1、 点 直线与圆的位置关系 一 .选择题 1.（ 2018江苏徐州 2分 ） O1和 O2的半径分别为 5和 2， O1O2=3，则 O1和 O2的位置关系是（ ） A内含 B内切 C相交 D外切 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断 O1与 O2的位置关系 【解答】解： O1和 O2的半径分别为 5和 2， O1O2=3，则 5 2=3， O1和 O2内切 故选： B 【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R和 r，且 Rr ，圆心距为 P：外离 P R+r；外切 P=R+r；相交 R r P R+r；内切 P=R r；内含 P R r 2.（ 20
2、18上海 4 分）如图，已知 POQ=30 ，点 A.B在射线 OQ 上（点 A在点 O、 B之间），半径长为 2的 A与直线 OP 相切，半径长为 3的 B与 A相交，那么 OB的取值范围是（ ） A 5 OB 9 B 4 OB 9 C 3 OB 7 D 2 OB 7 【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得： OA=4，再确认 B 与 A 相 切时， OB 的长，可得结论 【解答】解：设 A与直线 OP相切时切点为 D，连接 AD， AD OP， O=30 ， AD=2， OA=4， 当 B与 A相内切时，设切点为 C，如图 1， BC=3， OB=OA+AB=4+3 2=
3、5； 当 A与 B相外切时，设切点为 E，如图 2， OB=OA+AB=4+2+3=9， 半径长为 3的 B与 A相交，那么 OB的取值范围是： 5 OB 9， 故选： A 【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定 OB的取值范围 3. （ 2018湖州 4分 ）如图，已知 ABC的内切圆 O与 BC 边相切于点 D，连结 OB， OD若 ABC=40 ，则 BOD的度数是 70 【分析】 先根据三角形内心的性质和切线的性质得到 OB平分 ABC， OD BC，则 OBD= ABC=20 ，然后利用互余
4、计算 BOD的度数 【解答】 解： ABC 的内切圆 O与 BC 边相切于点 D， OB平分 ABC， OD BC， OBD= ABC= 40=20 ， BOD=90 OBD=70 故答案为 70 【点评】 本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角 4.（ 2018嘉兴 3分 ） 用反证法证明时 ,假设结论 “ 点在圆外 ” 不成立 ,那么点与圆的位置关系只能是（） A. 点在圆内 . B. 点在圆上 . C. 点在圆心上 . D. 点在圆上或圆内 . 【答案】 D 【解析】【分析】在假设结论不成立 时要注意考虑结论的反面所有
5、可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 【解答】用反证法证明时，假设结论 “ 点在圆外 ” 不成立， 那么点应该在圆内或者圆上 . 故选 D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系 . 5.（ 2018福建 A卷 4分 ）如图， AB 是 O的直径， BC与 O相切于点 B， AC 交 O于点 D，若 ACB=50 ，则 BOD等于（ ） A 40 B 50 C 60 D 80 【分析】根据切线的性质得到 ABC=90 ，根据直角三角形的性质求出 A，根据圆周角定理计算即可 【解答】解： BC是 O的切线， ABC=9
6、0 ， A=90 ACB=40 ， 由圆周角定理得， BOD=2 A=80 ， 故选： D 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 6.（ 2018福建 B卷 4 分）如图， AB 是 O的直径， BC与 O相切于点 B， AC 交 O于点 D，若 ACB=50 ，则 BOD等于（ ） A 40 B 50 C 60 D 80 【分析】根据切线的性质得到 ABC=90 ，根据直角三角形的性质求出 A，根据圆周角定理计算即可 【解答】解： BC是 O的切线， ABC=90 ， A=90 ACB=40 ， 由圆周角定理得， BOD=2 A=80 ，
7、故选： D 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径 是解题的关键 7. （ 2018湖南湘西州 4.00分）如图，直线 AB 与 O相切于点 A， AC.CD是 O的两条弦，且 CD AB，若 O的半径为 5， CD=8，则弦 AC的长为（ ） A 10 B 8 C 4 D 4 【分析】 由 AB 是圆的切线知 AO AB，结合 CD AB知 AO CD，从而得出 CE=4， Rt COE中求得 OE=3 及 AE=8，在 Rt ACE中利用勾股定理可得答案 【解答】 解： 直线 AB与 O相切于点 A， OA AB， 又 CD AB， AO CD，记垂足
