七年级数学下册 培优新帮手试题（打包29套）（新版）新人教版.zip

101 质数那些事阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被 1 和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类： 1单 位正 整 数 质 数合 数关于质数、合数有下列重要性质 ：1．质数有无穷多个，最小的质数是 2，但不存在最大的质数，最小的合数是 4．2．1 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数．3．若质数 | ，则必有 | 或 | ．pabpab4．算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地 分解成 个质因数的乘积(不考虑质因数k之间的顺序关系)：N= ，其中 ， 为质数， 为非负数( =1，2，3，…， )．12kaaP 12kP iPiaik正整数 N 的正约 数的个数为(1＋ )(1＋ )…(1＋ )，所有正约数的和为(1＋ ＋…＋ )1a11 1P1a(1＋ ＋…＋ )…(1＋ ＋…＋ )．22akk例题与求解【例 1】已知三个质数 ， ， 满足 ＋ ＋ ＋ =99，那么 的值abcabcabca等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出 ， ， 的值．abc【例 2】若 为质数， ＋5 仍为质数，则 ＋7 为( )p35pA．质数 B．可为质数，也可为合数2C．合数 D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例 3】求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数．(上海市竞赛试题)解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例 4】⑴ 将 1，2，…，2 004 这 2 004 个数随意排成一行，得到一个数 ，求证： 一定是n合数．⑵ 若 是大于 2 的正整数，求证： －1 与 ＋1 中至多有一个质数．nn2n⑶ 求 360 的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题)解题思想：⑴ 将 1 到 2 004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非 1 和本身的约数；⑵只需说明 －1 与 ＋1 中必有一个是合数，不能同2nn为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．3【例 5】设 和 是正整数， ≠ ， 是奇质数，并且 ，求 ＋ 的值．xyxyp12xypxy解题思想：由题意变形得出 整除 或 ，不妨设 ．由质数的定义得到 2 －1=1 或t t2 － 1= ．由 ≠ 及 2 － 1 为质数即可得出结论．tpxyt【例 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)， 199(919，991)，337(373，733)，…都 是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码 1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字 1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字 0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被 2 或 5 整除．能力训练A 级1．若 ， ， ， 为整数， =1997，则 =________． abcd22abcd22abcd2．在 1，2，3，…， 这个 自然数中，已知共有 个质数， 个合数， 个奇数， 个偶npqkm数，则( － )＋( － )=__________．qmpk43．设 ， 为自然数，满足 1176 = ，则 的最小值为__________．aba3b(“希望杯”邀请赛试题)4．已知 是质数，并且 ＋3 也是质数，则 －48 的值为____________．p6p1p(北京市竞赛试题)5．任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A．4 B．8 C．12 D．06．在 2 005，2 007，2 009 这三个数中，质数有 ( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，质数有( )A．1 个 B．3 个 C．5 个 D．6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8．设 ， ， 都是质数，并且 ＋ = ， ．求 ．pqrpqrp9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数 2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一5个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 cm 规格的地砖，恰用 块，xn若选用边长为 cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块，已知 ， ， 都是正整数，且(y y， )=1，试问这块地有多少平方米？x(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1．若质数 ， 满足 5 ＋7 =129，则 ＋ 的值为__________．