1、13.3.3 函数的最大（小）值与导数课时作业 A组 基础巩固1函数 f(x) xe x， x0,4的最大值是( )A0 B. C. D.1e 4e4 2e2解析： f ( x) ，(xex) ex xex ex 2 1 xex当 x0,1)时， f ( x)0， f(x)是增函数；当 x(1,2时， f ( x)f(2)f(2)， m3，最小值为 f(2)37.答案：A3函数 f(x) x33 x(|x|0，即 f(x)在1,2上是增函数， f(x)max f(2)22 3 c20， c4.2答案：B5函数 f(x) x33 x在区间( a212， a)上有最小值，则实数 a的取值范围是(
2、)A(1， ) B(1,2)11C(1,2 D(1,4)解析： f( x)3 x23，令 f( x)0，得 x1.x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极小 极大 f(x)在 R上的极小值 f(1)2，极大值 f(1)2.令 x33 x2，即 x33 x20，( x1) 2(x2)0， x1 或 x2. f(x)在区间( a212， a)上有最小值， a2121 a2，解得1 a2.答案：C6函数 y 的最大值为_ln xx解析：函数的定义域为 x0.y ，令 y0 得 xe，当 0 xe 时， f( x)0，当 xe 时， f( x)1 ln xx20， y
3、 最大 .ln ee 1e答案：1e7当 x1,1时，函数 f(x) 的值域是_x2ex解析： f( x) .2xex x2 ex ex 2 2x x2ex x 2 xex令 f( x)0 得 x0 或 x2(舍)，又 f(0)0，f(1)e， f(1) ，故 f(x)在(1 x1)的值域为0，e1e答案：0，e8设函数 f(x) ax33 x1( xR)，若对于任意的 x(0,1都有 f(x)0 成立，则实数a的取值范围为_解析：因为 x(0,1， f(x)0 可化为 a .3x2 1x3设 g(x) .3x2 1x33则 g( x) .3 1 2xx4令 g( x)0，得 x .12当 0
4、0；12当 0，得 a .(23) 29 29 19所以当 a 时， f(x)在 上存在单调递增区间，19 (23， )即 f(x)在 上存在单调递增区间时， a的取值范围为 .(23， ) ( 19， )(2)令 f ( x)0，得两根 x1 ，1 1 8a2x2 ，1 1 8a2所以 f ( x)在(， x1)，( x2，)上单调递减，在( x1， x2)上单调递增当 00， f(x)单调递增；当 12或 a1，由Error! 得 00时，求函数 f(x)在1,2上的最小值解析：(1) f ( x) a(x0)，1x当 a0 时， f ( x) a0，1x即函数 f(x)的单调增区间为(0
5、，)当 a0时，令 f ( x) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时， f ( x) 0，1a 1 axx故函数 f(x)的单调递增区间为 ，(0，1a单调递减区间为 .(1a， )(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数， f(x)的最小值是 f(2)1aln 22 a.6当 2，即 0a 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数， f(x)的最小值是 f(1)1a 12 a.当 1 2，即 a1时，函数 f(x)在 上是增函数，在 上是减函数又 f(2)1a 12 1， 1a (1a， 2 f(1)ln 2 a.当 aln 2时，最小值
6、是 f(1) a；12当 ln 2 a1时，最小值为 f(2)ln 22 a.综上可知，当 0aln 2时，函数 f(x)的最小值是 a；当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 22 a.6设函数 f(x) ax(1 a2)x2，其中 a0，区间 x|f(x)0(1)求 I的长度(注：区间( ， )的长度定义为 )；(2)给定常数 k(0,1)，当 1 k a1 k时，求 I长度的最小值解：(1)因为方程 ax(1 a2)x20( a0)有两个实根 x10， x2 ，故 f(x)0 的解a1 a2集为 x|x1 x x2因此区间 I(0， )，区间 I的长度为 .a1 a2 a1 a2(2)设 d(a) ，则 d( a) (a0)a1 a2 1 a2 1 a2 2令 d( a)0，得 a1.由于 0 k1，故当 1 k a1 时， d( a)0， d(a)单调递增；当 1 a1 k时， d( a)0， d(a)单调递减所以当 1 k a1 k时， d(a)的最小值必定在 a1 k或 a1 k处取得而 1，d 1 kd 1 k1 k1 1 k 21 k1 1 k 2 2 k2 k32 k2 k3故 d(1 k) d(1 k)因此当 a1 k时， d(a)在区间1 k,1 k上取得最小值 ，即 I长度的最小值1 k2 2k k2为 .1 k2 2k k2
