2019届高考数学一轮复习 第六章 不等式课时作业（打包4套）.zip

1第一节 不等式的性质、一元二次不等式课时作业A组——基础对点练1．已知 xyz， x＋ y＋ z＝0，则下列不等式成立的是( )A． xyyz B． xzyzC． xyxz D． x|y|z|y|解析：因为 xyz， x＋ y＋ z＝0，所以 3xx＋ y＋ z＝0，所以 x0，又 yz，所以 xyxz，故选 C.答案：C2．函数 f(x)＝ 的定义域为( )1－ xx＋ 2A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数 f(x)＝ 有意义，则Error! 解得－2b0，则下列不等式不成立的是( )A. |b|1a1bC． a＋ bb0，∴ |b|，1a1b2a＋ b2 ，又 f(x)＝ x是减函数 ，ab (12)∴ a0 得 x1，即 B＝{ x|x1}，所以A∩ B＝{ x|10的解集是( )A．{ x|－11} D．{ x|x0，且 a≠1， m＝ aa2＋1， n＝ aa＋1 ，则( )A． m≥ n B． mnC． m0， n0，两式作商，得 ＝ a(a2＋1)－( a＋1)＝ aa(a－1) ，当 a1时，mna(a－1)0，所以 aa(a－1) a0＝1，即 mn；当 0a0＝1，即 mn.综上，对任意的 a0， a≠1，都有 mn.答案：B9．不等式组Error!的解集是( )A．(2,3)B. ∪(2,3)(1，32)C. ∪(3，＋∞)(－ ∞ ，32)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵ x2－4 x＋30，∴( x－2)(2 x－3)0，∴ x2，∴原不等式组的解集为 ∪(2,3)．(1，32)3答案：B10．下列选项中，使不等式 x0时，原不等式可化为 x20的解集为 ，则不等式－ cx2＋2 x－ a0的解(－13， 12)集为__________．解析：依题意知，Error!解得 a＝－12， c＝2，∴不等式－ cx2＋2 x－ a0，即为－2 x2＋2 x＋120，即 x2－ x－60的解集是__________．(x－1a)解析：原不等式为( x－ a) 0在 R上恒成立，则实数 a的取值范围是________．解析：不等式 x2－ ax＋2 a0在 R上恒成立，即 Δ ＝(－ a)2－8 ab⇒ac2bc2 B. ⇒abacbcC.Error!⇒ D．Error!⇒ 1a1b 1a1b解析：当 c＝0 时， ac2＝0， bc2＝0，故由 ab不能得到 ac2bc2，故 A错误；当 c ⇒a0⇔Error!或Error!故选项 D错误，C 正确．故选 C.acbc 1a 1b b－ aab答案：C2．已知 a， b， c∈R，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c.若 f(0)＝ f(4)f(1)，则( )A． a0,4a＋ b＝0 B． a0,2a＋ b＝0 D． af(1)，∴ c＝16 a＋4 b＋ ca＋ b＋ c，∴16 a＋4 b＝0，即 4a＋ b＝0，且 15a＋3 b0，即 5a＋ b0，而 5a＋ b＝ a＋4 a＋ b，∴ a0.故选 A.答案：A3．在 R上定义运算： ＝ ad－ bc，若不等式Error! Error!≥1 对任意实数 x恒成立，(a bc d)则实数 a的最大值为( )A．－ B．－12 32C. D．12 32解析：由定义知，不等式Error! Error!≥1 等价于 x2－ x－( a2－ a－2)≥1，∴ x2－ x＋1≥ a2－ a对任意实数 x恒成立．∵ x2－ x＋1＝ 2＋ ≥ ，∴ a2－ a≤ ，(x－12) 34 34 34解得－ ≤ a≤ ，则实数 a的最大值为 .12 32 32答案：D4． “(m－1)( a－1)0”是“log am0”的一个( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当( m－1)( a－1)0 时，有Error!或Error!当 m0不一定成立；当 logam0时，则Error!或Error!则( m－1)( a－1)0 恒成立，故“(m－1)·( a－1)0”是“log am0”的必要不充分条件．故选 B.5答案：B5．若 01a1b a bC． abba D．log balogab解析：对于 A，函数 y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，所以当 0 恒成立；对于 C，当x a b0aa，函数 y＝ xa单调递增，所以 aaba，所以abaaba恒成立．所以选 D.答案：D6．若 a|b| B． 1a－ b1aC. D． a2b21a1b解析：由不等式的性质可得| a||b|， a2b2， 成立．假设 成立，由 a0，由 ⇒a(a－ b)· ·a(a－ b)⇒aa－ b⇒b0，与已知矛盾，故选 B.1a－ b1a 1a－ b1a答案：B7．已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a＝ f(log47)， b＝ f ， c＝ f(21.6)，则 a， b， c的大小关系是( )(log123)A． clog47,21.62，∴log 47f(log49)f(21.6)，即 c3}的子集，因为函数 f(x)＝ x2＋4 x－( a＋1)的图象的对称轴方程为 x＝－2，所以必有 f(－1)＝－4－ a0，即a－4，则使Error!