九年级数学上册 专题突破讲练试题（打包28套）（新版）青岛版.zip

1一元二次方程的根与系数究竟有何关系一、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）有两个实数根 x1、 x2，则x1＋ x2＝－ ， x1·x2＝ 。ba ca方法归纳：（1）如果方程 x2＋ px＋ q＝0 的两个实数根是 x1、 x2，那么x1＋ x2＝－ p， x1·x2＝ q。（2）以 x1、 x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－（ x1＋ x2）x＋ x1·x2＝0 或（ x－ x1） （ x－ x2）＝0。二、一元二次方程根与系数的关系的应用（1）验根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、 x2的对称式的值。方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：（1） x12＋ x22＝（ x1＋ x2） 2－2 x1x2；（2） ＋ ＝ ；1x1 1x2 x1＋ x2x1·x2（3） ＋ ＝ ＝ ；x2x1 x1x2 x12＋ x22x1x2 （ x1＋ x2） 2－ 2x1x2x1x2（4） （ x1－ x2） 2＝（ x1＋ x2） 2－4 x1x2；（5） x1－ x2＝± ＝± 。（ x1－ x2） 2 （ x1＋ x2） 2－ 4x1x2总结：1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。例题 1 已知方程 x2－2 x－1＝0，则此方程（ ）A. 无实数根 B. 两根之和为－2 C. 两根之积为－1 D. 有一根为－1＋ 2解 析 ： 根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。A. ＝（－2） 2－4×1×（－1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是 α、β，则 α＋β＝2。即两根之和为 2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是 α、β，则 αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确；D. 根据求根公式 x＝1± 可知，原方程的两根是（1＋ ）和（1－ ） ，故本选项错2 2 2误。故选 C。答 案 ： C点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根 公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。2例题 2 设 x1、 x2是方程 x2－ x－2013＝0 的两个实数根，求 x13＋2014 x2－2013 的值。解 析 ： 由原方程可知 x2＝ x＋2013， x＝ x2－2013； x12＝ x1＋2013， x1＝ x12－2013。由根 与系数的关系可知 x1＋ x2＝1，根据以上关系代入求值即可。答 案 ： ∵ x2－ x－2013＝0，∴ x2＝ x＋2013， x＝ x2－2013。又∵ x1、 x2是方程 x2－ x－2013＝0 的两个实数根∴ x1＋ x2＝1∴ x13＋2014 x2－2013＝ x1•x12＋2013 x2＋ x2－2013＝ x1•（ x1＋2013）＋20 13x2＋ x2－2013＝ x12＋2013 x1＋2013 x2＋ x2－2013＝（ x1＋2013）＋2013 x1＋2013 x2＋ x2－2013＝ x1＋ x2＋2013（ x1＋ x2）＋2013－2013＝1＋2013＝2014点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两个实数根为 x1、 x2，则（1）当 ≥0 且 x1x2＞0 时，两根同号，即{x1＋ x2＞ 0时 ， 两 根 同 为 正 数x1＋ x2＜ 0时 ， 两 根 同 为 负 数 )（2）当 ＞0 且 x1x2＜0 时，两根异号，即{x1＋ x2＞ 0时 ， 两 根 异 号 且 正 根 绝 对 值 较 大x1＋ x2＜ 0时 ， 两 根 异 号 且 负 根 绝 对 值 较 大 )例题 如果关于 x 的方程 x2－ px－ q＝0（ p、 q 是正整数）的正根小于 3，那么这样的方程的个数是（ ）A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个解 析 ： ∵ p、 q 是正整数，且 ＝ p2＋4 q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵ x1·x2＝－ q＜0，∴此方程两根异号。这个方程的正根为 ，即p＋ p2＋ 4q2＜3。解得 q＜9－3 p，其正整数解是： 、 、 、 、 、p＋ p2＋ 4q2 {p＝ 1q＝ 1){p＝ 1q＝ 2){p＝ 1q＝ 3){p＝ 1q＝ 4){p＝ 1q＝ 5)、 。故选 C。{p＝ 2q＝ 1){p＝ 2q＝ 2)答 案 ： C点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0，然后再依据 x1x2和 x1＋ x2的正负情况进行判断。