1、- 1 -福建省晋江市永春县第一中学 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分第 I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.1设集合 ，集合 ，则 等于（ ）|03Mx2|0NxMNA. B. C. D. |1|0|1x|02x2. 抛物线 的焦点坐标为（ ）24yxA. B. C. D.(,0)(,)1(,)6(0,)163. 已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若
2、 ，则 px2xqx则下列命题为真命题的是（ ）A B C Dqqppq4. 命题“若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）1x2A0 B1 C2 D35. “双曲线的方 程为 ”是“双 曲线的渐近线方程为 ”的（ ）196y43yxA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知 的内角 所对的边分别为 .若 ， ， ，则,AC,abc23b0A等于（ ）BA B C 或 D 或 306030156017若 满足 ，则 的最大值为（ ）x,y2xy03x02xyA. 0 B. 3 C. 4 D. 5- 2 -8空间四边形 中，点 在 上
3、，且 ，点 为 的中点若OABCMOA12MANBC， ， ，则 等于（ ）abcNA B C D132132abc12abcabc9. 已知 分别为双曲线 的左，右焦点，点 在双曲线上若 ，12,F21xyP1260FP则 的面积为（ ）PA B C D323322310. 若 为两个不相等的非零实数，则方程 与 所表示的曲线可,mn 0mxyn1xyn能是（ ）11. 已知 分别为椭圆 的左，右焦点若 为椭圆上的一点，且12,F2156xyM的内切圆的周长等于 ，则满足条件的点 的个数为（ ）12M3A0 B1 C2 D4 12在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发
4、长安至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增十三里； 驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 问：几日相逢？（ ）A8 日 B9 日 C12 日 D16 日第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，13. 双曲线 的离心率为_ 2169xy14图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 m，l2- 3 -水面宽 m水位上升 m 后，水面宽_ m4115在平行六面体 中， ， ， ，1ABCD4AB3D14A， ，则 的长等于 90 601C16设 的内角 、 、 所对的边 、 、 成等比数列，则 的取 值范围为abcba_三、解答题：解答
5、应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知等差数列 的首项 ，公差 ，且 成等比数列na120d139,a（）求数列 的通项公式；（） ，求数列 的的前 项和为 2nbnbnT18 （本小题满分 12 分）如图，在正方体 中， 分别是 的中点1ABCD,EF1,CB（）求 与 所成角的余弦值；1F（）求证： 平面 ./1 FEC1D1B1A1D CBA- 4 -19 （本小题满分 12 分）已知动圆 过定点 且与定直线 ： 相切，动圆圆心 的轨迹为曲线 C(1,0)Fl1xCE（）求曲线 的方程；E（）过点 作倾斜角为 的直线 ，交曲线 于 两点，求 的面积6mE,A
6、BOB20 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ，PABCDABPADBC， ， 2AB（）求证： ；（）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.4521 （本小题满分 12 分）D CBAP- 5 -已知过点 的直线 与椭圆 交于不同的 两点，点 是 的中(2,0)Dl21xy,ABMAB点. （）若四边形 是平行四边形，求点 的轨迹方程；OAPBP（）求 的取值范围. |M22 （本小题满分 10 分）已知函数 ()|1|fx（）解不等式 ；(3)5fx（） ， ， ，求证： |1a|b0a()|()bfaf永春一中高二数学（理）期末试卷 参考答案1
7、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D C C A D C B B B C B13. 14 15 16 532692,5)17解：（）因为 成等比数列，所以 ，即 ，13,a319a2()(8)dd， ， ，20dd2- 6 -，数列 的通项公式为 2(1)2nannana（）由（）得 ，则 ，na12nb， ，12213n nT 2312nnT所以 ，1231n n121()2n nT 1()2n 124n18解：不妨设正方体的棱长为 1，以 为单位正交基底建立空间直角坐标系1,DAC，如图所示则 ， ， ， ，Dxyz(,0)A()(0,)(,)2E. 1(,)2F（）解