的解集不为空集的 a的取值范围是 a≥－4.答案：B11．设 0≤ α ≤π，不等式 8x2－(8sin α )x＋cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立，则 α 的取值范围为________．解析：由 8x2－(8sin α )x＋cos 2 α ≥0 对 x∈R 恒成立，得 Δ ＝(－8sin α )2－4×8cos 2 α ≤0，即 64sin2α －32(1－2sin 2α )≤0，得到 sin2α ≤ ，14∵0≤ α ≤π，∴0≤sin α ≤ ，127∴0≤ α ≤ 或 ≤ α ≤π，π6 5π6即 α 的取值范围为 ∪ .[0，π6] [5π6， π ]答案： ∪[0，π6] [5π6， π ]12．若关于 x的二次不等式 x2＋ mx＋1≥0 的解集为 R，求实数 m的取值范围．解析：不等式 x2＋ mx＋1≥0 的解集为 R，相当于二次函数 y＝ x2＋ mx＋1 的最小值非负，即方程 x2＋ mx＋1＝0 最多有一个实根，故 Δ ＝ m2－4≤0，解得－2≤ m≤2.1第三节 基本不等式课时作业A 组——基础对点练1．若对任意 x0， ≤ a 恒成立，则 a 的取值范围是( )xx2＋ 3x＋ 1A． a≥ B． a15 15C． a0， ≤ a 恒成立，xx2＋ 3x＋ 1所以对 x∈(0，＋∞)， a≥ max，(xx2＋ 3x＋ 1)而对 x∈(0，＋∞)， ＝ ≤ ＝ ，xx2＋ 3x＋ 1 1x＋ 1x＋ 3 12x·1x＋ 3 15当且仅当 x＝ 时等号成立，∴ a≥ .1x 15答案：A2．(2018·厦门一中检测)设 00，故 bab a a b aba＋ b2 b－ a2；由基本不等式知 ，综上所述， a0，则下列不等式中，恒成立的是( )A． a＋ b≥2 B． ＋ ab1a 1b 1abC. ＋ ≥2 D． a2＋ b22abba ab解析：因为 ab0，所以 0， 0，所以 ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 a＝ b 时取等号．ba ab ba ab ba·ab答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A．lg lg x(x0)(x2＋14)B．sin x＋ ≥2( x≠ kπ， k∈Z)1sin xC． x2＋1≥2| x|(x∈R)D. 1(x∈R)1x2＋ 1解析：对选项 A，当 x0 时， x2＋ － x＝ 2≥0，∴lg ≥lg x，故不成立；对选14 (x－ 12) (x2＋ 14)项 B，当 sin x0， b0，1a 2b b＋ 2aab ab∴ ab ＝ b＋2 a≥2 ，∴ ab≥2 .ab 2ab 2法二：由题设易知 a0， b0，∴ ＝ ＋ ≥2 ，即 ab≥2 ，选 C.ab1a 2b 2ab 2答案：C7．(2018·天津模拟)若 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，则 a＋ b 的最小值是( )abA．6＋2 B．7＋23 3C．6＋4 D．7＋43 3解析：因为 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，所以 log4(3a＋4 b)＝log 4(ab)，即 3a＋4 b＝ ab，且ab3Error!即 a0， b0，所以 ＋ ＝1( a0， b0)， a＋ b＝( a＋ b)·( ＋ )＝7＋ ＋ ≥7＋2 4a 3b 4a 3b 4ba 3ab＝7＋4 ，当且仅当 ＝ 时取等号，故选 D.4ba·3ab 3 4ba 3ab答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数 x，不等式 x2＋ a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)C．[－2,2] D．[0，＋∞)解析：当 x＝0 时，不等式 x2＋ a|x|＋1≥0 恒成立，此时 a∈R，当 x≠0 时，则有 a≥＝－(| x|＋ )，设 f(x)＝－(| x|＋ )，则 a≥ f(x)max，由基本不等式得－ 1－ |x|2|x| 1|x| 1|x||x|＋ ≥2(当且仅当| x|＝1 时取等号)，则 f(x)max＝－2，故 a≥－2.故选 B.1|x|答案：B9．当 x0 时，函数 f(x)＝ 有( )2xx2＋ 1A．最小值 1 B．最大值 1C．最小值 2 D．最大值 2解析： f(x)＝ ≤ ＝1.当且仅当 x＝ ， x0 即 x＝1 时取等号．所以 f(x)有最大2x＋ 1x22x·1x 1x值 1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知 a， b∈R，且 ab≠0，则下列结论恒成立的是( )A． a＋ b≥2 B． a2＋ b22ababC. ＋ ≥2 D．| ＋ |≥2ab ba ab ba解析：对于 A，当 a， b 为负数时， a＋ b≥2 不成立；ab对于 B，当 a＝ b 时， a2＋ b22ab 不成立；对于 C，当 a， b 异号时， ＋ ≥2 不成立；ba ab对于 D，因为 ， 同号，所以| ＋ |＝| |＋| |≥2 ＝2(当且仅当| a|＝| b|时取ba ab ba ab ba ab |ba|·|ab|等号)，即| ＋ |≥2 恒成立．