1、- 1 -安徽省淮北市第一中学 2017 届高三最后一卷数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 满足 ，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知 ， ， ，故选 B2. 已知集合 ， ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知 ， ，所以，故选 A3. 从长度分别为 ， ， ， ， 的 5 条线段中，任意取出 3 条，3 条线段能构成三角形的概率是（ ）A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D
2、. 0.5【答案】B【解析】任取三条可有 10 种取法，其中只有 3,5,7；3,7,9；5,7,9 三种可构成三角形，因此概率为 故选 B4. 设 都是非零向量，下列四个条件，使 成立的充要条件是（ ）A. B. C. 且 D. 且方向相同【答案】D【解析】 表示 方向的单位向量，因此 的条件是 与 同向即可，故选 D- 2 -5. 函数 的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B6. 已知 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，则 ， ，所以 ， ，故选 B点睛：应用两角和与差的三角函数公式时，要注意“单角”和“复角”相互转化，注意角的一般变化规律，如
3、， 等等角的变换7. 已知抛物线 ，过点 作抛物线的两条切线 ， 为切点，若直线 经过抛物线 的焦点， 的面积为 ，则以直线 为准线的抛物线标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 3 -【解析】由抛物线的对称性知 ， ，则 ，解得，直线 方程为 ，所以所求抛物线标准方程为 ，故选 D8. 九章算术是我国古代数学名著，汇集古人智慧，其中的“更相减损术”更是有着深刻的应用。如图所示程序框图的算法思想即来源于此，若输入的 ，输出的 ，则输入的 可能为（ ）A. 288 B. 294 C. 378 D. 399【答案】D【解析】由题意 21 是 2016 和 的最大公约数，即 应为 21
4、 的倍数，288 不是 21 的整数倍，其他三个都是 21 的整数倍，但 2016 是偶数，只有 399 符合条件，故选 D点睛：解决这类算法的问题，关键是理解算法的数学功能， “更相减损术”实际上就是求两个整数的最大公约数，因此从最大公约数概念出发，题中解易得9. 有以下四种变换方式：向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度；每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度；其中能将 的图象变换成函数 的图象的是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】B图象上所有点向右平移
5、个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的可得- 4 -图象上每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度可得图象上每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度可得分别求出解析式，判断正确选项即可考点：函数 的图象变换10. 已知二次函数 有两个零点 ，且 ，则直线 的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 0，在坐标系作出点 表示的平面区域，如图内部（不含边界） ，已知直线的斜率为 ，表示点 与点 连线的斜率， ， ， ，所以斜率 的范围是 故选 A11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）- 5
6、-A. B. C. D. 【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为 的等腰直角三角形，高为 4 的柱体，如图，其全面积，应选答案 B。12. 已知 ，又 若方程 有 4 个不同的根，则 t 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 时， ， ，由此可得 ， ，递增， 时， ， 递减， ，因此在 时，当 时，易知 是增函数，且 ， ，由 得- 6 -，设 ， 显然不是此方程的解，因此有 4 个不同的实根，则 有两个不等实根，其中 ，所以，解得 故选 C点睛：方程根的问题通项与函数的零点，函数图象的交点相互转化，因此数形结合思想
7、可以帮助我们得出解题思路和解题方法研究函数的性质，得出函数的大致图象是解这类问题的基础本题利用导数研究函数 的单调性、极值，得出函数图象，再结合二次方程的根的情况可易得第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_【答案】(-1,1)【解析】由题意 ，解得 ，即定义域为 14. 在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_【答案】1792【解析】 中含 的项为 ，令 得 的系数为15. 在 中， 分别为角 的对边，若函数有极值点，则 的范围是_【答案】【解析】由题意 有两个不等实根，所以， ，所以 ，所以点
8、睛：对定义域内的可导函数来讲，导函数 的零点是函数极值点的必要条件，只有在的两侧 的符号正好相反， 都是极值点本题中导函数 是二次函数，因此要使得- 7 -的零点为 的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可16. 若数列 满足 （ ， 为常数） ，则称数列 为“调和数列” ，已知正项数列 为“调和数列” ，且 ，则 的最大值是_【答案】100【解析】因为数列 是“调和数列” ，所以 ，即数列 是等差数列，所以 ， ，所以 ，当且仅当 时等号成立，因此 的最大值为 100点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列” ，得数列 是等差数列，从而
9、利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数 .（1）若 ，求 的最大值及相应的 的取值范围；（2）若 是 的一个零点，且 ，求 的值和 的最小正周期.【答案】 （1） 的最大值为 ，相应 x 的取值集合为 ；（2）最小正周期是 .【解析】试题分析：利用诱导公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式 （1） ，利用正弦函数的最大值可得 的最大值；（2）题意说明 ，从而 ， ，由 可得结论试
