1、12.3.2 双曲线的简单几何性质课时作业A 组 基础巩固1设双曲线 1( a0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y2 x2C y x D y x22 12解析：由题意得 b1， c . a ，双曲线的渐近线方程为 y x，3 2ba即 y x.22答案：C2双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2 B2 C4 D42 2解析：将双曲线 2x2 y28 化成标准方程 1，则 a24，x24 y28所以实轴长 2a4.答案：C3双曲线 mx2 y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于( )A B4 C4 D.14
2、 14解析：方程 mx2 y21 表示双曲线， m0， b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M， N 两点，x2a2 y2b2以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知， a c ，即 a2 ac c2 a2，b2a c2 ac2 a20， e2 e20，解得 e2 或 e1(舍去)答案：28已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e2，且它的一个顶点到较近焦点的距x2a2 y2b2离为 1，则双曲线 C 的方程为_解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为 c a1，又 e 2，ca3两式联立得 a1，c2， b2 c2 a2413，方程为
3、 x2 1.y23答案： x2 1y239已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及x23m2 y25n2 x22m2 y23n2离心率解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，所以椭圆的右焦点坐标为( ，0)，3m2 5n2双曲线的右焦点坐标为( ，0)，2m2 3n2所以 3m25 n22 m23 n2，所以 m28 n2，即| m|2 |n|，2所以双曲线的渐近线方程为 y x， y x.6|n|2|m| 34离心率 e ， e .2m2 3n22|m| 194 19410设 A， B 分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 ，x2
4、a2 y2b2 3焦点到渐近线的距离为 .3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M、 N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，33使 t ，求 t 的值及点 D 的坐标OM ON OD 解析：(1)由题意知 a2 ，3一条渐近线为 y x，b23即 bx2 y0， ，3|bc|b2 12 3 b23，双曲线的方程为 1.x212 y23(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)，则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0，将直线方程代入双曲线方程得 x216 x840，3则 x1 x216 ， y1 y212，34Error! E
5、rror! t4，点 D 的坐标为(4 ，3)3B 组 能力提升1(2016高考全国卷)已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间x2m2 n y23m2 n的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1， )3C(0,3) D(0， )3解析：根据双曲线的焦距，建立关于 n 的不等式组求解若双曲线的焦点在 x 轴上，则Error!又( m2 n)(3 m2 n)4， m21，Error!13m2且 n0， b0)的左、右焦点，过 F1作垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线交双曲线于 A、 B 两点，若 ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )A(1,1 ) B(
6、1 ，)2 2C(1 ，1 ) D( ， 1)2 2 2 2解析：由 ABF2为锐角三角形得，1，10， b0)的离心率为 ，且 .x2a2 y2b2 3 a2c 33(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 x y m0 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点在圆x2 y25 上，求 m 的值解析：(1)由题意得Error!解得Error!所以 b2 c2 a22.所以双曲线 C 的方程为 x2 1.y22(2)设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0)由Error!得 x22 mx m220(判别式
7、 0)所以 x0 m， y0 x0 m2 m.x1 x22因为点 M(x0， y0)在圆 x2 y25 上，所以 m2(2 m)25.故 m1.66已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一个焦点是 F2(2, 0)，离心率 e2.x2a2 y2b2(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M， N，线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程解析：(1)由已知得 c2， e2， a1， b .3所求的双曲线方程为 x2 1.y23(2)设直线 l 的方程为 y x m，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)的坐标满足方程组Error!将式代入式，整理得 2x22 mx m230.(*)设 MN 的中点为( x0， y0)，则 x0 ，x1 x22 m2y0 x0 m ，所以线段 MN 垂直平分线的方程为 y 3m2 3m2 (x m2)即 x y2 m0，与坐标轴的交点分别为(0,2 m)，(2 m,0)，可得 |2m|2m|4，12得 m22， m 2此时(*)的判别式 0，故直线 l 的方程为 y x .2