ba ab答案：D411．设 f(x)＝ln x,0p D． p＝ rq解析：∵0 ，又 f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故 f( )p，∴ r＝ (f(a)＋ f(b))＝ (ln a＋ln b)＝ln ＝ f( )＝ p，∴ p＝ r0， a0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝__________.ax解析： f(x)＝4 x＋ ≥2 ＝4 ，当且仅当 4x＝ ，即 a＝4 x2时取等号，则由题意知ax 4x·ax a axa＝4×3 2＝36.答案：3614．(2018·邯郸质检)已知 x， y∈(0，＋∞)，2 x－3 ＝( )y，则 ＋ 的最小值为________．12 1x 4y解析：2 x－3 ＝( )y＝2 － y，∴ x－3＝－ y，∴ x＋ y＝3.又 x， y∈(0，＋∞)，所以12＋ ＝ ( ＋ )(x＋ y)＝ (5＋ ＋ )≥ (5＋2 )＝3(当且仅当 ＝ ，即 y＝2 x 时取1x 4y 131x 4y 13 yx 4xy 13 yx·4xy yx 4xy等号)．5答案：315．要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析：设底面的相邻两边长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则V＝ xy·1＝4⇒ xy＝4. T＝4×20＋(2 x＋2 y)×1×10＝80＋20( x＋ y)≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160(当且仅当 x＝ y 时取等号)．xy故该容器的最低总造价是 160 元．答案：160B 组——能力提升练1．设正实数 x， y 满足 x ， y1，不等式 ＋ ≥ m 恒成立，则 m 的最大值为( )12 4x2y－ 1 y22x－ 1A．2 B．42 2C．8 D．16解析：依题意得，2 x－10， y－10， ＋ ＝ ＋ ≥4x2y－ 1 y22x－ 1 [ 2x－ 1 ＋ 1]2y－ 1 [ y－ 1 ＋ 1]22x－ 1＋ ≥4×2 ＝8，即 ＋ ≥8，当且仅当4 2x－ 1y－ 1 4 y－ 12x－ 1 2x－ 1y－ 1×y－ 12x－ 1 4x2y－ 1 y22x－ 1Error!， 即Error!时，取等号，因此 ＋ 的最小值是 8， m≤8， m 的最大值是 8，选4x2y－ 1 y22x－ 1C.答案：C2．若 a， b， c∈(0，＋∞)，且 ab＋ ac＋ bc＋2 ＝6－ a2，则 2a＋ b＋ c 的最小值为( )5A. －1 B． ＋15 5C．2 ＋2 D．2 －25 5解析：由题意，得 a2＋ ab＋ ac＋ bc＝6－2 ，所以 24－8 ＝4( a2＋ ab＋ ac＋ bc)5 5≤4 a2＋4 ab＋ b2＋ c2＋4 ac＋2 bc＝(2 a＋ b＋ c)2，当且仅当 b＝ c 时等号成立，所以2a＋ b＋ c≥2 －2，所以 2a＋ b＋ c 的最小值为 2 －2，故选 D.5 5答案：D3．(2018·保定调研)设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且C＝ ， a＋ b＝ λ ，若△ ABC 面积的最大值为 9 ，则 λ 的值为( )π 3 3A．8 B．12C．16 D．21解析： S△ ABC＝ absin C＝ ab≤ ·( )2＝ λ 2＝9 ，当且仅当 a＝ b 时取“＝” ，解12 34 34 a＋ b2 316 3得 λ ＝12.6答案：B4．已知 x， y 都是正数，且 x＋ y＝1，则 ＋ 的最小值为( )4x＋ 2 1y＋ 1A. B．21315C. D．394解析：由题意知， x＋20， y＋10，( x＋2)＋( y＋1)＝4，则 ＋ ＝4x＋ 2 1y＋ 1 14≥ ＝ ，当且仅当 x＝ ，(5＋4 y＋ 1x＋ 2 ＋ x＋ 2y＋ 1) 14[5＋ 2 4 y＋ 1x＋ 2 ·x＋ 2y＋ 1] 94 23y＝ 时， ＋ 取最小值 .13 4x＋ 2 1y＋ 1 94答案：C5. (－6≤ a≤3)的最大值为( ) 3－ a  a＋ 6A．9 B．92C．3 D．322解析：因为－6≤ a≤3，所以 3－ a≥0， a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤ ＝ ，当且仅当 a＝－ 时等号成立． 3－ a  a＋ 6 3－ a ＋  a＋ 62 92 32答案：B6．已知在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2acos(B－ )＝ b＋ c，△π 3ABC 的外接圆半径为 ，则△ ABC 周长的取值范围为( )3A．(3,9] B．(6,8]C．(6,9] D．