8、为 E， CD=8， CE=DE= CD=4， 连接 OC，则 OC=OA=5， 在 Rt OCE中， OE= = =3， AE=AO+OE=8， 则 AC= = =4 ， 故选： D 【点评】 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理 8.（ 2018上海 4 分）如图，已知 POQ=30 ，点 A.B在射线 OQ 上（点 A在点 O、 B之间），半径长为 2的 A与直线 OP 相切，半径长为 3的 B与 A相交，那么 OB的取值范围是（ ） A 5 OB 9 B 4 OB 9 C 3 OB 7 D 2 OB 7 【分析】作半径 AD，根据直
9、角三角形 30 度角的性质得： OA=4，再确认 B 与 A 相切时， OB 的长，可得结论 【解答】解：设 A与直线 OP相切时切点为 D，连接 AD， AD OP， O=30 ， AD=2， OA=4， 当 B与 A相内切时，设切点为 C，如图 1， BC=3， OB=OA+AB=4+3 2=5； 当 A与 B相外切时，设切点为 E，如图 2， OB=OA+AB=4+2+3=9， 半径长为 3的 B与 A相交，那么 OB的取值范围是： 5 OB 9， 故选： A 【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形
10、确定 OB的取值范围 二 .填空题 1.（ 2018江苏徐州 3分）如图， AB是 O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD与 O相切于点 D若 C=18 ，则 CDA= 126 度 【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得 ODA=36 ，从而根据 CDA= CDO+ ODA 计算求解 【解答】解：连接 OD，则 ODC=90 ， COD=72 ； OA=OD， ODA= A= COD=36 ， CDA= CDO+ ODA=90+36=126 【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解 2.（ 2018内蒙古包头市 3分） 如图， AB是 O
11、的直径，点 C在 O上，过点 C的切线与 BA 的延长线交于点D，点 E在 上（不与点 B， C重合），连接 BE， CE若 D=40 ，则 BEC= 115 度 【分析】连接 OC，根据切线的性质求出 DCO，求出 COB，即可求出答案 【解答】解： 连接 OC， DC切 O于 C， DCO=90 ， D=40 ， COB= D+ DCO=130 ， 的度数是 130 ， 的度数是 360 130=230 ， BEC= =115 ， 故答案为： 115 【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求 出 DCO的度数是解此题的关键 3. （ 2018嘉兴 4分 .） 如图 ,量
12、角器的 度刻度线为 .将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点 ,直尺另一边交量角器于点 ，量得 ,点 在量角器上的读数为 .则该直尺的宽度为 _ 【答案】 【解析】【分析】连接 OC,OD,OC与 AD 交于点 E，根据圆周角定理有 根据垂径定理有：解直角 即可 . 【解答】连接 OC,OD,OC与 AD交于点 E， 直尺的宽度： 故答案为： 【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键 . 4. （ 2018广西 玉林 3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“ 4”和“ 16”（
13、单位： cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 10 cm 【分析】先利用垂径定理得， BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论 【解答】解：如图， 记圆的圆心为 O，连接 OB， OC交 AB于 D， OC AB， BD= AB， 由图知， AB=16 4=12cm， CD=2cm， BD=6，设圆的半径为 r，则 OD=r 2， OB=r， 在 Rt BOD中 ，根据勾股定理得， OB2=AD2+OD2， r2=36+（ r 2） 2， r=10cm， 故答案为 10 4. （ 2018黑龙江大庆 3分 ） 在 ABC中， C=90 ， AB=10，且 AC=6，则这个三角形的内切圆半
14、径为 2 【分析】 先 利用勾股定理计算出 BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径 = （ A.b 为直角边， c 为斜边）进行计算 【解答】 解： C=90 ， AB=10， AC=6， BC= =8， 这个三角形的内切圆半径 = =2 故答案为 2 5. （ 2018广东 3分）如图，矩形 ABCD中， BC=4， CD=2，以 AD 为直径的半圆 O与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面 积为 （结果保留 ） 【分析】 连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2， OE BC，易得四边形 OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD S 扇形 EOD计