（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 已知（ x＋ a） （ x－ b）＝ x2＋2 x－1，则 ab＝（ ）A. －2 B. －1 C. 1 D. 232. 已知一元二次方程 x2－6 x＋ c＝0 有一个根为 2，则另一个根为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 83. 已知 m、 n 是关于 x 的一元二次方程 x2－3 x＋ a＝0 的两个解，若（ m－1） （ n－1）＝－6，则 a 的值为（ ）A. －10 B. 4 C. －4 D. 10*4. 设 x1、 x2是方程 x2＋3 x－3＝0 的两个实数根，则 ＋ 的值为（ ）x2x1 x1x2A. 5 B. －5 C. 1 D. －1*5. 若 m、 n 是方程 x2－2 x＋1＝0 的两个实数根，则 － 的值是（ ）5nm mnA. ±2 B. ±4 C. ±6 D. ±85 5 5 5**6. 若方程 x2＋2 px－3 p－2＝0 的两个不相等的实数根 x1、 x2满足x12＋ x1＝4－（ x22＋ x2） ，则实数 p 的可能的值为（ ）A. 0 或－1 B. 0 C. 0 或－4 D. －4二、填空题7. 若 x1＝－1 是关于 x 的方程 x2＋ mx－5＝0 的一个根，则方程的另一个根x2＝__________。8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－ x－3＝0 的两个实数根分别为 α、β，则（α＋3）（β＋3）＝__________。*9. 已知实数 a、 b 不相等，并且 a2＋1＝5 a， b2＋1＝5 b，则 ＋ ＝__________。1a2 1b2**10. 已知关于 x 的方程 x2－（ a＋ b） x＋ ab－1＝0， x1、 x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：① x1≠ x2；② x1x2＜ ab；③ x12＋ x22＜ a2＋ b2。则正确的结论是__________。 （填上你认为正确结论的所有序号）三、解答题11. 已知关于 x 的方程 x2＋ x＋ n＝0 有两个实数根－2、 m。求 m、 n 的值。*12. 已知 α、β 是关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 m＋3） x＋ m2＝0 的两个不相等的实数根，且满足 ＋ ＝－1，试求 m 的值。1α 1β**13. 已知 α 、 β 是方程 x2＋2 x－1＝0 的两个实数根，试求 α 3＋5β＋10 的值。**14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k＋1） x＋ k2＋2 k＝0 有两个实数根 x1、 x2。（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1·x2－ x12－ x22≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由。**15. 已知关于 x 的方程 x2－2 mx＝－ m2＋2 x 的两个实数根 x1、 x2满足︱ x1︱＝ x2，求实数 m 的值。4一、选择题1. C 解析：注意本题 ab 不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。2. C 解析：设方程的另一个根为 x1，由题意可知 x1＋2＝6，所以 x1＝4，即方程的另一根为 4。3. C 解析：根据题意得： m＋ n＝3， mn＝ a，∵（ m－1） （ n－1）＝ mn－（ m＋ n）＋1＝－6，∴ a－3＋1＝－6，解得 a＝－4，故选 C。*4. B 解析：由题意可知 x1＋ x2＝－3， x1x2＝－3，∴ ＋ ＝ ＝x2x1 x1x2 x12＋ x22x1x2＝－5。（ － 3） 2－ 2×（ － 3）－ 3*5. D 解析：由已知得 m＋ n＝2 ， mn＝1，则（ m－ n） 2＝（ m＋ n） 2－4 mn＝（2 ）5 52－4＝16，∴ m－ n＝±4。∴ － ＝ ＝ ＝±8 。nm mn n2－ m2mn (m＋ n)(n－ m)mn 5**6. B 解析：∵原方程有两个不相等的实数根，∴ ＝（2 p） 2＋4（3 p＋2）＞0，即p2＋3 p＋2＞0，且 x1＋ x2＝－2 p， x1x2＝－3 p－2。又∵ x12＋ x1＝4－（ x22＋ x2） ，即x12＋ x22＋ x1＋ x2＝4，∴（ x1＋ x2） 2－2 x1x2＋（ x1＋ x2）＝4，即（－2 p） 2＋2（3 p＋2）－2 p＝4，∴4 p2＋4 p＝0，解得 p＝0 或－1。当 p＝0 时 ＞0，当 p＝－1 时 ＝0（舍去） ，所以 p 的可能的值为 0。二、填空题7. 5 解析：由 x1x2＝－5 且 x1＝－1，得 x2＝5。8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3） （β＋3）＝αβ＋ 3（α＋β）＋9＝－3＋3×1＋9 ＝9。*9. 23 解析：∵ a、 b 满足 a2＋1＝5 a， b2＋1＝5 b，即 a、 b 是 x2＋1＝5 x 的两个实数根，整理此方程为 x2－5 x＋1＝0，根据根 与系数的关系可知 a＋ b＝5， ab＝1。∴ ＋ ＝1a2 1b2＝ ＝23。