(3,8]解析：由 2acos(B－ )＝ b＋ c，得 acos B＋ asin B＝ b＋ c，由正弦定理得 sin Asin π 3 3 3B＋sin Acos B＝sin B＋sin( A＋ B)，即 sin Asin B＝sin B＋cos Asin B，又 sin 3B≠0，∴ sin A－cos A＝1，∴sin( A－ )＝ ，由 00， y0，且y4 (x＋ y4)＋ ＝1，∴ x＋ ＝ ＝ ＋ ＋2≥2 ＋ 2＝4，当且仅当 ＝ ，即1x 4y y4 (x＋ y4)(1x＋ 4y) 4xy y4x 4xy·y4x 4xy y4xx＝2， y＝8 时取等号，∴ min＝4，∴ m2－3 m4，即( m＋1)( m－4)0，解得 m4，故实数 m 的取值范(x＋y4)围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B9．设正实数 x， y， z 满足 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0.则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值为xyz 2x 1y 2z( )A．0 B．1C. D．394解析： ＝ ＝ ≤ ＝1，当且仅当 x＝2 y 时等号成立，此时xyz xyx2－ 3xy＋ 4y2 1xy＋ 4yx－ 3 14－ 3z＝2 y2， ＋ － ＝－ ＋ ＝－ 2＋1≤1，当且仅当 y＝1 时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y2 2y (1y－ 1)值为 1.8答案：B10．设等差数列{ an}的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1＝ d＝1，则 的最小值是( )Sn＋ 8anA. B．92 72C．2 ＋ D．2 －212 2 12解析： an＝ a1＋( n－1) d＝ n， Sn＝ ，n 1＋ n2∴ ＝Sn＋ 8an n 1＋ n2 ＋ 8n＝12(n＋ 16n＋ 1)≥12(2n·16n＋ 1)＝ ，92当且仅当 n＝4 时取等号．∴ 的最小值是 ，故选 A.Sn＋ 8an 92答案：A11．已知△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 sin A－sin B＝， b＝ ，则△ ABC 的面积的最大值为( )c sin A－ sin Ca＋ b 3A. B．334 34C. D．332 32解析：根据正弦定理由 sin A－sin B＝ 可得 a－ b＝ ，得c sin A－ sin Ca＋ b c a－ ca＋ ba2－ b2＝ c(a－ c)，即 a2＋ c2－ b2＝ ac，故 ＝ ＝cos B，∵ B∈(0，π)，∴ B＝ .又a2＋ c2－ b22ac 12 π 3由 b＝ ，可得 a2＋ c2＝ ac＋3，故 a2＋ c2＝ ac＋3≥2 ac，即 ac≤3，当且仅当 a＝ c＝ 时3 3取等号，故 ac 的最大值为 3，这时△ ABC 的面积取得最大值，为 ×3×sin ＝ .12 π 3 334答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为94 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元，则y1＝ k1x(k1≠0)， y2＝ (k2≠0)，k2x∵工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元，∴ k1＝5， k2＝20，∴运费与仓储费之和为 万元，(5x＋20x)∵5 x＋ ≥2 ＝20，当且仅当 5x＝ ，20x 5x×20x 20x即 x＝2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元．答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数 x， y 均大于零，且 x＋2 y＝4，则 log2x＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为 log2x＋log 2y＝log 22xy－1≤log 2 2－1＝2－1＝1，当且仅当 x＝2 y＝2，(x＋ 2y2 )即 x＝2， y＝1 时等号成立，所以 log2x＋log 2y 的最大值为 1.答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为 a， b， c，其面积 S＝，这里 p＝ (a＋ b＋ c)．已知在△ ABC 中， BC＝6， AB＝2 AC，p p－ a  p－ b  p－ c12则其面积取最大值时，sin A＝________.解析：已知在△ ABC 中， BC＝6， AB＝2 AC，所以三角形的三边长为a＝6， c＝2 b， p＝ (6＋ b＋2 b)＝3＋ ，其面积12 3b2S＝ p p－ a  p－ b  p－ c＝  3＋ 3b2  3b2－ 3  3b2＋ 3－ b  3＋ 3b2－ 2b＝  3＋ 3b2  3b2－ 3  b2＋ 3  3－ b2＝  9b24－ 9  9－ b24＝ ≤ × ＝12，34 b2－ 4  36－ b2 34 b2－ 4＋ 36－ b22当且仅当 b2－4＝36－ b2，即 b＝2 时取等号，此时 a＝6， b＝2 ， c＝4 ，三角形存在，5 5 510cos A＝ ＝ ，所以 sin A＝ .b2＋ c2－ a22bc 45 35答案：351第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时作业A 组——基础对点练1．