15、算由弧 DE.线段 EC.CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积 【解答】 解：连接 OE，如图， 以 AD 为直径的半圆 O与 BC相切于点 E， OD=2， OE BC， 易得四边形 OECD为正方形 ， 由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积 =S 正方形 OECD S 扇形 EOD=22 =4 ， 阴影部分的面积 = 2 4（ 4 ） = 故答案为 【点评】 本题考查了切线的性质：圆 的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式 6. （ 2018 湖南长沙 3.00分
16、）如图，点 A， B， D在 O上， A=20 ， BC是 O的切线， B为切点， OD 的延长线交 BC于点 C，则 OCB= 50 度 【分析】由圆周角定理易求 BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得 OBC=90 ，进而可求出求出 OCB的度 【解 答】解： A=20 ， BOC=40 ， BC是 O的切线， B为切点， OBC=90 ， OCB=90 40=50 ， 故答案为： 50 【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键 三 .解答题 1. （ 2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市 8 分 ）如图，在 O 中， AB 为
17、直径， AC 为弦过 BC延长线上一点 G，作 GD AO 于点 D，交 AC于点 E，交 O于点 F， M是 GE 的中点，连接 CF， CM （ 1）判断 CM与 O的位置关系，并说明 理由； （ 2）若 ECF=2 A， CM=6， CF=4，求 MF的长 【分析】（ 1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到 ACB=90 ，再根据斜边上的中线性质得 MC=MG=ME，所以 G= 1，接着证明 1+ 2=90 ，从而得到 OCM=90 ，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM为 O的切线； （ 2）先证明 G= A，再证明 EMC= 4，则可判定 EFC ECM，利用相似比先计
18、算出 CE，再计算出 EF，然后计算 ME EF 即可 【解答】解：（ 1） CM 与 O相切理由如下： 连接 OC，如图， GD AO于点 D， G+ GBD=90 ， AB为直径， ACB=90 ， M点为 GE 的中点， MC=MG=ME， G= 1， OB=OC， B= 2， 1+ 2=90 ， OCM=90 ， OC CM， CM为 O的切线； （ 2） 1+ 3+ 4=90 ， 5+ 3+ 4=90 ， 1= 5， 而 1= G， 5= A， G= A， 4=2 A， 4=2 G， 而 EMC= G+ 1=2 G， EMC= 4， 而 FEC= CEM， EFC ECM， = =
19、，即 = = ， CE=4， EF= ， MF=ME EF=6 = 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设 O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d：直线 l和 O相交 d r；直线 l和 O相切 d=r；直线 l和 O相离 d r也考查了圆周角定理 2. （ 2018湖北随州 8分 ）如图， AB是 O的直径，点 C为 O上一点， CN 为 O的切线， OM AB于点 O，分别交 AC.CN于 D.M两点 （ 1）求证： MD=MC； （ 2）若 O的半径为 5， AC=4 ，求 MC的长 【分析】 （ 1）连接 OC，利用切线的性质证明即可； （ 2）根据相似三角形的判定和性质以及
20、勾股定理解答即可 【解答】 解：（ 1）连接 OC， CN为 O的切线， OC CM， OCA+ ACM=90 ， OM AB， OAC+ ODA=90 ， OA=OC， OAC= OCA， ACM= ODA= CDM， MD=MC； （ 2）由题意可知 AB=5 2=10， AC=4 ， AB是 O的直径， ACB=90 ， BC= ， AOD= ACB， A= A， AOD ACB， ，即 ， 可得： OD=2.5， 设 MC=MD=x，在 Rt OCM中，由勾股定理得：（ x+2.5） 2=x2+52， 解得： x= ， 即 MC= 【点评】 本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和
21、性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题 3. （ 2018湖北襄阳 8分 ）如图， AB是 O 的直径， AM和 BN是 O的两条切线， E为 O上一点，过点 E作直线 DC分别交 AM， BN于点 D， C，且 CB=CE （ 1）求证： DA=DE； （ 2）若 AB=6， CD=4 ，求图中阴影部分的面积 【分析】（ 1）连接 OE推知 CD为 O的切线，即可证明 DA=DE； （ 2）利用分割法求得阴影部分的面 积 【解答】解：（ 1）证明：连接 OE.OC OB=OE， OBE= OEB BC=EC， CBE= CEB， OBC= OEC B