a2＋ b2a2b2 （ a＋ b） 2－ 2aba2b2**10. ①② 解析：①∵方程 x2－（ a＋ b） x＋ ab－1＝0 中， ＝（ a＋ b）2－4（ ab－1）＝（ a－ b） 2＋4＞0，∴ x1≠ x2，故①正确；②∵ x1x2＝ ab－1＜ ab，故②正确；③∵ x1＋ x2＝ a＋ b， x1x2＝ ab－1，∴ x12＋ x22＝（ x1＋ x2） 2－2 x1x2＝（ a＋ b）2－2 ab＋2＝ a2＋ b2＋2＞ a2＋ b2，即 x12＋ x22＞ a2＋ b2。故③错误；综上所述，正确结论的序号是：①②。三、解答题11. 解：∵关于 x 的方程 x2＋ x＋ n＝0 有两个实数根－2、 m，∴ ，解得{－ 2m＝ n－ 2＋ m＝ － 1)，即 m、 n 的值分别是 1、－2。{m＝ 1n＝ － 2)*12. 解：根据条件知：α＋β＝－（2 m＋3） ，αβ＝ m2，∴ ＋ ＝ ＝1α 1β α ＋ βα β＝－1，即 m2－2 m－3＝0，所以有 ，解得 m＝3。－ （ 2m＋ 3）m2 { m2－ 2m－ 3＝ 0（ 2m＋ 3） 2－ 4m2＞ 0)**13. 解：∵α 是方程 x2＋2 x－1＝0 的根，∴α 2＝1－2α。∴α 3＝ a2·a＝（1－2α）α＝α－2α 2＝α－2 （1－2α）＝5α－2，又5∵α＋β＝－2，∴α 3＋5β＋10＝（5α－2）＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。**14. 解：（1）∵原 方程有两个实数根， ＝[－（2 k＋1）] 2－4（ k2＋2 k）＝4 k2＋4 k＋1－4 k2－8 k＝1－4 k≥0，∴ k≤ 。∴当 k≤ 时，原方程有两个实数根。 （2）假14 14设存在实数 k 使得 x1·x2－ x12－ x22≥0 成立。理由如下：∵ x1、 x2是原方程的两个实数根，∴ x1＋ x2＝2 k＋1， x1·x2＝ k2＋2 k。由 x1·x2－ x12－ x22≥0 得 3x1·x2－（ x1＋ x2）2≥0。∴3（ k2＋2 k）－（2 k＋1） 2≥0，整理得：（ k－1） 2≤0，∴只有当 k＝1 时，上式成立。又∵由（1）知 k≤ ，∴不存在实数 k 使得 x1·x2－ x12－ x22≥0 成立。14**15. 解：原方程可变形为： x2－2（ m＋1） x＋ m2＝0，∵ x1、 x2是方程的两个实数根，∴ ≥0，即 4（ m＋1） 2－4 m2≥0，∴8 m＋4≥0， m≥－ 。又 x1、 x2满足 12︱ x1︱＝ x2，∴ x1＝ x2或 x1＝－ x2，即 ＝0 或 ＞0 且 x1＋ x2＝0，由 ＝0，即8m＋4＝0，得 m＝－ 。由 x1＋ x2＝0，即 2（ m＋1）＝0，得 m＝－1（不合题意，舍去）。12∴当︱ x1︱＝ x2时， m 的值为－ 。121三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！第一招：确定直线和圆交点的个数。如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点 A 是直线 AB 与圆 O 的公共点，如果 OA⊥AB，那么直线 AB 是圆 O 的一条切线。说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。例题 1 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠A OC=30°，半径为 1cm 的圆 P 的圆心在射线 OA 上，开始时，PO=6cm，如果圆 P 以 1cm/秒的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么当圆P 的运动时间 t（秒）满足什么条件时，圆 P 与直线 CD 相切？PDCO BA解析：要想保证圆 P 与直线 CD 相切，就要使点 P 到直线 CD 的距离等于 1cm。符合条件的圆有两个，圆心分别在点 O 的两侧。答案：如下图2P2P1 FEDCO BA（1）当圆 P 运动到点 P1时，可得 ，又因为∠AOC=30°， 所以1=2cm，所以圆 P 运动到圆 所用的时间 （秒） ；2OE 1624t（2）当圆 P 继续向 B 运动，当点 P 到 达点 P2时，F P 2=1cm 同理可得： （秒） 。28t点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。例题 2 已知：如图，在 RtABC△ 中， 90，点 O在 AB上，以 为圆心，OA长为半径的圆与 ， 分别交于点 D、E，且 。判断直线 D与圆 O 的位置关系，并证明你的结论。解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90° 即可 。答案：直线 BD与⊙O 相切。证明如下：如图，连结 OD。∵∠C=90°，∴∠CDB+∠CBD=90°。又∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°。∴直线 BD 与⊙O 相切。点拨：若图形中已给出直 线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直。直线和圆相切中的辅助线切线的判定定理是比较常用的一个定理，用该定理证明问题时，往往用到辅助线。这部分的辅助线主要包括：“作半径” 、 “作垂线段” 。