(2018·武汉市模拟)若实数 x， y 满足约束条件Error!则 z＝ x－2 y 的最大值是( )A．2 B．1 C．0 D．－4解析：不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 x－2 y＝0，平移该直线，当直线经过点 A(1,0)时， z 取得最大值，此时 zmax＝1，故选 B.答案：B2．已知实数 x， y 满足不等式| x|＋|2 y|≤4，记 Z＝ x＋ y，则 Z 的最小值为( )A．－2 B．－6 C．－4 D．－8解析：| x|＋|2 y|≤4 表示的平面区域为如图所示的四边形 ABCD 内部及其边界，由图可知当直线 y＝－ x＋ Z 经过点 C(－4,0)时， Z 取得最小值，所以 Zmin＝0＋(－4)＝－4.答案：C3．(2018·长沙市模拟)已知变量 x， y 满足Error!则 z＝8 x·2y的最大值是( )A．33 B．32 C．35 D．34解析： z＝8 x·2y＝2 3x＋ y，求 z 的最大值就是求 3x＋ y 的最大值，设 t＝3 x＋ y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 3x＋ y＝0，平移该直线，当直线经过点 B(1,2)时， t 取得最大值， tmax＝3＋2＝5，则 zmax＝2 5＝32.答案：B4．已知实数 x， y 满足Error!则 z＝2| x－2|＋| y|的最小值是( )A．6 B．5 2C．4 D．3解析：画出不等式组Error!表示的可行域，如图阴影部分，其中 A(2,4)， B(1,5)， C(1,3)，∴ x∈[1,2]， y∈[3,5]．∴ z＝2| x－2|＋| y|＝－2 x＋ y＋4，当直线 y＝2 x－4＋ z 过点 A(2,4)时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 有最小值，∴ zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选 C.答案：C5．(2018·兰州实战模拟)已知 M(－4,0)， N(0，－3)， P(x， y)的坐标 x， y 满足Error!，则△ PMN 面积的取值范围是( )A．[12,24] B．[12,25]C．[6,12] D．[6， ]252解析：作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点 M(－4,0)，N(0，－3)的直线的方程为 3x＋4 y＋12＝0，而它与直线 3x＋4 y＝12 平行，其距离 d＝＝ ，所以当 P 点在原点 O 处时，△ PMN 的面积最小， 其面积为△ OMN 的面积，|12＋ 12|32＋ 42 245此时 S△ OMN＝ ×3×4＝6；当 P 点在线段 AB 上时，△ PMN 的面积最大，为12× × ＝12，故选 C.12 32＋ 42 245答案：C6．(2018·太原市模拟)已知 D＝{( x， y)|Error!，给出下列四个命题： p1：∀( x， y)∈ D， x＋ y＋1≥0； p2：∀( x， y)∈ D,2x－ y＋2≤0； p3：∃ (x， y)∈ D， ≤－4； p4：∃( x， y)∈ D， x2＋ y2≤2.其中真命题的是( )y＋ 1x－ 1A． p1， p2 B． p2， p33C． p2， p4 D． p3， p4解析：因为 D＝{( x， y)|Error!}表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以 z1＝ x＋ y 的最小值为－2， z2＝2 x－ y 的最大值为－2， z3＝ 的最小值为－3， z4＝ x2＋ y2的最小值为y＋ 1x－ 12，所以命题 p1为假命题，命题 p2为真命题，命题 p3为假命题，命题 p4为真命题，故选 C.答案：C7．若实数 x， y 满足：| x|≤ y≤1，则 x2＋ y2＋2 x 的最小值为( )A. B．－ 12 12C. D． －122 22解析：作出不等式| x|≤ y≤1 表示的可行域，如图．x2＋ y2＋2 x＝( x＋1) 2＋ y2－1，( x＋1) 2＋ y2表示可行域内的点( x， y)到点(－1,0)距离的平方，由图可知，( x＋1) 2＋ y2的最小值为 2＝ ，所以 x2＋ y2＋2 x 的最小值为 －1＝－ .(22) 12 12 12选 B.答案：B8．(2018·洛阳市统考)已知实数 x， y 满足条件Error!，若 z＝ y－ ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数 a 的取值集合为( )A．{2，－1} B．{ a∈R| a≠2}C．{ a∈R| a≠－1} D．{ a∈R| a≠2 且 a≠－1}解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由 z＝－ ax＋ y 得 y＝ ax＋ z，若a＝0，直线 y＝ ax＋ z＝ z，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若 a0，则直线y＝ ax＋ z 的纵截距最大时， z 取得最大值，若 z＝ y－ ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则 a≠2.