mnnmn2．已知 ， 均为质数，并且存在两个正整数 ， ，使得 = ＋ ， = × ，则pq pmnq的值为 __________．pqnm3．自然数 ， ， ， ， 都大于 1，其乘积 =2 000，则其和 ＋ ＋ ＋ ＋ 的abcdeabcdeabcde最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1 9926个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若 ， 均为质数，且满足 ＋ =2 089，则 49 － =_________．ab1abbaA．0 B．2 007 C．2 008 D．2 010(“五羊杯”竞赛试题)6．设 为质数，并且 7 ＋8 和 8 ＋7 也都为质数，记 =77 ＋8， =88 ＋7，则在以下a2a2xay情形中，必定成立的是( )A． ， 都 是质数 B． ， 都是合数xyC． ， 一个是质数，一个是合数 D．对不同的 ，以上皆可能出现a(江西省竞赛试题)7．设 ， ， ， 是自然数，并且 ，求证： ＋ ＋ ＋ 一定是合数．abcd22abcdbcd(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴ 6 个数中任意两个都互质；⑵ 6 个数任取 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．79．已知正整数 ， 都是质数，并且 7 ＋ 与 ＋11 也都是质数，试求 的值．pqpqqp(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，…，40，41 这 41 个自然数，问：(l) 能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．01 质数那些事例 1 34例 2 C例 3 3 符合要求 提示：当 p=3k＋1 时， p＋10=3 k＋11， p＋14=3( k＋5)，显然 p＋14 是合数，当p=3k＋2 时， p＋10=3( k＋4)是合数，当 p=3k 时，只有 k=1 才符合题意．例 4 （1）因 1＋2＋…＋2004= ×2004×（1＋2004）=1002×2005 为 3 的倍数，故无论怎样交换2这 2004 个数的顺序，所得数都有 3 这个约数．（2）因 n 是大于 2 的正整数，则 －1≥7， －1、 、 ＋1 是不小于 7 的三个连续的正nn2n2整数，其中必有一个被 3 整除，但 3 不整除 ，故 －1 与 ＋1 中至多有一个数是质数．（3）设正整数 a 的所有正约数之和为 b， ， ， ，…， 为 a 的正约数从小到大的排1d23nd8列，于是 =1， =a．由 于 中各分数分母的最小公倍数 =a，1dn nddS1132 nd故 S= = = ，而 a=360= ，故 b=（1＋2＋ ＋ ）nn1n2b53223×（1＋3＋ ）×（1＋5）=1170． = = ．2 360174例 5 由 = ，得 x＋ y= =k． （ k 为正整数） ，可得 2xy=kp，所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质xypp2数，故 p 整除 x 或 y，不放设 x=tp，则 tp＋ y=2ty，得 y= 为整数．又 t 与 2t－1 互质，1t故 2t－1 整除 p， p 为质数，所以 2t－1=1 或 2t－1= p．若 2t－1=，得 t=1， x=y=p，与 x≠ y矛盾；若 2t－1= p，则 = ，2 xy=p（ x＋ y） ．∵ p 是奇质数，则 x＋ y 为偶数， x、 y 同奇xy偶性，只能同为 xy= 必有某数含因数 p．令 x=ap， ay= ，2 ay=ap＋ y．∴ y=a，故 a，2 a－1 互质，2 a－1 整除 p，又 p 是质数，则 2a－1= p， a= ，故 x= 1= ，∴ x＋ y= ＋ = 。p21例 6 设 N 是一个同时含有数字 1，3，7，9 的绝对质数．因为=7931， =1793， =9137， =7913， =7193， =1937， =7139 除以 7 所得余数分0k`2k34k56k别为 0，1，2，3，4，5，6．故如下 7 个正整数：=L ，914nCN04L=L ，321 1k…=L ，794216nCN640L其中，一定有一个能被 7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾．A 级1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B8．由 r=p＋ q 可知 r 不是最小的质数， 则为奇数，故 p， q 为一奇一偶，又因为 p＜ q．故 p 既是质9数又是偶数，则 p=2．9．设十个连续合数为 k＋2， k＋3， k＋4，…， k＋10， k＋11，这里 k 为自然数，则只要取 k 是2，3，4，…，11 的倍数即可．10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3） ， （4，5） ， （6，7） ，…， （1992，1993） ，1994，甲擦掉 1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．11．设这块地面积为 S，则 S= =（ n＋124） ．2x2y∴ =124 ∵ x＞ y （ x， y）=12yxn2∴（ ， ）=1 （ ， ）=1 得 ｜12422∵124= ×31， =（ x＋ y） （ x－ y）22∴ ，或13yx6∴ ，或 （舍）56302x此时 n= =900．214yx∴ S= =900× =230400cm =23．04 m 。622B 级1．19 或 252． 