以 看 出 ： 不存在；④当 时 ， 则 存 在 一 个 负 数 或一 个 非 负 数 与之对应，再 作 出x1t1m2的 图 象 ， 及 直 线 （ ） ， 结 合 图 象 ， 可 以 看 出 ： ⑴ 对 于 负 数 ，没2,0()f， iy,2 1m有 与之对应，⑵当 时，则有两个不同的 与之对应， ⑶当 时，则有唯一的x21mx201与之对应，综上所述：原 方 程 的 根 的 情 况 有 ： 无 实 根 ， 恰 有 实 根 ， 恰 有 实 根 ， 从 而 可 得1① 、 ② 、 ③ 正 确 ． 故 应 选 B．二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 【解析】bca- 14 -∵ ， ，∴ ；0.63.1. 152,52,sin26abc3.0.6bca14. 【解析】：画出可行域后可得最优解为 ，故 ；3 (,)Pmax3z15. 【解析】：由 得： ，故 ，又 ，∴ ，∴54122184PFac29b7b4a，∴ ；5c4e16. 【解析】：∵ ，∴2018 1()3sin()2fx，11()3sin()3sin()22fxxx∴ ，又设 ，则1f 32018()()099Sffff208()()9Sff，∴1ff2082017320162[()()][()()][()()]999Sffffff，∴ ．0128ff 8S三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一 )必 考 题 ： 共 60 分 .17. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)∵ 23(sin(i)cos1fxxx213sincoii，………3 分，令 ， ，∴1i(2)6x226kxkZ， ，3kkZ∴函数 的递增区间为 ， ，………6 分；() fx[,]63kkZ(Ⅱ) ∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴()2fA13sin()2Asin(2)16A0A- 15 -，1266A∴ ，∴ ，又 平分 ，∴ ，……8 分；又 ，3ADBC6AD2ADB又由正弦定理得： ，∴ ，∴ ，又 ，sinsiB2sini62siB03∴ ；……10 分=4∴ ，∴ ．……12 分()3C12362cos()()344C18. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)这 辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为0元；…5 分5201519(.9+.8.7+.+.3)5042.1662(Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 辆事故车，设为 ，a， 辆非事故车，设为 ， ， ， ．从这 辆车中随机挑选 辆车的情况有 ，b4123463(,1)ab，(,2)， ， ， ， ， ， ， ， ，,3a(,)b(,)a(,)(,1)a(,2)(,4)a(,),2，,1， ， ， ， ， ， ， ，共 种情(4),,24,3b,,1,32,0况．…6 分其中 辆车中恰好有一辆为事故车的情况有： ， ， ， ，3 (,2)a(,)(,4)a(,3)， ，(,24)a(,)， ， ， ， ， ，共 种．…7 分，故该顾客在1b(,14)b(,23)(,4)b(,3)1店内随机挑选 辆车，这 辆车中恰好有一辆事故车的概率为 .…9 分，3 2=05②由统计数据可知，该销售商一次购进 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车12辆，40非事故车 辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元 )80 [(50)4108]50． …12 分- 16 -19. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ)在直角 中， ， ，∴ ，ABC904ABC2A又∵ 在 中， ， ， ，∴ ，P423P2PC∴ …3 分 ， 又 ，∴ ， 又 面 ，DEDE∥ EBD面 ， ∴ 面 …6 分DE∥(Ⅱ)∵ ， ， ，∴ 面 ，又 面 A，∴ACABCA，PB又∵ ， ，∴ ，又 ，∴ 面 ，又 面DPDBPCE，A∴ ，…9 分，又 ，∴当 最小时， 的面积最小，又当DBE12BACE时，PC最小，故此时 ，426sin23PD∴ ，cos2ACEP43∴ ，又 面 ，11263DECSDBPAC∴ ……12 分．41639EBDECEVSB20. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) ∵圆 过点 ，且与直线 相切，∴点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，MFlMFMl∴点 的轨迹是以 为焦点，以直线 ： 为准线的一抛物线，∴ 即(0,1)l1y12p，2p∴动点 的轨迹 C的方程为 ；… 4 分2xy(Ⅱ)依题意可设 ， ， ，… 5 分 ， 又 ，∴ ，∴0(,1)Px1(,)4A21(,)B24xy21x，12yx- 17 -∴切线 的斜率 ，∴切线 ： ，即 ，… 6 分 ， PA12kxPA211()4yxx21140yx同理可得：切线 的斜率 ， ： ，… 7 分 ， 又 ，∴B2kxB220xy0(,)Px且 ，故方程 即 有两根 ，1012+4x0+420+4x241x，∴ ，… 8 分 ，2∴ ，∴ ，… 9 分 ， 又 为线段 AB的中点，∴1112kxPABN…10 分 ，ABNP又 由 得： ，即 ，同理可得：2101+4x2110+4x101+xy，202y故直线 的方程为 …11 分 ， 故 直线 恒过定点 ．… 12 分 ．AB0xyAB(0,)F21. (本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) ∵ ， ，∴ ，(sincofxx02()sincosincofxxx…1 分0x令 ，则 或 ，… 2 分 ， ∴当 或 时， ，当()f2x32x32x()0fx时，32x，∴ 在 上递增，在 上递减， 在 上递增，∴当()0f()fx0,)23(,)2()fx3,2)时，2xf取得极大值， ，当 时， 取得极小值，()()2xf极 大 值 32x()fx；… 5 分3()2fxf极 小 值(Ⅱ)∵ 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，又令 ， ，则i()xiN()0fx，(12ix，… 6 分 ，N∴ ， ， ，… 9 分 ，22241(1)()ixi2()i21()i2iiN∴ ． …22234+nx 211[ ()]()34nn 2- 18 -12 分 ．22. (本小题满分 10 分)解：(Ⅰ)∵直线 的参数方程为 （ 为参数） ，∴直线 的普通方程为l13xtyl，3(1)yx即 ，∴直线 的极坐标方程： …2 分 ； 又 ∵曲线 的极坐标方程为l=C， ， ，∴ ， 即24cosin4cosxiny243xy， ∴ 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， …5 分 ；2()3xyC())(Ⅱ)∵将直线 ： 代入曲线 的极坐标方程： 得：l=2cosin，… 7 分 ； 设直线 与曲线 的两交点 的极坐标分别为 ，2540l,AB1(,)A，∴ ，… 8 分 ；(,)B124∴ 的值．… 10 分 ．12OA23．解：(Ⅰ)∵ ，∴ 当 时，()fxa2，… 2 分 ；,()1231,xfx又 ，∴ 或 或 ，… 3 分 ； ∴ 或 或()5f5xx1512x，23x∴ 或 ，… 4 分 ； ∴ 的解集为 ；… 5 分 ；()5fx(,2)(3,)(Ⅱ) ∵ （当且仅当 时，等号成立） ，… 6 分 ；()11fxa10xa∴ …7 分 ； 又对任意实数 ，都有 恒成立，∴ ，… 8 分 ；mina()fmin()3fx∴ ，3∴ 或 ， ∴ 或 ． …9 分 ； 故 实 数 的 取 值 范 围 为12a4a或 ． …10 分 ． 2a4- 19 -