若 a－1，显然 a＝0 不符合题意．作出不等式组Error!所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2x＋ y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x＋ y－2＝0 与 ax－ y－ a＝0 的交点时， z 取得最大值，由Error!得Error!，把 Error!代入 2x＋ y＝ 得 a＝1，故选 C.728答案：C4．已知实数 x， y 满足条件Error!若 x2＋2 y2≥ m 恒成立，则实数 m 的最大值为( )A．5 B．43C. D．283解析：设 t＝ y，则 y＝ t，因为实数 x， y 满足条件222Error!且 x2＋2 y2≥ m 恒成立，所以实数 x， t 满足条件Error!且 x2＋ t2≥ m 恒成立，Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点 O 向 AB 作垂线，垂足为 D，则 x2＋ t2的最小值为|OD|2＝ ，所以 m≤ ，所以 m 的最大值为 ，故选 D.83 83 83答案：D5．已知圆 C：( x－ a)2＋( y－ b)2＝1，平面区域 Ω ：Error!若圆心 C∈ Ω ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋ b2的最大值为 ( )A．5 B．29 C．37 D．49解析：平面区域 Ω 为如图所示的阴影部分，因为圆心C(a， b)∈ Ω ，且圆 C 与 x 轴相切，所以点 C 在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y＝1(－2≤ x≤6)，由图形得，当点 C 在点 N(6,1)处时， a2＋ b2取得最大值62＋1 2＝37，故选 C.答案：C6．设变量 x， y 满足 Error!z＝ a2x＋ y(00，作出不等式组所表z2示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线 y＝－3 x＋ 经过点 C 时，直z2线的纵截距最小，即 z＝6 x＋2 y 取得最小值 10，由Error!，解得Error!，将其代入直线11－2 x＋ y＋ c＝0，得 c＝5，即直线方程为－2 x＋ y＋5＝0，平移直线 3x＋ y＝0，当直线经过点 D 时，直线的纵截距最大，此时 z 取最大值，由Error!，得Error!，即 D(3,1)，将点 D的坐标代入直线 z＝6 x＋2 y，得 zmax＝6×3＋2＝20，故选 A.答案：A12．(2018·石家庄质检)已知 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z＝ y－ mx(m0)的最大值为 1，则 m 的值是( )A．－ B．1209C．2 D．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵ m0，∴当 z＝ y－ mx 经过点 A 时， z 取最大值，由Error!，解得Error!即 A(1,2)，∴2－ m＝1，解得 m＝1.故选 B.答案：B13．已知 a0，实数 x， y 满足Error!，若 z＝2 x＋ y 的最小值为 1，则 a＝________.解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线 x＝1， x＋ y＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线 2x＋ y＝1，从图中可以发现，直线2x＋ y＝1 与直线 x＝1 的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y＝ a(x－3)上，代入可得 a＝ .12答案：1214．(2018·石家庄模拟)动点 P(a， b)在区域Error!内运动，则 ω ＝12的取值范围是________．a＋ b－ 3a－ 1解析：画出可行域如图， ω ＝ ＝1＋ ，a＋ b－ 3a－ 1 b－ 2a－ 1设 k＝ ，则 k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以 ω ＝ 的取值范围是(－∞，－1]b－ 2a－ 1 a＋ b－ 3a－ 1∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)15．(2018·云南五市联考)已知实数 x， y 满足不等式组Error!则 z＝ 的最大值是y＋ 1x＋ 1________．解析：不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数 z＝ ＝ 的几何意义是表示平面区域y＋ 1x＋ 1 y－  － 1x－  － 1中的动点 P(x， y)与定点 Q(－1，－1)所在直线的斜率．由图知，当点 P 运动到点 A 时， z 取得最大值．