22、C为 O的切线， OEC= OBC=90 ； OE为半径， CD为 O的切线， AD切 O于点 A， DA=DE； （ 2）如图，过点 D作 DF BC于点 F，则四边形 ABFD是矩形， AD=BF， DF=AB=6， DC=BC+AD=4 BC= =2 ， BC AD=2 ， BC=3 在直角 OBC中， tan BOE= = ， BOC=60 在 OEC与 OBC中， ， OEC OBC（ SSS）， BOE=2 BOC=120 S 阴影部分 =S 四边形 BCEO S 扇形 OBE=2 BCOB =9 3 【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等
23、，运用全等三角形的判定与性质进行计算 4. （ 2018湖南郴州 8 分 ）已知 BC 是 O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点， AB=AD， AE 是 O 的弦， AEC=30 （ 1）求证：直线 AD是 O的切线； （ 2）若 AE BC，垂足为 M， O的半径为 4，求 AE的长 【分析】 （ 1）先求出 ABC=30 ，进而求出 BAD=120 ，即可求出 OAB=30 ，结论得证； （ 2）先求 出 AOC=60 ，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论 【解答】 解：（ 1）如图， AEC=30 ， ABC=30 ， AB=AD， D= ABC=30 ， 根据三角形
24、的内角和定理得， BAD=120 ， 连接 OA， OA=OB， OAB= ABC=30 ， OAD= BAD OAB=90 ， OA AD， 点 A在 O上， 直线 AD是 O的切线； （ 2）连接 OA， AEC=30 ， AOC=60 ， BC AE于 M， AE=2AM， OMA=90 ， 在 Rt AOM中， AM=OAsin AOM=4 sin60=2 ， AE=2AM=4 【点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周 角定理，求出 AOC=60 是解本题的关键 5. （ 2018湖南怀化 12 分 ）已知：如图， AB 是
25、O的直径， AB=4，点 F， C是 O上两点，连接 AC， AF，OC，弦 AC平分 FAB， BOC=60 ，过点 C作 CD AF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D （ 1）求扇形 OBC的面积（结果保留）； （ 2）求证： CD是 O的切线 【分析】（ 1）由扇形的面积公式即可求出答案 （ 2）易证 FAC= ACO，从而可知 AD OC，由于 CD AF，所以 CD OC，所以 CD是 O的切线 【解答】解：（ 1） AB=4， OB=2 COB=60 ， S 扇形 OBC= = （ 2） AC平分 FAB， FAC= CAO， AO=CO， ACO= CAO FAC= AC
26、O AD OC， CD AF， CD OC C在圆上， CD是 O的切线 【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型 6.（ 2018江苏宿迁 10分 ） 如图， AB.AC分别是 O 的直径和弦， ODAC 于点 D，过点 A作 O 的切线与 OD的延长线交于点 P， PC.AB的延长线交于点 F. （ 1）求证： PC是 O 的切线； （ 2）若 ABC=60 ,AB=10,求线 段 CF的长 . 【答案】 （ 1）证明见解析 ；（ 2） CF=5 . 【 分 析】试题分析：（ 1）、连接 OC，可以证得 OAP OCP，利用全等三角
27、形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到： OCP=90 ，即 OC PC，即可证得；（ 2）、依据切线的性质定理可知 OC PE，然后通过解直角三角函数，求得 OF的值，再减去圆的半径即可 试题解析：（ 1）、连接 OC， OD AC， OD经过圆心 O， AD=CD， PA=PC， 在 OAP和 OCP中， ， OAP OCP（ SSS）， OCP= OAP PA是 O的切线， OAP=90 OCP=90 ，即 OC PC PC是 O的切线 （ 2）、 AB 是直径， ACB=90 ， CAB=30 ， COF=60 ， PC是 O的切线， AB=10， OC PF， OC=OB= AB
28、=5， OF= =10， BF=OF OB=5 【点睛】（ 1）、切线的判定与性质；（ 2）、解直角三角形 7.（ 2018江苏淮安 10分）如图， AB 是 O的直径， AC是 O 的切线，切点为 A， BC交 O 于点 D，点 E是AC的中点 （ 1）试判断直线 DE与 O的位置关系，并说明理由； （ 2）若 O的半径为 2， B=50 ， AC=4.8，求图中阴影部分的面积 【分析】（ 1）连接 OE.OD，如图，根据切线的性质得 OAC=90 ，再证明 AOE DOE得到 ODE= OAE=90 ，然后根据切线的判定定理得到 DE 为 O的切线； （ 2）先计算出 AOD=2 B=10
