1、12 基本不等式课时作业A组 基础巩固1下列不等式中，正确的个数是( )若 a， bR，则 ；a b2 ab若 xR，则 x22 2；1x2 2若 xR，则 x21 2；1x2 1若 a， b为正实数，则 .a b2 abA0 B1C2 D3解析：显然不正确；正确；对虽然 x22 无解，但 x22 2成立，故1x2 2 1x2 2正确；不正确，如 a1， b4.答案：C2已知 x0，(1 x) 2 4，41 x 4当且仅当 1 x ，即 1 x2， x1 时取等号，41 x(1 x) 4 即 y3，故选 D.41 x答案：D3已知 a0， b0， a b2，则 y 的最小值是( )1a 4bA
2、. B4722C. D592解析： a b2， 1，a b2 2 (当且仅当 ，即 b2 a时，1a 4b (1a 4b)(a b2 ) 52 (2ab b2a) 52 2abb2a 92 2ab b2a“”成立)，故 y 的最小值为 .1a 4b 92答案：C4设 a， b， cR ，则“ abc1”是“ a b c”的( )1a 1b 1cA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当 a b c2 时，有 a b c，但 abc1，所以必要性不成立；当1a 1b 1cabc1 时， ， a b c1a 1b 1c bc ac ababc bc ac ab ，所以
3、充分性成立，故“ abc1”是“ a b b c a c2 ab bc ac a b c”的充分不必要条件1a 1b 1c答案：A5某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与仓库到车间的距离成正比，如果在距离车站 10千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2万元和 8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A5 千米处 B4 千米处C3 千米处 D2 千米处解析：设仓库到车站的距离为 x，由已知得， y1 ， y20.8 x.20x费用之和 y y1 y20.8 x 2 8.20x 0.8x20x当且仅当 0.8x ，
4、20x3即 x5 时等号成立，故选 A.答案：A6函数 y (x0)，由 ab a b32 3，则 t22 t3，所以 t3 或ab abt1(舍去)，所以 3， ab9，当 a b3 时取等号ab答案：9，)8某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买 x吨，运费为 4万元/次，一年的总存储费用为 4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x为_吨解析：每年购买次数为 次400x所以总费用 44 x2 160.400x 6 400当且仅当 4 x，即 x20 时等号成立1 600x答案：209(1)设 00，32 y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 ，2x 3 2x2
5、 92当且仅当 2x32 x，即 x 时，等号成立34 y4 x(32 x)的最大值为 .92(2)由 2x8 y xy0 得， y ，2xx 8 x y x ( x8) 82xx 8 2 x 8 16x 84( x8) 1016x 82 10 x 8 16 x 818，当且仅当 x8 ，即 x12 时，等号成立，16x 8 x y的最小值为 18.10已知 a0， b0， a b1，求证： 2.a 12 b 12证明： ，a 12 1(a 12) 1 a122 34 a2 ，b 12 1(b 12) 1 b122 34 b2 (a b)2(当且仅当 a b 时取等号)a 12 b 12 32
6、 12 12B组 能力提升1设 x、 y为正实数，且 xy( x y)1，则( )A x y2( 1) B x y2( 1)2 2C x y( 1) 2 D x y( 1) 22 2解析： x0， y0， xy( x y)1 xy1( x y)1( x y)( )x y22x y2( 1)2答案：A2设正实数 x， y， z满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最小值时， x2 y z的最大zxy值为( )A0 B.98C2 D.94解析： z x23 xy4 y2(x， y， zR )， 32 31.zxy x2 3xy 4y2xy xy 4yx xy4yx当且仅当 ，即 x2 y时“
7、”成立，此时 z x23 xy4 y24 y26 y24 y22 y2，xy 4yx5 x2 y z2 y2 y2 y22 y24 y2( y1) 22，当 y1 时， x2 y z取得最大值 2.答案：C3已知点 M(x， y)在第一象限，且满足 2x3 y6.则 log 32xlog 32y的最大值是_解析： M(x， y)在第一象限， x0， y0，且 2x3 y6.log 32xlog 2ylog 2(xy)， xy (2x3y) ( )2 ，16 16 2x 3y2 32log 32 (xy)log 321，32当且仅当 2x3 y3，即 x ， y1 时，32log 3xlog y
8、的最大值为 1.答案：14设 x， yR，且 xy0，则 的最小值为_(x21y2) (1x2 4y2)解析：( x2 )( 4 y2)144 x2y2 142 9，1y2 1x2 1x2y2 4x2y21x2y2当且仅当 4x2y2 时等号成立，即| xy| 时等号成立1x2y2 22答案：95已知 a， b， x， yR ， x， y为变数， a， b为常数，且 a b10， 1， x y的最ax by小值为 18，求 a， b.解析： x y( x y)( ) a b a b2 ( )2，ax by bxy ayx ab a b当且仅当 时取等号bxy ayx又( x y)min( )218，a b即 a b2 18ab又 a b106由可得Error!或Error!6设 x0， y0且 x y4，要使不等式 m恒成立，求实数 m的取值范围1x 4y解析：由 x0， y0，且 x y4，得 1，x y4 ( ) (1 4)1x 4y x y4 1x 4y 14 yx 4xy (5 ) (52 ) ，14 yx 4xy 14 yx4xy 94当且仅当 时等号成立，yx 4xy即 y2 x( x0， y0， y2 x舍去)，此时，结合 x y4，解得 x ， y .43 83 的最小值为 .1x 4y 94 m，即 m .94 94