因为 A(0,1)，所以 zmax＝ ＝2.1＋ 10＋ 1答案：216．已知 x， y 满足Error!若 x2＋ y2的最大值为 m，最小值为 n，则 mx＋ ny 的最小值为________．解析：作出不等式组Error!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，即△ ABC 及其内部，其中 A(1,2)， B(2,1)， C(2,3)．令u＝ x2＋ y2，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方．显然在点 C 处 x2＋ y2取得最大值 m，则 m＝2 2＋3 2＝13.而原点到直线 x＋ y－3＝0 的距离 d＝ ＝ ，且|－ 3|12＋ 12 32|OA|＝| OB|＝ ，∴ x2＋ y2的最小值 n＝( )2＝ .故 mx＋ ny＝13 x＋ y，令 z＝13 x＋ y，532 92 92 92可得 y＝－ x＋ z，故当直线 y＝－ x＋ z 经过点 A(1,2)时， z 取得最小值，最小值为269 29 269 29z＝13×1＋ ×2＝22.9213答案：221第四节 推理与证明课时作业A 组——基础对点练1．用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 x3＋ ax＋ b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程 x3＋ ax＋ b＝0 没有实根B．方程 x3＋ ax＋ b＝0 至多有一个实根C．方程 x3＋ ax＋ b＝0 至多有两个实根D．方程 x3＋ ax＋ b＝0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3＋ ax＋ b＝0 没有实根”．答案：A2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数 y＝log ax(a0 且 a≠1)是增函数，而函数是对数函数，所以 是增函数”所得结论错误的原因是( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误解析：因为当 a1 时， y＝log ax 在定义域内单调递增，当 0bc，且 a＋ b＋ c＝0，求证 0 B． a－ c0C．( a－ b)(a－ c)0 D．( a－ b)(a－ c)bc，且 a＋ b＋ c＝0 得 b＝－ a－ c， a0， c0，即证 a(a－ c)＋( a＋ c)(a－ c)0，即证a(a－ c)－ b(a－ c)0，即证( a－ c)(a－ b)0.故求证“ 0.故选 C.答案：C8．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )① y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③ y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：① y＝cos x(x∈R)是三角函数是“小前提” ；②三角函数是周期函数是“大前提” ；③ y＝cos x(x∈R)是周期函数是“结论” ．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选 B.答案：B9．设△ ABC 的三边长分别为 a， b， c，△ ABC 的面积为 S，则△ ABC 的内切圆半径为 r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体 S ABC 的四个面的面积分别为2Sa＋ b＋ cS1， S2， S3， S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为 r＝( )A. B．VS1＋ S2＋ S3＋ S4 2VS1＋ S2＋ S3＋ S4C. D．3VS1＋ S2＋ S3＋ S4 4VS1＋ S2＋ S3＋ S4解析 ：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面体的体积为： V＝(S1＋ S2＋ S3＋ S4)r，所以 r＝ .13 3VS1＋ S2＋ S3＋ S4答案：C10．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，4否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除 C；故选 B.答案：B11．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙B 组——能力提升练1．观察下列算式：2 1＝2,2 2＝4,2 3＝8,2 4＝16,2 5＝32,2 6＝64,2 7＝128,2 8＝256，…，用你所发现的规律得出 22 018的末位数字是( )A．2 B．4C．6 D．8解析：通过观察可知，末位数字的周期为 4,2 018÷4＝504……2，故 22 018的末位数字为4.故选 B.答案：B2．