29、0 ，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积 【解答】解：（ 1）直线 DE与 O相切理由如下： 连接 OE.OD，如图， AC是 O的切线， AB AC， OAC=90 ， 点 E是 AC 的中点， O点为 AB的中点， OE BC， 1= B， 2= 3， OB=OD， B= 3， 1= 2， 在 AOE和 DOE中 ， AOE DOE， ODE= OAE=90 ， OA AE， DE为 O的切线； （ 2） 点 E是 AC的中点， AE= AC=2.4， AOD=2 B=250=100 ， 图中阴影部分的面积 =2 22.4 =4.8 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线
30、垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和扇形的面积公式 8.（ 2018江苏苏州 10 分）如图， AB是 O的直径，点 C在 O上， AD垂直于过点 C的切线，垂足为 D， CE垂直 AB，垂足为 E延长 DA交 O于点 F，连接 FC， FC与 AB相交于点 G，连接 OC （ 1）求证： CD=CE； （ 2）若 AE=GE，求证： CEO是等腰直角三角形 【分析】（ 1）连接 AC，根据切线的性质和已知得： AD OC，得 DAC= ACO，根据 AAS证明 CDA CEA（ AAS），可得结论； （ 2）介绍两种证法： 证法一
31、：根据 CDA CEA，得 DCA= ECA，由等腰三角形三线合一得： F= ACE= DCA= ECG，在直角三角形中得： F= DCA= ACE= ECG=22.5 ，可得结论； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x，根据平角的定义得： DAC+ EAC+ OAF=180 ，则 3x+3x+2x=180，可得结论 【解答】证明：（ 1）连接 AC， CD是 O的切线， OC CD， AD CD， DCO= D=90 ， AD OC， DAC= ACO， OC=OA， CAO= ACO， DAC= CAO， CE AB， CEA=90 ， 在 CDA和 CEA中， ， CDA CEA
32、（ AAS）， CD=CE； （ 2）证法 一：连接 BC， CDA CEA， DCA= ECA， CE AG， AE=EG， CA=CG， ECA= ECG， AB是 O的直径， ACB=90 ， CE AB， ACE= B， B= F， F= ACE= DCA= ECG， D=90 ， DCF+ F=90 ， F= DCA= ACE= ECG=22.5 ， AOC=2 F=45 ， CEO是等腰直角三角形； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x， AD OC， OAF= AOC=2x， CGA= OAF+ F=3x， CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， C
33、E AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， DAC= EAC= CGA=3x， DAC+ EAC+ OAF=180 ， 3x+3x+2x=180， x=22.5 ， AOC=2x=45 ， CEO是等腰直角三角形 【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用 9.（ 2018内蒙古包头市 10 分 ）如图，在 Rt ACB中， ACB=90 ，以点 A为圆心， AC 长为半径的圆交 AB于点 D， BA的延
34、长线交 A于点 E，连接 CE， CD， F是 A上一点，点 F与点 C位于 BE两侧，且 FAB= ABC，连接 BF （ 1）求证： BCD= BEC； （ 2）若 BC=2， BD=1，求 CE 的长及 sin ABF的值 【分析】（ 1）先利用等角的余角相等即可得出结论； （ 2）先判断出 BDC BCE 得出比例式求出 BE=4， DE=3，利用勾股定理求出 CD， CE，再判断出 AFMBAC，进而判断出四边形 FNCA是矩形，求出 FN， NC，即： BN，再用勾股定理求出 BF，即可得出结论 【解答】解：（ 1） ACB=90 ， BCD+ ACD=90 ， DE是 A的直径，
35、 DCE=90 ， BEC+ CDE=90 ， AD=AC， CDE= ACD， BCD= BEC， （ 2） BCD= BEC， EBC= EBC， BDC BCE， ， BC=2， BD=1， BE=4， EC=2CD， DE=BE BD=3， 在 Rt DCE中， DE2=CD2+CE2=9， CD= ， CE= ， 过点 F作 FM AB 于 M， FAB= ABC， FMA= ACB=90 ， AFM BAC， ， DE=3， AD=AF=AC= ， AB= ， FM= ， 过点 F作 FN BC 于 N， FNC=90 ， FAB= ABC， FA BC， FAC= ACB=90
36、， 四边形 FNCA是矩形， FN=AC= ， NC=AF= ， BN= ， 在 Rt FBN中， BF= ， 在 Rt FBM中， sin ABF= 【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键 10.（ 2018山东烟台市 10 分） 如图，已知 D， E分别为 ABC的边 AB， BC上两点，点 A， C， E在 D上，点B， D在 E上 F为 上一点，连接 FE 并延长交 AC的延长线于点 N，交 AB于点 M （ 1）若 EBD为 ，请将 CAD用含 的代数式表示； （ 2）若 EM=MB，请说明当