提示： q=mn，则 m、 n 只能一个为 1，另一个为 q．33．133 23 4．20015．B 提示：唯有 a=2， b=2089－ =2089－2048 =41 是质数，符合题意．126．A 提示：当 a=3 时，符合题意；当 a≠3 时， 被 3 处余 1，设 =3n＋1，则22a7 ＋8=21 n＋15，8 ＋7=24 n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故 a=3．227． － a， － b， －c， －d 都是偶数，即 M= －（ a＋ b＋c＋d）是偶22dcb10数．因为 = ，所以 =2（ ）是偶数，从而有 a＋ b＋c＋d=2ba2dc22dcba2ba－ M=2（ ）－ M，它 一定是偶数，但 a＋ b＋ c＋ d＞2，于 是 a＋ b＋ c＋ d2是个合数．8．取六个数 ai＝ i×(1×2×3×4×5×6)＋1 (i＝1，2，…，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设 a2与 a5不互质，设 d 是 a2与 a5的最大公约数，则 d 必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即 3×1×2×3×4×5×6 的 一个因子，但从 a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知， d 不整除 a2，这与假设 d 是 a2与 a5的最 大公约数矛盾，故 a2与 a5互质．9．由 pq＋11＞11 且 pq＋11 是质数知， pq＋11 必为正奇数，从而 p＝2 或 q＝2．(1)若 p＝2，此时 7p＋ q 及 2q＋11 均为质数．设 q＝3 k＋1，则 q＋14＝3( k＋5)不是质数；设q＝3 k＋2，则 2q＋11＝3(2 k＋5)不是质数，因此 q 应为 3k 型的质数，当然只能是 q＝3．(2)若 q＝2，此时 7p＋ q 与 2p＋11 均为质数，设 p＝3 k＋1，则 7p＋2＝3(7 k＋3)不是质数；设p＝3 k＋2，则 2p＋11＝3(2 k＋5)不是质数，因此， p 应为 3k 型的质数， p＝3． 综合(1)，(2)知p＝3， q＝2 或 p＝2， q＝3，所以 pq十 qp ＝17．10．(1)能办到 提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是 41或 43.满足题目要求．(2)不能办到 提示：若把 1，2，3，…，40，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有 20 个偶数，21 个奇数，总共是 41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，102 数的整除性阅读与思考设 ， 是整数， ≠0，如果一个整数 使得等式 = 成立，那么称 能被 整除，或称abqabqab整除 ，记作 | ，又称 为 的约数， 而 称为 的倍数．解与整数的整除相关问题常用到ba以 下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数 的个位数是偶数，则 2| ；aa②若整数 的个位数是 0 或 5，则 5| ；③若整数 的各位数字之和是 3(或 9)的倍数，则 3| (或 9| )；a④若整数 的末二位数是 4(或 25)的倍数，则 4| (或 25| )；a⑤若整数 的末三位数是 8(或 125)的倍数，则 8| (或 125| )；⑥若整数 的奇数位数字和与偶数位数字和的差是 11 的倍数，则 11| ．a2．整除的基本性质设 ， ， 都是整数，有：abc①若 | ， | ，则 | ；ac②若 | ， | ，则 |( ± )；b③若 | ， | ，则[ ， ]| ；bac④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；cca⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．bpbcpbc例题与求解【例 1】在 1，2，3，…，2 000 这 2 000 个自然数中，有_______个自然数能同时被 2 和 3 整除，而 且不能被 5 整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数 能同时被 2 和 3 整除，则 能被 6 整除，从中剔 除能被 5 整除的数，即为nn所求．2【例 2】已知 ， 是正整数( ＞ )，对于以下两个结论：abab①在 ＋ ， ， － 这三个数中必有 2 的倍数；②在 ＋ ， ， － 这三个数中必有 3 的倍数．其中 ( )A．只有①正确 B．只有②正确C．①，②都正确 D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举 例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例 3】已知整数 能被 198 整除，求 ， 的值．13456abab(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数 能被 9，11 整除，运用整除的相关特性建立 ， 的13456b ab等式，求出 ， 的值．ab【例 4】已知 ， ， 都是整数，当代数式 7 ＋2 ＋3 的值能被 13 整除时，那么代数式abcabc5 ＋7 －22 的值是否一定能被 13 整除，为什么？abc(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把 5 ＋7 －22 构造成均能被 13 整除的两个代数式的和，再进行判断．