8、： ， ， ，1(,0)2F1(,0)D15|2AF，1|2AD.1()2所以 .11110cos,|52AFD因此， 与 所成角的余弦值是 .1AF10（）证明：方法一：取 的中点 ，连接 ，则 ， .1DME1(,0)21(,0)2ME所以 ，即 ，1E/又 平面 ， 平面 ，因此 平面 .AF11A1F/1AD方法二： ， ， ，1(,0)2(,0)(,)2E，即 与 ， 共面，又 平面 ，因此11DE1F1D11EFEM C1D1 B1A1 D CBAzyx- 7 -平面 .1AF/1DE方法三： ， ，(,0)1(0,)2E设 是平面 的一个法向量，则 ， ，(,)nxyzA1nAD
9、1E， ，令 ，得 ， ， .10ADE02z2xy(2,)又 ，1(,)F故 ，所以 .112,()20nA1nAF又 平面 ，因此 平面 .1DE1AF/1DE19解：（）依题意知，点 到定点 和直线 的距离相等，Cl所以点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，C设抛物线的方程为 （ ） ，由 ，得 ，2ypx012p2故曲线 的方程为 E4（）直线 的方程为 ，m3(1)yx由 消去 整理得 ，23(1)4yx24310y设 ， ，则 ， ，1(,)A2(,)By12124y12|OBSF1212()6413所以， 的面积为 4320 （）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接
10、，由 ，得ADBCOE,PAPD，PA因为侧面 底面 ，侧面 底面A， 平面 ，BCDPO所以 底面 .在矩形 中，则 两两互相垂直.E,E以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、,APxy zyxEOD CBAPBAClO Fyx- 8 -轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示z Oxyz则 ， ， ，(1,0)A(,20)B(1,20)C设 （ ） ，Pt所以 ， ，(,)(,)PBt所以 ，120因此 ，得 BAC（）解法一： ， ， (,0)D(0,)(1,)Dt设 是平面 的一个法向量，则 ， ，mxyzPmCDP， ，令 ，得 ， ， 02txt0yz(,01)t又 ，(,)A
11、Ccos,m|A2|16Cmt因为 与平面 所成的角为 ，所以 ，PD45sin45|cos,|ACm， ， ，22|16t3t(0,)P(0,)B，(,3)PB设 是平面 的一个法向量，则 ， ，11,nxyzAB1nA1PB， ，令 ，得 ， ，10A11230yz3x0yz(3,)n， ，,BC(,)PB设 是平面 的一个法向量，则 ， ，22xyzA2nBC2P， ，令 ，得 ， ，20n2230yz3y0xz(,3)所以 1212cos,|n15因此，二面角 的余弦值为 . APBC0解法二：作 ，垂足为 ，连接 ，如图所示FDF- 9 -设 ，则 ，(,0)Fxz(1,0)Axz，
12、,2DC(,2)(20Az ，即 ， FDC又 ，所以 平面 ，PAFP为 在平面 上的射影，C故 是 与平面 所成的角，A，45由 ，得 ，|6|3在 中， ，则 ， ，RtDF21DF60A 为等边三角形，因此 PA(0,)P作 ，垂足为 ，连接 .GBCG在 中， ， ， ， ，Rt623A613DGP故 ， ， ， ，23(,)(1,0)(1,0)BC52(,)，PB1,，GC523()3， ，故 为二面角 的平面角，PBAGCPBCGA，12(,)3.cosA10cs,|因此，二面角 的余弦值为 .PBC1021 解法一：（）设直线 的方程为 ， l(2)ykx由 消去 整理得 ，2
13、()1ykxy2()80， ，22(8)4()80kk21k设 ， ，则 ， ，1,Axy2,B1228x218kxGFzyx EOD CBAP- 10 -，12y12()()kx12()4kxk21四边形 是平行四边形，OAPB，设 ，则 ， ，(,)xy12x12y，消去 整理得22841ky，由 ，得20xx21k，故点 的轨迹方程为 （ ）.P240yx2x（）不妨设 ，1x.2211()xx228()1kk设 ，,My.1|2xAD21214xx2228()41kk24k由 ，得 ，即 的取值范围为 .20k|02AMD|A(0,解法二：（）设 ， ， ，则 ，(,)Pxy1(,)2
14、(,)Bxy,)2xyM， ，212xy22110， ， .12xABk1212yxxxyy2DMykx由 四点共线，得 ， ， .,DMABDMk2xy240yxxy PMBA OD- 11 -又 在椭圆 内，(,)2xyM21xy， ， ， .2()1208x048x20x故点 的轨迹方程为 （ ）.P2y（）同解法一22解：（）不等式 可化为 ()3)5fx|1|2|5x当 时， ， 解得 ，所以 ；2x123x当 时， ，所以 ；()x21当 时， ，解得 ，所以 1x5xx综上，不等式的解集为 3,2（） ， ，()|1|fab|()|1|bafab因为 ， ，|所以22|22()1()abab，()1ab2)0，|故 ()|()fabf