10、题解析：- 8 -（1）当 时，所以 的最大值为 ，相应 x 的取值集合为（2）因为整理得又所以最小正周期是 .18. 天然气是较为安全的燃气之一，它不含一氧化碳，也比空气轻，一旦泄露，立即会向上扩散，不易积累形成爆炸性气体，安全性较高，其优点有：绿色环保；经济实惠；安全可靠；改善生活. 某市政府为了节约居民天然气，计划在本市试行居民天然气定额管理，即确定一个居民年用气量的标准，为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用气量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了 位居民某年的用气量（单位：立方米） ，样本统计结果如下图表.（1）分布求出 的值；（2）若从样本中年均用气量在 （单位：
11、立方米）的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查研究，求年均用气量最多的居民被选中的概率（5 位居民的年均用气量均不相等）.【答案】 （1） ； ； ；（2）.【解析】试题分析：（1）从频率分布直方图中可得 的频率，利用频率的定义可得频率分布表中各空格的值，从而可得 ；（2）可把 5 人编号，如编为 （其中 是用电量最多的居民） ，可用列举法写出任选2 人的组合，并得出含 的选法，从而得出概率试题解析：- 9 -（1）用气量在 内的频数是 50，频率是 ，则 .用气量在 内的频数是 ，则 .用气量在 内的频率是 ，则 .（2）设 代表用气量从多到少的 5 位居民，从中任选 2 位，总的基本事
12、件为， 共 10 个；包含 的有 共 4 个，所以.19. 如图（1） ，五边形 中， .如图（2） ，将 沿 折到 的位置，得到四棱锥 .点 为线段 的中点，且 平面 （1）求证：平面 平面 ；（2）若直线 与 所成角的正切值为，设 ，求四棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知 平面 ，由于 是 的中点，只要取 的中点 ，可证 ，从而得 平面 ，因此就得到面面垂直；（2）由（1）的垂直可证 是等边三角形，因此有 ，再得 ，于是有 平面 ，可得 ，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积试题解析：（1）
13、证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ，所以 ，则四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ，- 10 - 平面 ，平面 平面 PCD；（2）取 的中点 ，连接 ，因为 平面 ， .由 即 及 为 的中点，可得 为等边三角形， ，又 ， ， ， 平面 平面 ，平面 平面 .所以所以 .， 为直线 与 所成的角，由（1）可得 ， ， ，由 ，可知 ，则 .其他方法酌情给分20. 在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，直线被椭圆 截得的线段长为 .（）求椭圆 的方程；（）过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点（ ， 不是椭圆 的顶点） ，点 在椭圆 上，且.直线 与 轴、 轴分别交于 两点.设直
14、线 的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值.- 11 -【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（）由离心率 可得 ，由对称性直线 被椭圆截得弦长为 可求得 点坐标为 ，代入椭圆方程可求得 得椭圆标准方程；（）直线与椭圆相交，设 ， ，有 ，由直线垂直得直线的斜率为 .为了简便设直线 的方程为 ，代入椭圆方程消元得 的一元二次方程可得 ，于是有 ，而 ，于是写出直线 方程，求出 点坐标，可得 ，比较可得 试题解析：（） ， ， ， .设直线 与椭圆 交于 ， 两点，不妨设点 为第一象限内的交点. ， 代入椭圆方程可得 .由知 ， ，所以椭圆的方程为： .（）设 ，则 ，直线
15、 的斜率为 ，又 ，故直线 的斜率为 .设直线 的方程为 ，由题知 ， 联立 ，得 .- 12 - ， ，由题意知 ， ，直线 的方程为 .令 ，得 ，即 ，可得 ， ，即 .因此存在常数 使得结论成立.点睛：解析几何中直线与圆锥曲线相交问题，往往采用“设而不求”的思想求解，即设交点坐标 ，设出直线方程并与圆锥曲线方程联立方程组，消元后可得，再表示出题中要证（或求）的几何量，并把 代入化简变形，注意要按部就班地计算题中的几何量（如求出直线方程，求出交点坐标，得出直线斜率等） 21. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .（1）求实数 的值；（2）若 ， ， ，试判断 两者是否有确定的大小关系
16、，并说明理由.【答案】 （1）m=1.n=0；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数 ，切线方程为 ，它就是 ，比较后可求得；（2）作差 ，为了证明这个差大于 0，引入函数 ，求导数 ，为了确定它的正负，再进一步求导 ，由 的正负确定 的单调性，确定出正负，从而得出的单调性，得出要证的结论试题解析：（1）m=1.n=0.（2）判断 AB.- 13 -设函数 则 当 时， .又又 ，所以 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 ,直线的极坐标方程分别是
17、 ， .（1）求 与的交点的极坐标； （2）设 为 的圆心， 为 与的交点连线的中点，已知直线 的参数方程为（为参数） ，求 的值.【答案】 （1） 与 交点的极坐标为 ， ；（2） ， .【解析】试题分析：（1）联立方程组求出交点坐标，由公式 及点 所在象限可求得极径 和极角 ，得极坐标；（2）由（1）得 两点的直角坐标，得直线方程，把参数方程也化为普通方程，比较可求得 试题解析：（1）圆 的直角坐标方程为 ，直线 直角坐标方程为 .解 ，得 ，所以 与 交点的极坐标为 ， .- 14 -（2）由（1）可得， 点与 点的直角坐标分别为 ， ，故直线 的直角坐标方程为 ，由参数方程可得 ，所以 ，解得： ， .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（）当 时，求不等式即 ，再利用对值的意义求得它的解集（）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论试题解析: （） 当 时， ，原不等式等价于解得不等式的解集为（），当且仅当 时等号成立。考点：1.绝对值三角不等式；2.基本不等式