abc3【例 5】如果将正整数 M 放在正整数 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 的mm“魔术数”(例如：把 86 放在 415 左侧，得到 86 415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数)，求正整数 的最小值，使得 存在互不相同的正整数 ， ，…， ，满足对任意一个正整数 ，n 1a2na在 ， ，…， 中都至少有一个为 的“魔术数” ．1a2na(2013 年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设 ( =1，2，3，…， ； =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为7iiktnt的“魔 术数 ”．根据题中条件，利用 ( 是 的位数)被 7 除所得余数，分析 的取m10kiamA i值．【例 6】一只青蛙，位于数轴上的点 ，跳动一次后到达 ，已知 ， 满足ka1kak1a4| － |=1，我们把青蛙从 开始，经 －1 次跳动的位置依次记作 ： ， ， ，…，1ka 1annA1a23．n⑴ 写出一个 ，使其 ，且 ＋ ＋ ＋ ＋ 0；5A15012a345⑵ 若 =13， =2 012，求 的值；1a201⑶ 对于整数 ( ≥2)，如果存在一个 能同时满足如下两个条件：nnA① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．求整数 ( ≥2) 被 4 除的余数，并说理理由．1123na(2013 年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴ ．即从原点出发，经过 4 次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两150次向左．为保证 ＋ ＋ ＋ ＋ 0．只需将“向右”安排在前即可．a234a5⑵若 =13， =2 012，从 经过 1 999 步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，10 20axy则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．932xy90xy⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，nA1a12a3na1经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ，kkakxkykaxky＋ = －1 ，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )kxy123n2y3nx=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－2nxy3xnx23n．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即n1a23na23nx4| ( －1)．5能力训练A 级1．某班学生不到 50 人，在一次测验中，有 的学生得优， 的学生得良， 的学生得及格，171312则有________人不及格．2．从 1 到 10 000 这 1 万个自然数中，有_______个数能被 5 或能被 7 整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数 能被 11 与 9 整除，这个五位数是________．38ab4．在小于 1 997 的自然数中，是 3 的倍数而不是 5 的倍数的数的个数是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题)6．用数字 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的三位数中，是 9 的倍数的数有( )A．12 个 B．18 个 C． 20 个 D．30 个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数 是 9 的倍数，其中 是 4 的倍数，那么 的最小值为多少？abcdeabcdabcde(黄冈市竞赛试题)68．1，2，3，4，5，6 每个使用一次组成一个六位数字 ，使得三位数 ， ，abcdefabcd， 能依次被 4，5，3，11 整除，求这个六位数．cdef(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可被 9，11，6 整除． ”问：数学老师先后填入的这 3 个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B 级1．若一个正整数 被 2，3，…，9 这八个自然数除，所得的余数都 为 1，则 的最小值为a a_________， 的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知 ， 都是正整数，若 1≤ ≤ ≤30，且 能被 21 整除，则满足条件的数对mnmn( ， )共有___________个．(天津市竞赛试题)3．一个六位数 能被 33 整除，这样的六位数中最大是__________．198xy74．有以下两个数串 同时出现在这两个数串中的数1,357,913,597,140806 的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数 能被 12 整除，这样的六位数共有( )个．19abA．4 B．6 C．8 D．126．若 1 059，1 417，2 312 分别被自然数 除时，所得的余数都是 ，则 － 的值为( nmn)．