满分训练 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，以 D 为圆心，CD 为半径画圆，判断⊙D 与 AB 的位置关系并说明理由。3解析：根据角平分线的性质， 可得点 D 到 AC 和 AB 的距离相等，即圆心 D 到 AB 的距离等于圆的半径。答案：作 DF⊥ AB，垂足为点 F，∵AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DC，即圆心D 到 AB 的距离等于圆的半径，所以⊙D 与 AB 相切。点拨：“证半径”就是计算圆心到直线距离的过程， “作垂线，证半径”是解这一类题的另一种常用思路。（答题时间：30 分钟）1. 已知⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当 时，直线 l 与⊙O 的关系r为（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对2. 若∠OAB=30°，OA=10cm，则以 O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线 AB 的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定3. 在平面直角坐标系中，以点 为圆心，1 为半径的圆必与（ ）(2,)A. x 轴相交 B. y 轴相交 C. x 轴相切 D. y 轴相离4. 矩形的两条邻边长分别为 2.5 和 5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条5. 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90°， ∠ B=30°， BC=4 cm， 以 点 C 为 圆 心 ， 以 2 cm 的 长为 半 径 作 圆 ， 则 ⊙ C 与 AB 的 位 置 关 系 是 （ ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交6. 以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角平分线为半径的圆，必与底边（ ）A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定*7. 圆 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，r、d 是方程 的两根，290x则直线 l 与圆 O 的位置关系是 。8. 如图，已知 45°，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心、2cm 为半径作 ，若AB MA点 M 在 OB 上运动，当 OM= cm 时，圆 M 与 OA 相切。4OBAM*9. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，EF⊥AC，垂足为 F。求证：直线 EF 是⊙O 的切线。*10. 在同一平面直角坐标系中有 5 个点： （1，1） ， （ ， ） ， （ ，1） ，AB31C3（ ， ） ， （0， ） 。D2E3（1）画出△ 的外接圆⊙ ，并指出点 与⊙ 的位置关系；ABCPDP（2）若直线 经过点 （ ， ） ， （0， ） ，判断直线 与⊙ 的位置关系。lD2E3lP**11. 如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A 作直线 MN，若∠MAC＝∠ABC。5（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F。求证：FD＝FG**12. 如图，AB 是圆 O 的直径，BC AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于点 E，弦 AD//OC，弦DFAB 于点 G。（1）求证：点 E 是 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线。BD**13. 如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC。（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径 r。4061. B 解析：根据直线和圆的位置关系的性质可得，当 时，直线 l 与⊙O 的关系为dr相切。2. A 解析：点 O 到射线 AB 的距离为 10× =5cm，即 d＜r，所以圆与射线 AB 的位置12关系是相交。3. C 解析：点 到 x 轴的距离为 1，正好等于圆的半径，即该圆必与 x 轴相切。(2,1)4. D 解析：该圆的半径为 2.5，圆心到矩形的另外三边的距离都为 2.5，所以三边都和圆相切。5. B 解析：点 C 到线段 AB 的距离为 2cm， 即 圆 C 的 半 径 ， 所 以 ⊙ C 与 AB 的 位 置 关 系 是相 切 。6. C 解析：等腰三角形顶角的顶点到底边的距离为顶角平分线的长度，正好等于圆的半径，即底边与该圆相切。*7. 相离或相交 解析： 解方程 的两根为 4 和 5；当 r=4，d=5 时，直线290xl 与⊙O 的位置关系是相离，当 d=4，r=5 时，直线 l 与⊙O 的位置关系是相交。