观察下列各式： a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则a10＋ b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199解析：记 an＋ bn＝ f(n)，则 f(3)＝ f(1)＋ f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝ f(2)＋ f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝ f(3)＋ f(4)＝11.通过观察不难发现 f(n)＝ f(n－1)＋ f(n－2)( n∈N *， n≥3)，则 f(6)＝ f(4)＋ f(5)5＝18； f(7)＝ f(5)＋ f(6)＝29； f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝47； f(9)＝ f(7)＋ f(8)＝76； f(10)＝ f(8)＋ f(9)＝123.所以 a10＋ b10＝123.答案：C3．某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳(单位：次) 63 a 75 60 63 72 70a－1 b 65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则( )A．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 1～8 号，所以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 1～8 号里产生．数据排序后可知 3 号，6 号，7 号必定进入 30 秒跳绳决赛，则得分为63， a,60,63， a－1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛．若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以 1 号，5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛．故选 B.答案：B4．(2018·武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” ．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：乙65． “求方程( )x＋( )x＝1 的解”有如下解题思路：设 f(x)＝( )x＋( )x，则 f(x)在 R 上35 45 35 45单调递减，且 f(2)＝1，所以原方程有唯一解 x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋ x2＝( x＋2) 3＋( x＋2)的解集为________．解析：令 f(x)＝ x3＋ x，则 f(x)是奇函数，且为增函数，由方程 x6＋ x2＝( x＋2) 3＋ x＋2得 f(x2)＝ f(x＋2)，故 x2＝ x＋2，解得 x＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}．答案：{－1,2}6．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋ n＝ n(n＋1)；121＋3＋6＋…＋ n(n＋1)＝ n(n＋1)( n＋2)；12 161＋4＋10＋…＋ n(n＋1)( n＋2)＝ n(n＋1)( n＋2)·( n＋3)；16 124……可以推测，1＋5＋15＋…＋ n(n＋1)( n＋2)( n＋3)＝________.124解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为 n(n＋1)( n＋2)( n＋3)15×4×3×2×1(n＋4)＝ n(n＋1)( n＋2)( n＋3)( n＋4)．1120答案： n(n＋1)( n＋2)( n＋3)( n＋4)11207．已知数列{ bn}满足 3(n＋1) bn＝ nbn＋1 ，且 b1＝3.(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)已知 ＝ ，求证： ≤ ＋ ＋…＋ 1.anbn n＋ 12n＋ 3 56 1a1 1a2 1an解析：(1)因为 3(n＋1) bn＝ nbn＋1 ，所以 ＝ .bn＋ 1bn 3 n＋ 1n因此， ＝3× ， ＝3× ， ＝3× ，…， ＝3× ，b2b1 21 b3b2 32 b4b3 43 bnbn－ 1 nn－ 1上面式子累乘可得 ＝3 n－1 ×n，bnb1因为 b1＝3，所以 bn＝ n·3n.(2)证明：因为 ＝ ，所以 an＝ ·3n.anbn n＋ 12n＋ 3 n n＋ 12n＋ 3因为 ＝ · ＝ · ＝( － ) ＝ · － · ，所以1an 2n＋ 3n n＋ 1 13n 3 n＋ 1 － nn n＋ 1 13n 3n 1n＋ 113n 1n 13n－ 1 1n＋ 1 13n7＋ ＋…＋ ＝(1· － · )＋( · － · )＋…＋( · － · )＝1－1a1 1a2 1an 130 12 131 12 131 13 132 1n 13n－ 1 1n＋ 1 13n· .1n＋ 1 13n因为 n∈N *，所以 0 · ≤ ，所以 ≤1－ · 1，1n＋ 1 13n 16 56 1n＋ 1 13n所以 ≤ ＋ ＋…＋ 1.56 1a1 1a2 1an