1、3.6 圆内接四边形,教学目标： 1. 了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念. 2. 理解圆的内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形对角互补. 3. 会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算. 重难点： 1. 本节的教学重点是圆内接四边形的性质定理. 2. 例1图形比较复杂， 牵涉定理较多，是本节的教学难点.,怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能的大？,任意画一个圆，在圆上依次取四个点A，B，C，D，连结AB，BC，CD，DA.用量角器量出四边形ABCD任意一组对角的度数之和，你发现了什么？你的同伴是否有同样的发现？,对角互补.,1.已知圆内接四边形
2、有一个内角是50,求它的对角的度数.,180- 50=130.,2.若O 的内接四边形ABCD满足AC,BD，则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形？,矩形.,例1 已知：如图3-47，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆交于点D.求证：DB=DC.,分析： 要证明DB=DC，只需证明DBC=DCB. 根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”.得DBC=DAC. 又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得DCB=DAE.而已知DAC=DAE，这就证明了DBC=DCB.,例1 已知：如图3-47，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆交于点D.求证：DB=
3、DC.,证明： AD是EAC的平分线， DAC=DAE. 四边形ABCD内接于圆O， BAD+DCB=180（圆内接四边形的对角互补）. DCB=DAE（根据是什么？）. 而DAC=DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， DCB=DBC， DB=DC,同角的补角相等,图3-47,例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？,解： 设原木的横截面为O （图3-48）.,图3-48,要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能地大，正方形ABCD应内接于O.
4、由正方形ABCD四个内角都是直角，得它的两条对角线是O的两条直径，且这两条直径互相垂直. 所以只要在O内作两条互相垂直的直径AC和BD，就可以作出O的内接正方形ABCD.,例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？,当原木的直径为30cm时，AO=BO=15cm，,图3-48,正方形ABCD的面积为,所以木材的体积为4.510-215=0.675（m3）.,答：如图3-48，沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长1
5、5m，那么锯出木材的体积为0.675m3.,1.如图,AB是半圆O的直径,BAC40,求D的大小., BAC40AB是半圆O的直径 在ABC中 ACB=90，BAC40 得ABC=50. D=180-50=130,2.已知圆内接四边形ABCD中,A :B:C2:3:7.求D的大小.,A +C2x+7x=180 得x=20 B=320=60 D=180-60=120.,如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆“。 四点共圆有三个性质: (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等; (2)圆内接四边形的对角互补; (3)圆内接四边形的外角等于内对角。以
6、上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。,方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆),设有一ABC，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分别为L,M,N，若L,M,N共线，则P在ABC的外接圆上。,若
7、一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。,如图，PMAC,PNAB,PLBC，且L,N,M在一条线上。 连接PB,PC，PLB+PNB=90+90=180 P、L、B、N四点共圆 PLN=PBN，即PLM=PBA 同理，PLM=PCM，即PLM=PCA=PBA 根据方法2，P在ABC外接圆上,1.在圆内接四边形ABCD中,已知A50,DB40.求B,C,D的度数.,B=70， C=130， D=110.,2.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结 DE.求证:DEBC.,由已知可得B=C，C+BDE=180， B+BDE=180, DEBC.,4.已知四边形ABCD的内角A,B,C,D的度数之比为3:1:2:5,判断这个四边形是不是圆内接四边形,并说明理由.,不是 因为对角不互补.,6.判断命题”圆内接平行四边形一定是矩形”的真假,并给出证明.,真命题,证明提示如下:连结AC,BD (如图),由已知得ABCD, 同理可得 平行四边形ABCD是矩形.,T,H,A,N,K,Y,O,U,