8. 2 解析：⊙M 与 OA 相切时，设切点为 D，则 OD=MD=2cm，又因为 45°，AOB所以 OM= = =2 。2ODM2*9. 证明：连接 OE，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴∠OEB=∠C。∴OE∥AC。∵EF⊥AC，∴OE⊥EF。∴直线 EF 是⊙O 的切线。*10. 解析：（1）所画⊙ 如图所示。由图可知，⊙ 的半径为 。连结 ，PP5PD∵ ，∴点 在⊙ 上。52PDD（2）直线 与⊙ 相切。理由如下： 连结 。l E7∵直线 过点 （ ， ） ， （0， ） ，∴ ， ，lD2E310322PE52PD。52E∴ 。∴△ 是直角三角形，且 。∴ 。PP9l∴直线 与⊙ 相切。l**11. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB＝90º，∴∠CAB+∠ABC＝90º。∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90º，即 MA⊥AB。∴MN 是半圆的切线。（2）∵D 是弧 AC 的中点，∴∠DBC＝∠ABD。∵AB 是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90º，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90º。∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG。**12. 证明：（1）∵ ADOC∥ ，∴ AB。∴ ，∴ 。ED2B（2）连接 。由（1）知 DOEB，在 COD△ 和 B△ 中， CO， DB。∴ C△ ≌ △ 。∴ 。又∵ BA⊥ ，∴ 90°，即 是 ⊙ 的切线。**13. 解析：（1）连接 OA，OD，8则 OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D 为 BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC =90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC ，∴∠OAD+∠FAC=90 °，∴OA⊥AC 。∴AC 是⊙O 的切线。（2）∵⊙O 半径是 r。当 F 在半径 OE 上时，OD=r，OF=8－r，在 Rt△DOF 中，r 2+（8－r） 2=（ ） 2。∴ （舍）40810810,2rr当 F 在半径 OB 上时，OD=r，OF=r－8，在 Rt△DOF 中， ，∴ ， （舍）222()()rrr即⊙O 的半径 r 为 。101三招教你求阴影面积在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算． 以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中：1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．2. 扇形面积公式：若设⊙O 半径为 R，则圆心角为 n°的扇形的面积公式为：2360nRS扇 形又因为 n°的圆心角所对的弧长为 ： ，所以 ．180n21=360nSlR扇 形说明：公式中 n 表示 1°圆心角的倍数，它是不带单位的；例如：如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，若 OA＝4cm，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积．解析：图中阴影部分面积为：以 AB 为直径的半圆面积减去弓形 AmB 面积；而弓形面积等于扇形 AOB 面积减去△AOB 面积．解：∵ OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm，∴ （cm 2） ，43609S2AOB扇 形2又 ，所以 ，)cm(24AB )cm(42S2）（半 圆而 ，O)84(,8S弓 形所 以故 ．2c弓 形半 圆阴第二招：割补法1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积．例如：如图（1） ，在以 AB 为直径的半圆上，过点 B 做半圆的切线 BC，已知AB=BC= ，a连结 AC，交半圆于 D，则阴影部分图形的面积是______．解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因 ，所以可进行割ADBS弓 形 弓 形补转化．解：连接 DB，因为 AB=BC， ，如图（2） ，所以 AD=DB=DC，所以BDCADBS弓 形 弓 形把弓形 AD 割补到弓形 DB 处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中 Rt△BDC 的面积．因此 ．124a阴2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征， 视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出．