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数 ，然后，魔术师再要求他记下abc五个数： ， ， ， ， ，并把这五个数加起来求出和 N．只要讲出 的大小，acbcabca魔术师就能说出原数 是什么．如果 N=3 194，请你确定 ．c(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“拷贝数” ，试求所有的三位“拷贝数” ．(武汉市竞赛试题)89．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的 6 倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为 1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从 1，2，…，9 中任取 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，n它们的和能被 10 整除，求 的最小值．(2013 年全国初中数学竞赛试题)910专题 02 数的整除性例 1 267 提示：333－66＝267．例 2 C 提示：关于②的证明：对于 a， b 若至少有一个是 3 的倍数，则 ab 是 3 的倍数．若a， b 都不是 3 的倍数，则有：(1)当 a＝3 m＋1， b＝3 n＋1 时， a－ b＝3( m－ n)；(2)当a＝3 m＋1， b＝3 n＋2 时， a＋ b＝3( m＋ n＋1)；(3)当 a＝3 m＋2， b＝3 n＋1 时， a＋ b＝3( m＋ n＋1)；(4)当 a＝3 m＋2， b＝3 n＋2 时， a－ b＝3( m－ n).例 3 a＝8． b＝0 提示：由 9｜(19＋ a＋ b)得 a＋ b＝8 或 17；由 11|(3＋ a－ b)得 a－ b＝8 或－3．例 4 设 x， y， z， t 是整数，并且假设 5a＋7 b－22 c＝ x(7a＋2 b＋3 c) ＋13( ya＋ zb＋ tc).比较上式 a， b， c 的系数，应当有 ，取 x＝－3，可以得到 y＝2， z＝1， t＝－1，2137txzy则有 13 (2a＋ b－ c)－3(7 a＋2 b＋3 c)＝5 a＋7 b－22 c．既然 3(7a＋2 b＋3 c)和 13(2a＋ b－ c)都能被13 整除，则 5a＋7 b－22 c 就能被 13 整除．例 5 考虑到“魔术数”均为 7 的倍数，又 a1， a2，…， an互不相等，不妨设 a1 ＜ a2＜…＜ an，余数必为 1，2，3，4，5，6，0， 设 ai＝ ki＋ t(i＝1，2，3，…， n； t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为 m 的“魔术数” ，因为 ai·10k＋ m(k 是 m 的位数)，是 7 的倍数，当 i≤ b 时，而 ai·t除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 中的 6 个；当 i＝7 时，而 ai·10k除以 7 的余数都是0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字循环出现， 当 i＝7 时，依抽屉原理， ai·10k与 m 二者余数的和至少有一个是 7，此时 ai·10k＋ m 被 7 整除，即 n＝7．例 6 (1)A5：0，1，2，1，0.(或 A5：0，1，0，1，0) (2)a1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4 除余数为 0 或 1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B7．五位数 ＝10× ＋ e.又∵ 为 4 的倍数．故最值为 1 000，又因为 为 9 的倍abcde abcd abcd abcde数．故 1＋0＋0＋0＋ e 能被 9 整除，所以 e 只能取 8．因此 最小值为 10 008.abcde8．324 561 提示： d＋ f－ e 是 11 的倍数，但 6≤ d＋ f≤5＋6＝11，1≤ e≤6，故 0≤ d＋ f－ e≤10，因此 d＋ f－ e＝0，即 5＋ f＝ e，又 e≤ d， f≥1，故 f＝ l， e＝6，119．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被 9 整除，故□里只能填 7，同理，得到后两个数为 8，4．B 级1．2 521 a＝2 520 n＋1( n∈ N＋ ) 2．573．719 895 提示：这个数能被 33 整除，故也能被 3 整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋ y)也能被 3 整除，故 x＋ y 能被 3 整除．4．B 5．B6．A 提 示：两两差能被 n 整除， n＝179， m＝164．7．由题意得 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝3 194，两边加上 ．得 222(a＋ b＋ c)＝3194＋ acb bac bca cab cba abc abc∴222( a＋ b＋ c) ＝222×14＋86＋ ．则 ＋86 是 222 的倍数．abc abc且 a＋ b＋ c＞14．设 ＋86＝222 n 考虑到 是三位数，依次取 n＝1，2，3，4.分别得出 的可abc abc abc能值为 136，358，580，802，又因为 a＋ b＋ c＞14．故 ＝358．abc8．设 N 为所求的三位“拷贝数” ，它的各位数字分别为 a， b， c(a， b， c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为 ，则最小数为 ．