1、1第一章 导数及其应用章末检测(一)时间： 120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线 y xex1 在点(1,1) 处切线的斜率等于( )A2e BeC2 D1解析：由 y xex1 得 ye x1 xex1 ，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k y| x1 e 11 1e 11 2.故选 C.答案：C2二次函数 y f(x)的图象过原点且它的导函数 y f( x)的图象是如图所示的一条直线， y f(x)的图象的顶点在( )A第象限 B第象限C第象限 D第象限解析：设 f(x) a
2、x2 bx c，二次函数 y f(x)的图象过原点， c0， f( x)2 ax b，由 y f( x)的图象可知，2 a0， a0， 0， b2a 4ac b24a0，故选 A.b24a答案：A3设函数 f(x) ax3，若 f(1)3，则 a 等于( )A2 B2C3 D3解析： f( x)li m x 0f x x f x xli a，m x 0a x x 3 ax 3 x f(1) a3.答案：C24若 f(x) x22 x4ln x，则 f(x)的单调递增区间为( )A(1,0) B(1,0)(2，)C(2，) D(0，)解析： f( x)2 x2 ，由 f( x)0 得 x2. 4
3、x 2x2 2x 4x 2 x 1 x 2x答案：C5已知 f(x)2 x36 x2 m(m 为常数)在2,2上有最大值 3，那么此函数在2,2上的最小值为( )A37 B29C5 D11解析：由 f( x)6 x212 x6 x(x2)0，解得 x0 或 x2，又 f(0) m， f(2) m8，f(2) m40，所以 f(x)max m3， f(x)min m4034037.答案：A6已知 f(x)2cos 2x1， x(0，)，则 f(x)的单调递增区间是( )A. B.( 4， ) (0， )C. D.( 2， ) (0， 2)解析： f(x)2cos 2x12cos 2 x， x(0
4、，)， f( x)2sin 2 x.令 f( x)0，则 sin 2x0；当22 时，f( x)0.由此可以得到函数在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值，选 D.3答案：D8由 y x2与直线 y2 x3 围成的图形的面积是( )A. B.53 323C. D9643解析：解Error!得交点 A(3，9)， B(1，1)如图，由 y x2与直线 y2 x3 围成的图形的面积S 3( x2)dx 3(2 x 3)dx1 1 x3Error!( x23 x)Error! .13 323答案：B9下列函数中， x0 是其极值点的函数是( )A f(x) x3 B f(x)cos xC f
5、(x)sin x x D f(x)1x解析：对于 A， f( x)3 x20 恒成立，在 R 上单调递减，没有极值点；对于B， f( x)sin x，当 x(，0)时， f( x)0，故 f(x)cos x 在 x0 的左侧区间( ，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以 x0 是 f(x)的一个极小值点；对于 C， f( x)cos x10 恒成立，在 R 上单调递减，没有极值点；对于 D， f(x) 在 x0 没有定义，所以 x0 不可能成为极值点，综上1x可知，答案选 B.答案：B10已知函数 f(x) asin x bcos x 在 x 时取得极值，则函数 y f( x)
6、是( ) 4 34A偶函数且图象关于点(，0)对称B偶函数且图象关于点( ，0)对称32C奇函数且图象关于点( ，0)对称32D奇函数且图象关于点(，0)对称解析： f(x)的图象关于 x 对称， f(0) 4f( )， b a， 24 f(x) asin x bcos x asin x acos x asin(x )，2 4 f( x) asin( x ) asin( x) asin x.34 2 34 4 2 2显然 f( x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选 D.34答案：D11已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)2，且 f(x)的导数 f( x)在 R 上恒有 f(
7、 x)1( xR)，则不等式 f(x) x1 的解集为( )A(1，)B(，1)C(1,1)D(，1)(1，)解析：不等式 f(x) x1 可化为 f(x) x1，设 g(x) f(x) x，由题意 g( x) f( x)10， g(1) f(1)11，故原不等式 g(x) g(1)，故x1.答案：A12函数 f(x)(1cos x)sin x 在，的图象大致为( )解析：在，上， f( x)1cos( x)sin( x)(1cos x)(sin x)(1cos x)sin x f(x)， f(x)是奇函数， f(x)的图象关于原点对称，排除 B.取 x ，则 f( )(1cos )sin 1
8、0，排除 A. 2 2 2 2 f(x)(1cos x)sin x， f( x)sin xsin x(1cos x)cos x1cos 2xcos xcos 2x2cos 2xcos x1.5令 f( x)0，则 cos x1 或 cos x .12结合 x，求得 f(x)在(0，上的极大值点为 ，靠近 ，选 C.23答案：C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)13设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f(1)_.解析：令 ex t，则 xln t，所以 f(x)ln x x，即f( x)1 ，则 f(1)112.1x
9、答案：214曲线 ye 5 x2 在点(0,3)处的切线方程为_解析：因为 ye 5 x2，所以 y5e 5 x，所求切线的斜率为k y| x0 5e 05，故所求切线的方程为 y35( x0)，即 y5 x3 或5x y30.答案： y5 x3 或 5x y3015若函数 f(x) 在区间( m,2m1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_解析： f( x) ，令 f( x) 0，得10，当 x( ，10)时，203 203 203V( x)0，得 x01 或 x00 时， “ a”等价于“sin x ax0”；“ 0 对任意 x(0， )恒成立 2当 c1 时，因为对任意 x
10、(0， )， g( x)cos x cg(0)0.进一步， “g(x)0 对任意x(0， )恒成立”当且仅当 g( )1 c0，即 00 对任意 x(0， )恒成立；当且仅当 c1 时，2 2g(x)0 且 g(1)0，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有 1 个零点由于 g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以 g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有 1 个零点综上可知，当过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时， t 的取值范围是(3，1)(3)过点 A(1,2)存在 3 条直线与曲线 y f(x)相切；过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y f(x)相切；过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y f(x)相切