例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相外离，它们的半径都是 1，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是 1，是等圆，可把五个扇形割补3到同一个圆中．解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°所以 ．2540136S阴第三招：等积变形把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积．例如：如图，A 是半径为 2 的⊙O 外一点，OA＝4，AB 是⊙O 的切线，点 B 是切点，弦BC∥OA，连结 AC，求图中阴影部分的面积．解析：图中阴影部分可看作弓形 BC 面积与三角形 ABC 面积的和，而△ABC 不是 Rt△，所以考虑借助 OA∥BC 将△ABC 移形，连接 OC、OB，则 S△OCB ＝S △ACB ．则阴影部分面积为扇形 AOB 面积．解：连接 OB、OC，如图，因为 BC∥OA，所以△ABC 与△OBC 在 BC 上的高相等，所以 ，OBCAS所以 ，又∵AB 是⊙O 的切线，所以 OB⊥AB，而 OB＝2，OA＝4，所以扇 形阴 S∠AOB＝60°，由 BC∥OA 得∠OBC＝60°，所以△OBC 为等边三角形，∠BOC＝60°，BOC扇 形 ×6032．例题 如图，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 O1、O 2、O 3、O 4分别OA、OB、OC、OD 的中点，若⊙O 的半径是 2，则阴影部分的面积为（ ）A. 8 B. 4 C. 4π +4 D. 4π－44解析：如图将 AD、DB、BC、CA、OE、O 3E 连接起来，得到一个对角线为 4 的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积．解：连接 AD，DB，BC，CA， ．故选 A．1=482ABCDS阴 影 面 积答案：A点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想．割补法是转化法的一种．求旋转问题中的阴影面积满分训练 （江苏中考）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90 °，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 45°至△A 1B1C 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm 2． 解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊5图形的面积的和或差来求．解：∵∠BAC＝90°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝5 2＋2 2＝29．∴S 阴影 ＝S 扇形 BCB1＋S △A1B1C －S △ABC－S 扇形 ACA1 ．∵△ABC 旋转得到△A 1B1C，∴S △ABC ＝S △A1B1C ，∴S 阴影 ＝S 扇形 BCB1－S 扇形ACA1＝ － ＝ （cm 2） ，故答案为 ．4529360A2588答案： 8点拨：扇形面积的计算公式：S＝ ，S＝ lR，求阴影面积（或不规则图形面积）2360nR1时常用图形割补的方法（图形变换） ，或用几个特殊图形的面积的和或差来求．利用旋转变换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。（答题时间：30 分钟）1. （德州中考）如图，扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB90 ，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为（ ）A.  B.  C. D. 412124122. 如图，点 E 是 BC 的中点，AB 是⊙O 的直径，AB ＝ 4，∠BED ＝ 120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 1 B. C. D. 23233*3. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两 个端点，交直角边 AC 于点E． B，E 是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）32A. B. C. D. 993326*4. 在 △ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB、AC 为直径作半圆，过点 B、A、C 作弧 ，如图所示，若 AB=4，AC=2， ，则 S3－S 4的值是（ ）12SA. B. C. D. 429431455. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等⊙A、⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．6. 如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 （π≈3．14，结果精确到 0．1）*7. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，∠A＝30°，AB ＝2． 