1、13.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算课时作业A 组 基础巩固1若 a 与 b 不共线，且 m a b， n a b， p a，则( )A m， n， p 共线 B m 与 p 共线C n 与 p 共线 D m， n， p 共面解析：由于( a b)( a b)2 a，即 m n2 p，即 p m n，12 12又 m 与 n 不共线，所以 m， n， p 共面答案：D2已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， ，若 x y( )，则( )A1E 14A1C1 AE AA1 AB AD A x1， y B x ， y112 12C x1， y D x1， y13 14解析： AE AA1
2、 A1E AA1 14A1C1 ( )，所以 x1， y .AA1 14AB AD 14答案：D3已知空间向量 a， b，且 a2 b， 5 a6 b， 7 a2 b，则一定共线的三点是AB BC CD ( )A A， B， D B A， B， CC B， C， D D A， C， D解析： 2 a4 b2 ， A， B， D 三点共线BD BC CD AB 答案：A4已知正方体 ABCDA1B1C1D1的中心为 O，则在下列各结论中正确的结论共有( ) 与 是一对相反向量；OA OD OB1 OC1 与 是一对相反向量；OB OC OA1 OD1 与 是一对相反向量；OA OB OC OD
3、OA1 OB1 OC1 OD1 与 是一对相反向量OA1 OA OC OC1 2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：利用图形及向量的运算可知是相等向量，是相反向量答案：C5若 A， B， C 不共线，对于空间任意一点 O 都有 ，则 P， A， B， C 四点OP 34OA 18OB 18OC ( )A不共面 B共面C共线 D不共线解析： 1，34 18 18 P， A， B， C 四点共面答案：B6在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，AD DB CD 13CA CB 则 _.解析： ( ) ，CD CB DB CB 13AB CB 13CB CA 23CB 1
4、3CA 又 ，所以 .CD 13CA CB 23答案：237.如图，已知空间四边形 ABCD 中， a2 c， 5 a6 b8 c，对角线AB CD AC， BD 的中点分别为 E、 F，则 _(用向量 a， b， c 表示)EF 解析：设 G 为 BC 的中点，连接 EG， FG，则 EF EG GF 12AB 12CD (a2 c) (5a6 b8 c)12 123 a3 b5 c.答案：3 a3 b5 c8设 e1， e2是空间两个不共线的向量，若 e1 ke2， 5 e14 e2，AB BC 3 e12 e2，且 A， B， D 三点共线，则实数 k_.DC 解析： 5 e14 e2，
5、 e12 e2，BC DC 5 e14 e2 e12 e26 e16 e2.BD BC CD 又 e1 ke2， A， B， D 三点共线，AB 存在实数 u，使 u ，即 e1 ke26 ue16 ue2，AB BD e1， e2不共线，Error! k1.答案：19.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 a， b， c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用AA1 AB AD a， b， c 表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) .AP A1N MP 解析：(1) P 是 C1D1的中点， a AP AA1 A1D1 D1P AD 12D1
6、C1 a c a c b.12AB 12(2) N 是 BC 的中点， a bA1N A1A AB BN 12BC a b a b c.12AD 12(3) M 是 AA1的中点， MP MA AP 12A1A AP a a b c.12 (a c 12b) 12 1210.如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE BB1， DF DD1.13 23(1)证明： A， E， C1， F 四点共面；(2)若 x y z ，求 x y z 的值EF AB AD AA1 解析：(1)证明： ABCDA1B1C1D1是平行六面体，4 ，AA1
7、BB1 CC1 DD1 ， ，BE 13AA1 DF 23AA1 AC1 AB AD AA1 AB AD 13AA1 23AA1 ，由向量共面的充分必要条件知(AB 13AA1 ) (AD 23AA1 ) AB BE AD DF AE AF A， E， C1， F 四点共面(2) ( ) ，又 xEF AF AE AD DF AB BE AD 23DD1 AB 13BB1 AB AD 13AA1 EF y z ， x1， y1， z ， x y z .AB AD AA1 13 13B 组 能力提升1若 a， b 是平面 内的两个向量，则( )A 内任一向量 p a b ( ， R)B若存在 ，
8、 R 使 a b 0，则 0C若 a， b 不共线，则空间任一向量 p a b ( ， R)D若 a， b 不共线，则 内任一向量 p a b ( ， R)解析：当 a 与 b 共线时，A 项不正确；当 a 与 b 是相反向量， 0 时，a b 0，故 B 项不正确；若 a 与 b 不共线，则平面 内任意向量可以用 a， b 表示，对空间向量则不一定，故 C 项不正确，D 项正确答案：D2已知向量 c， d 不共线，设向量 a kc d， b c k2d.若 a 与 b 共线，则实数 k 的值为( )A0 B1 C1 D2解析： c， d 不共线， c0，且 d0. a 与 b 共线，存在实数
9、 ，使得 a b 成立，即 kc d (c k2d)，整理得( k )c(1 k 2)d0.Error! ，解得 k 1.故选 C.答案：C3在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 a， b， c，则 _.CA CB CC1 A1B 解析：如图， ( )A1B B1B B1A1 B1B BA CC1 CA CB c( a b) c a b.答案： c a b54如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 ，若MG GN x y z ，则 x， y， z 的值分别为_OG OA OB OC 解析：由题意知
10、 ， OM 12OA ON ( )， 12OB OC MN ON OM ( ) ，又 2 ，12OB OC 12OA MG GN ，MG 23MN 13OA 13OB 13OC 故 OG OM MG 12OA 13OA 13OB 13OC ，16OA 13OB 13OC x ， y ， z .16 13 13答案： ，1613 135.如图所示，已知四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形且不共面， M， N 分别是 AC、 BF 的中点，判断 与 是否共线CE MN 解析： M， N 分别是 AC， BF 的中点，且四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形， .MN MA AF FN
11、 12CA AF 12FB 又 MN MC CE EB BN ，12CA CE AF 12FB 2 ，即 2 .MN 12CA AF 12FB 12CA CE AF 12FB CE CE MN 与 共线CE MN 6.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量 ， ， 是共面向量A1B B1C EF 证明：法一 EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 6 ( ) .12B1B BC A1B 12B1C A1B 由向量共面的充分必要条件知， ， ， 是共面向量A1B B1C EF 法二 连接 A1D、 BD，取 A1D 中点 G，连接 FG、 BG，则有 FG 綊 DD1，12BE 綊 DD1，12 FG 綊 BE.四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG. EF平面 A1BD.同理， B1C A1D， B1C平面 A1BD， ， ， 都与平面 A1BD 平行，A1B B1C EF ， ， 共面A1B B1C EF