故 N＝ － ＝(100 a＋10 b＋ c)－ abc cba abc cba(100c＋10 b＋ a)＝99( a－ c)．可知 N 为 99 的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这 9 个数中，只有 954－ 459＝495.故 495是唯一的三位“拷贝数” ．9．设原六位数为 ，则 6× ＝ ，即 6×(1000× ＋ )＝1000× ＋ ，所abcdef abcdef defabc abc def def abc以 994× －5 999× ，即 142× ＝857× ， ∵(142，857)＝1，∴ def abc def abc142| ，857| ，而 ， 为三位数，∴ ＝142， ＝857，故 ＝142857．abc def abc def abc def abcdef10．设这个数为 ，则 1 000a＋100 b＋10 c＋ d＋ a＋ b＋ c＋ d＝1 999，即 1 abcd001a＋101 b＋11 c＋2 d＝1 999，得 a＝1，进而 101b＋11 c＋2 d＝998，101 b≥998－117－881，有b＝9，则 11c＋2 d＝89，而 0≤2 d≤18，71≤11 c≤89，推得 c＝7， d＝6，故这个四位数是 1 976．11．当 n＝4 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被 10 整除．当 n＝5 时，设 a1a2，…， a5是1，2，…，9 中的 5 个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被 10 整除，则12中不可能同时出现 1 和 9，2 和 8，3 和 7，4 和 6，于是 中必定有一个为125,a 125,a5，若 中含 1，则不含 9，于是，不含 ，故含 6；不含 ,故,a (50)3(610)含 7；不含 ,故含 8；但是 5+7+8=20 是 10 的倍数, 矛盾. 若 中含 9, 2(70) 125,a则不含 1, 于是不含 故含 4; 不含 故含 3; 不含6(9520),7(490),故含 2; 但是 是 10 的倍数, 矛盾. 综上所述, n 的最小值为 58(9320),31103 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用 字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝2 22×4＋1＝9＝3 23×5＋1＝16＝4 24×6＋1＝25＝5 2… 请将你找到的 规律用代数式表示出来：_______________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.2【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（ ）A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从 a＋1 开始，这 100 个连续自然数的和为（ a＋1）＋( a＋2)＋ …＋( a＋100)＝100 a＋5050，从揭示和的特征入手.【例 3】设 A＝ ＋…＋ ＋ ，求 A 的整21+´23´24+´221034+´22105+´数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析 A 中第 n 项 的特征入手.22(1)+´【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成 m 个正方形，按如图②摆放时可摆成 2n 个正方形.(1)用含 n 的代数式表示 m；(2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求 a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有 m 个正方形、图②中有 2n 个正方形，可设图③中有 3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m， n， p 的等式.【例 5】 化简 . 个个个 nnn9193（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察 n＝1，2，3 时的简单情形，然 后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例 6】观察按下列规律排成的一列数：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， （*）121321423415234516（1）在（*）中，从左起第 m 个数记为 F(m)＝ 时，求 m 的值和这 m 个数的积.0（2）在（*）中，未经约分且分母为 2 的数记为 c，它后面的一个数记为 d，是否存在这样的两个数 c 和 d，使 cd＝2001000，如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（ ） ， （ ， ） ， （ ， ，12132） ， （ ， ， ， ） ， （ ， ， ， ， ） ，….3142341523451能力训练A 级1.已知等式：2＋ ＝2 2× ，3＋ ＝3 2× ，4＋ ＝4 2× ，…， ，10 815＋ ＝10 2× （ a， b 均为正整数） ，则 a＋ b＝_________________ __.ab(湖北省武汉市竞赛试题)42.