将△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置， B、A、C′三点共线，则线段 BC 扫过的区域面积为 ．78. 如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是 ． （结果保留 ）**9. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，AD⊥EF 于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证 EF 是⊙O 的切线；（2）求证 AC2=AD·AB（3）若⊙O 的半径为 2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积． DBE FOCA10. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为 BC 上的一点，以 CE 为直径作⊙O，AB 与⊙O相切于点 D，连接 CD，若 BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；⑵求图中阴影部分的面积（结果保留 π 和根号） ．**11. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD 交⊙O 于 E，连接 CE．（1）判断 CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 E 是 的中点，⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积．A**12. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为 AB 延长线上的点，∠APD=30°（1）求证：DP 是⊙O 的切线；⑵若⊙O 的半径为 3cm，求图中阴影部分的面积．8PBODAC13. 如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB＝8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的直线折叠，若 恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是 ． （结果保留 π）⌒BC91. C 解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB90 ，所以 AB= ，△AOB 的面积为 ，221扇形 AOB 的面积为 ，所以弓形的面积为 ，又因为半圆的面积为 ，所以阴43609ππ 2-4π 4π影部分的面积为： －（ ）= ．故选 C．π 2-π2. C 解析： 连接 AE、OD， ∵AB 是直径，∴AE⊥BC．∵点 E 是 BC 的中点，∴AB=AC．在△AEB 与△AEC 中，AE=AE，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC（SAS）∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BED=120°，∴∠BAD=60°（圆内接四边形的对角互补） ，∴△ABC 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）．∵OA=OD，∴△OAD 是等边三角形，∴AD=OA=2，∴点 D 是 AC 的中点，∴DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半） ，∵∠BAE=30° ，∴BE= AB=2，∴DE=BE，∴21= ，∴ = ．又∵DE 是△ABC 的中位线， ∴△CDE 是边长为 2 的等边BES弓 形 D弓 形 阴 影SCDE△三角形，∴ = = = ． 故选 C．阴 影 △ 2433. D 解析：如下图所示：连接 OB、OE、BE、BD．设半圆的半径为 R．EOCABD∵B、E 是半圆弧的三等分点，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60°．∵弧 BE 的长为 ，∴ ，解得 R＝2．∴S 扇形32321806ROBE＝ ＝ × ×2＝ ．lR21∵AD 是半圆 O 的直径，∴∠ABD＝90°．在 Rt△ABD 中，∠BAD＝ ∠DOB＝30°，21∴AB＝AD·cos∠BAD＝4× ＝ ．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，23∠BAC＝ ∠BOE＝30°，21∴BC＝ AB＝ ， AC＝AB·cos∠BAC＝ × ＝3．∴S △32ABC＝ AC·BC＝ ×3× ＝ ．∵OB＝OE，∠BOE＝60°，∴△BOE 是等边三角形，2123∴∠BEO＝60°＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S △ABE ＝S △OBE ，10∴S 阴影 ＝S △ABC －S △ABE －S 弓形 OBE＝S △ABC －S △OBE －S 弓形 OBE＝S △ABC －S 扇形 OBE＝ ． 故选 D．324. D 解析：∵S 1+S3= πAB 2=2π ①，S 2+S4= πAC 2= π ②，∴①－②得：818（S 1－S 2）+（S 3－S 4）= ，∵ ， ∴S 3－S 4= － = ．