37、CAD为多少度时，直线 EF 为 D的切线； （ 3）在（ 2）的条件下，若 AD= ，求 的值 【分析】（ 1）根据同圆的半径相等和等边对等角得： EDB= EBD= ， CAD= ACD， DCE= DEC=2 ，再根据三角形内角和定理可得结论； （ 2）设 MBE=x，同理得： EMB= MBE=x，根据切线的性质知： DEF=90 ，所以 CED+ MEB=90 ，同理根据三角形内角和定理可得 CAD=45 ； （ 3）由（ 2）得 ： CAD=45 ；根据（ 1）的结论计算 MBE=30 ，证明 CDE 是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD= ，求 EM=1， MF=EF E
38、M= 1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得： EN=CE= ，代入化简可得结论 【解答】解：（ 1）连接 CD.DE， E中， ED=EB， EDB= EBD= ， CED= EDB+ EBD=2 ， D中 ， DC=DE=AD， CAD= ACD， DCE= DEC=2 ， ACB中 ， CAD+ ACD+ DCE+ EBD=180 ， CAD= = ； （ 2） 设 MBE=x， EM=MB， EMB= MBE=x， 当 EF为 D的切线时 ， DEF=90 ， CED+ MEB=90 ， CED= DCE=90 x， ACB中 ， 同理得 ， CAD+ ACD+ DCE+ EBD=1
39、80 ， 2 CAD=180 90 =90 ， CAD=45 ； （ 3） 由 （ 2） 得 ： CAD=45 ； 由 （ 1） 得 ： CAD= ； MBE=30 ， CED=2 MBE=60 ， CD=DE， CDE是等边三角形， CD=CE=DE=EF=AD= ， Rt DEM中 ， EDM=30 ， DE= ， EM=1， MF=EF EM= 1， ACB中 ， NCB=45+30=75 ， CNE中 ， CEN= BEF=30 ， CNE=75 ， CNE= NCB=75 ， EN=CE= ， = = =2+ 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判
40、定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中 考常考题型 11.（ 2018山东济宁市 8分） 如图，在 Rt ABC中， C=90 ， BE平分 ABC交 AC 于点 E，作 ED EB交 AB于点 D， O是 BED 的外接圆 （ 1）求证： AC是 O的切线； （ 2）已知 O的半径为 2.5， BE=4，求 BC， AD的长 【分析】（ 1）连接 OE，由 OB=OE 知 OBE= OEB.由 BE 平分 ABC 知 OBE= CBE，据此得 OEB= CBE，从而得出 OE BC，进一步即可得证； （ 2）证 BDE BEC得 = ，据此
41、可求得 BC的长度，再证 AOE ABC得 = ，据此可得 AD的长 【解答】解：（ 1）如图，连接 OE， OB=OE， OBE= OEB， BE平分 ABC， OBE= CBE， OEB= CBE， OE BC， 又 C=90 ， AEO=90 ，即 OE AC， AC为 O的切线； （ 2） ED BE， BED= C=90 ， 又 DBE= EBC， BDE BEC， = ，即 = ， BC= ； AEO= C=90 ， A= A， AOE ABC， = ，即 = ， 解得： AD= 【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 12.
42、（ 2018山东东营市 8分） 如图， CD是 O的切线，点 C在直径 AB的延长线上 （ 1）求证： CAD= BDC； （ 2）若 BD= AD， AC=3，求 CD的长 【分析】（ 1）连接 OD，由 OB=OD 可得出 OBD= ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180 ，利用等角的余角相等，即可证出 CAD= BDC； （ 2）由 C= C. CAD= CDB 可得出 CDB CAD，根据相似三角形的性质结合 BD= AD.AC=3， 即可求出CD的长 【解答】（ 1）证明：连接 OD，如图所示 OB=OD， OBD= ODB CD是 O的切线， OD是 O的半径， ODB+ BDC=90 AB是 O的直径， ADB=90 ， OBD+ CAD=90 ， CAD= BDC （ 2）解： C= C， CAD= CDB， CDB CAD， = BD= AD， = ， = ， 又 AC=3， CD=2 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（ 1）利用等角的余角相等证出 CAD= BDC；（ 2）利用相似三角形的性质找出 13. （ 2018达州 8 分）已知：如图，以等边 ABC 的边 BC为直径作 O，分别交 AB， AC 于点 D， E，过点 D作 DF AC交 AC于点 F