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n（ n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s 与 n 之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4 s＝4 s＝8 s＝12 (山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（ a， b）和（ c， d） ， 当且仅当 a＝ c 且 b＝ d 时， （ a， b）＝（ c， d） ．定义运算“⊗” ：（ a， b）⊗ （ c， d）＝（ ac－ bd， ad＋ bc） ．若（1，2）⊗ （ p， q）＝（5，0） ，则 p＋ q＝______ __．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖______块（含 n 代数式表示） ．（广东省中考试题）-=5.如果 a 是一个三位数，现在把 1 放在它的右边得到一个四位数是（ ）A.1000a＋1 B. 100 a＋1 C. 10 a＋1 D. a＋1 (重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式： a＋ b， a2—b3， a3＋ b5， a4—b7，…，其中第十个式子是（ ）A. a10＋ b19 B. a10-b19 C. a10-b17 D. a10-b21 (四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数 x1， x2， x3； y1， y2， y3； z1， z2， z3，它们的平均数分别是 a， b， c，那么x1＋ y1－ z1， x2＋ y2－ z2， x3＋ y3－ z3的 平均数是（ ）A. B. C. a＋ b－ c D. 3(a＋ b－ c) 3abc+abc+-(希望杯邀请赛试题)58.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积 S1、 S2 的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A. S1＞ S2 B． Sl＜ S2 C． S1＝ S2 D． 无 法 比 较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为 4 个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成 4 个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第 3、第 4 次，…，第 n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数 1 2 3 4 … n所得的总数 4 7 …（2）请你推断，能否按上述操作剪裁 出 33 个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原 a（ a＞0）个成品，且每个每天都生产 b（ b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每 天检验的成品数相同．（1 ）这若干名检验员 1 天检验多少个成品（用含 a、 b 的代数式表示） ；（2）试求出用 b 表示 a 的关系式；（3）若 1 名质检员 1 天能检验 b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？54（广东省广州市中考试题）6B 级1. 你能很快算出 19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成（10· n＋5） （ n 为自然数） ，即求（10· n＋5） 2的值（ n 为自然数） ，分析n＝1， n＝2， n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225 可写成 100×1×（1＋ 1）＋25；252＝625 可写成 100×2×（2＋1）＋25；352＝1225 可写成 100×3×（3＋1）＋25；452＝2025 可写成 100×4×（4＋1）＋25；.752＝5 625 可写成______；852＝7225 可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10 n＋5） 2＝______；（3）根据上面的归纳猜想，请算出 19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知 12＋2 2＋3 2＋…＋ n2＝ n(n＋1)(2 n＋1)，计算：16（1）11 2＋12 2＋…＋19 2＝______________ _______；(2)22＋4 2＋…＋50 2＝__________________.3.已知 n 是正整数， an＝1×2×3×4×…× n，则＋ ＋…＋ ＋ ＝_______________.13a2420113(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知 17 个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17 个数后面的那 17 个整数的和为__________.7（重庆市竞赛试题）5.A， B 两地相距 S 千米，甲、乙的速度分别为 a 千米/时、 b 千米/时（ a＞ b） ，甲、乙都从 A地到 B 地去开会，如果甲比乙先出发 1 小时，那么乙比甲晚到 B 地的小时数是（ ）A． B． C． D．(1)sab-+()sb-+(1)s-6.某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的 b%出售，那么调价后的零售价是（ ）A． m（1＋ a%） （1－ b%）元 B． m a%（1－ b%）元 C． m（1＋ a%） b%元 D． m（1＋ a%b%）元 （山东省竞赛试题）7.