故选 D．12545. 解析：∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°，由等圆可5知⊙A、⊙B 的半径为 5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于+ = = =3602A2B360)(2BA36059246. 7.2 解析：依题意，得扇形的半径＝ ＝ ，圆心角∠ABA′＝90°，∴231图中阴影部分的面积＝扇形的面积－直角三角形的面积＝ － ×2×3＝290361π×13－3≈ ×3．14×13－3＝10．205－3≈7．2．14147. 解析： ＝ ＝52ABCCASSS 阴 影 扇 形 扇 形 BACAS扇 形 扇 形＝ ．10(3)618. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方8形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为 ，所以，图中阴影部分面积513的和为 = ．36059. 解析：⑴证明：连接 OC， DBE FOCA∵AD⊥EF，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ACO =90°即∠OCD=90°，∴EF 是⊙O 的切线.⑵证明：连接 BC．∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．①∵OC=OA，∴∠ ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°－2∠ACO，即11∠AOC+∠ACO=90°．②，由①②得：∠ACD－ ∠AOC=0，即12 12∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∵AB 是直径 ，∴∠ACB=∠ADC=90°．在 Rt△ACD 与△RtACB 中，∵∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴ ，即 AC2=AB·AD．ACDB⑶∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°，∵∠ACD=30°，∴∠OCA=60°，∵OC=OA，∴△ACO 是等边三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60°，在 Rt△ADC 中，∵∠ACD=30°，∴AD=1，CD= ，S 阴影 = S 梯形 OCDA－ S 扇形 OCA=3．21603(2)310. 解析：（1）证明：连接 OD．∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴∠ODB=90°，∴∠B+∠DOB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DOB，∵OC=OD，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB;（2）在 Rt△ODB 中，∵OD=OE，OE=BE，∴cos∠B= = ，∴∠DOB=60°．OBD21∵BD=OB·sin60°=2 ．∴S 扇形 ODE= = π，S 阴影 =S△DOB －S 扇形 ODE=2 －33602 3π．3211. 解析：（1）CD 与圆 O 相切，理由为：∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD 与圆 O 相切；（2）连接 EB，由 AB 为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F 为 EB 的中点，∴OF 为△ABE 的中位线，12∴OF= AE= ，即 CF=DE= ，在 Rt△OBF 中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，则 S 阴影2121 23=S△DEC = × × = ．3812. 解析：⑴连接 OD、DB，PBODAC∵∠ACD=60°∴∠ABD=60°．又∵OB=OD，∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD=60°．又∵∠APD=30°，∴∠ODP=90°，∴OD⊥DP，又∵点 D 在⊙O 上，∴DP 是⊙O 的切线．⑵由⑴知△ODP 为 Rt△，∠APD=30°，∴tan30°= ，∴DP= ．3OP3∴S 阴影 =S△ODP- S 扇形= OD•DP－ = ×3× - = -213602Rn160·29答：阴影部分的面积为 cm．9-13. 解析：如下图 ，连接 OC，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G，交半圆周于点 D．83 GFEDA BCO易知直线 BC、OD 是两条弧 BOC 与 BDC 所围成的图形的对称轴，故 OG＝ OC，从而12∠OCG＝30°，∠COG＝∠GOB＝60°，∠AOC＝6 0°．由对称性易知，弧 OFB 与半径 OB 组成的弓形面积等于弧 OEC 与半径 OC 组成的弓形面积，因此，S 阴影部分 ＝S 扇形OAC＝ ＝ ．260438