如果用 a 名同学在 b 小时内共搬运 c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A． B． C． D．2cb2c2a2b(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的 ，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的 ．问甲班未参加的人数是乙13 15班未参加人数的几分之几？9.将自然数 1，2，3，…，21 这 21 个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于 33.（重庆市竞赛试题）810.有四个互不相同 的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于 18.若这四个数的乘积是 23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）9专题 03 从算术到代数例 1 2(2)1()nn例 2 A例 3 原式= 111()()2()2()2()23403405= 故其整数部分为 20081045例 4 设图③中含有 个正方形.p(1) 由 ,得312mn13n(2) 由 得 ,因 均是正整数, 所以当57,ap32517mnp时,17,0n此时p31752a例 5 解法 1: 时, ;298190时, ,2n 4()9101猜想: 个, 计算过程类似于2nnnn  个 个 个 2n2991(01)9909190nnnnnn        个 个 个 个 个 个 个 个 个解法 2: 时, 2()10时, 2n 49191099110 猜想: 原式 20n验证如 下: 99191099910nnnnnnnnnnn         个 个 个 个 个 个 个 个 个 个 20个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设 ,得另一种解法9na个解法 3: 原式 2222(1)a1()(10nn例 6 (1)(※) 可分组为 可知各组数的个数依次为3435,,(),,,,).1,2310按其规律 应在第 组 中, 该组前面共有2010212320(,,)01个数. 故当 时, . 又因各组12343 ()Fm301230的数积为 1, 故这 2003003 个数的积为 1200(2) 依题意, 为每组倒数第 2 个数, 为每组最后一个数, cd设它们在第 n 组, 别 .即 ,1nc()21n(1)402120n201得 ,0c2dA 级1. 100 提示: 中, 根据规律可得 故210ab210,9,ab109ab2. 4()sn3. 提示: 根据题中定义的运算可列代数式 ,可得1 25,0pqp1,2,q故 pq4. 10 31n5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 (2) 不能, 33 不符合31n31n10. (1) 或 或 2ab(5)2b(2) 由 ,得3a4(3) ()47.582bB 级111. (1) 107()25,108()25(2) n(3) 3980252. (1) (2) 提示: 原式1224(15)3. 提示: 由 可得, 20463nan原式 1345201203123464. 595 提示 : 设 17 个连续整数为 且 ,它后面紧,,1,m (1)(16)30m接的 17 个连续自然数应为 ,可得它们之和为 595,18,9,35. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为 块, 名同学按此速度每小时所搬砖头为 块.cab2cab8．用 a， b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数， m， n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由 a＋ m＝ b＋ n 得 m－ b＝ n－ a，又 a＝ n， b＝ m，故 m－ m＝ n－ n， ．13513569．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1， a2， a3， a4， a5， a6， a7（均为自然数） ，且a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝ ①．假设 a1， a2， a3， a4， a5， a6， a7中没一个2123数都小于 33，则有 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＜231．与①矛盾，所以a1， a2， a3， a4， a5， a6， a7中至少有一个不小于 33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为 a1， a2， a3， a4（ a1＞ a2＞ a3＞ a4） ，则（ a1－ a2）＋（ a1－ a3）＋（ a1－ a4）＋（ a2－ a3）＋（ a2－ a4）＋（ a3－ a4）＝18，即 3（ a1－ a4）＋（ a2－ a3）＝18．又因3（ a1－ a4） ，18 均为 3 的倍数，故 a2－ a3也是 3 的倍数， a2－ a3＜ a1－ a4，则a2－ a3＝3， a1－ a4＝5， a1－ a2＝1， a3－ a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得 a1＝15， a2＝14， a3＝11， a4＝10．