1、1第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量 2,45a， )3(xy ， ，b分别是直线 1l、 2的方向向量，若 12l ，则（ ）A 6x ， 1y B 6 ， 152 C 3x ， 5y D 3x ， 5y2若 ,， 4,23， ,94，则 AB 的形状是（ ）A锐角三角形
3、B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3如图，空间四边形 CA中， a， b， Cc，点 在 A上， 23，点为 中点，则 等于（ ）A 123abcB 213abcC 12abcD 213abc4在空间直角坐标系 Oxyz中，点 ,A关于 xOy平面对称的点的坐标为（ ）A 1,2B 2,1C ,1D 2,15已知空间上的两点 ， ， ， 03， ， ，以 B为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（ ）A3 B 23C9 D 36把边长为 2 的正方形 ACD沿对角线 B折起，使得平面 AB平面 C，则异面直线 AD，BC所成的角为（ ）A 10B 30C 90D 607如图所示，在正
4、方体 1A中，已知 M， N分别是 B和 A的中点，则 1BM与 DN所成角的余弦值为（ ）A 301B 3015C 30D 158设 2， ，a是直线 l的方向向量， 12， ，n是平面 a的法向量，则（ ）A lB a C l或 lD la 或 l9在正方体 1CDA中，直线 1B与平面 1A所成角的余弦值为（ ）A 24B 23C 3D 3210在正四棱锥 S中， O为顶点 S在底面的射影， P为侧棱 S的中点，且 SOD，则直线 C与平面 PA所成的角是（ ）A 75B 60C 45D 3011如图，四棱锥 中， 平面 BD，底面 A为直角梯形， ABC ，B， 3AP，点 E在棱 P
5、A上，且 2E，则平面 E与平面 D的夹角的余弦值为（ ）A 23B 6C 3D 6312如图，已知正方体 ACDEFGR的上底面中心为 H，点 O为 A上的动点， P为 FG的三等分点（靠近点 F） ， Q为 的中点，分别记二面角 PQR， ， ROQ的平面2角为 ， ， ，则（ ）A B C D 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13设平面 的法向量为 12， ， ，平面 的法向量为 24， ， ，若 ，则 的值为_14已知 1,2A， ,B，点 P在 z轴上，且 PAB，则点 P的坐标为_15如图，直三棱柱 1CA的所有棱长都是 2，以
6、为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点 1B的坐标是_16正四棱锥 SABCD的八条棱长都相等， SB的中点是 E，则异面直线 AE， SD所成角的余弦为_三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）如图， PD垂直正方形 ABCD所在平面， 2AB ， E是 P的中点，,3cosAE（1）建立适当的空间坐标系，求出 E的坐标；（2）在平面 P内求一点 F，使 平面 PCB18 （12 分）如图，已知三棱锥 OABC的侧棱 ， OB， C两两垂直，且 1OA，2OBC， E是 的中点（1）求异面直线 B与 所成角的余弦值；（2）求直线 和
7、平面 A的所成角的正弦值319 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是边长为 23的菱形， 60BAD，PD平面 ABC， 23， E是棱 上的一个点， DE， F为 PC的中点（1）证明： F 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形，PAB， C， /Q， 2， 32QP（1）求直线 D与平面 所成角的正弦值；（2）求二面角 PB的余弦值421 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD的底面为直角梯形， ADBC ， 90，且 2ADBC， （1）求证：平面 A平面 ；（2）设 45P，求二面角 BP的余弦
8、值22 （12 分）如图，四棱锥 PABCD中，底面 AB为平行四边形， PA面 BCD， M是棱PD的中点，且 2AB， 2（1）求证： C面 ；（2）求二面角 M的大小；（3）若 N是 AB上一点，且直线 CN与平面 MAB成角的正弦值为 105，求 ANB的值单元训练金卷高三数学卷答案（A）第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】B【解析】由题意可得： 2453xy ，解得： 6x， 152y故选 B2 【答案】C【解析】因为 ,4
9、2AB、 5,73AC、 ,1BC，所以 0可知角 为钝角，故 的形状是钝角三角形选 C3 【答案】B【解析】由题意 1132MNABOAB2123OACC；又 a， b， c， 132Nabc故选 B4 【答案】C【解析】关于 xOy平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点 2,1A关于 平面对称的点的坐标为 2,1，选 C5 【答案】D【解析】 ， ， ， 203B， ， ， 22203AB，设正方体的棱长为 a，由题意可得 a，解得 3，正方体的体积为 3，故选 D6 【答案】D【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 02A， ， ， 0B， ， ，
10、 20C， ， ， 20D， ， ，故 D， ， ， ， ， ，则 2C， ， 2，所以 1cosAB， ，故选 D7 【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为 a则 0D， ， ， 102a， ， ， 12Ba， ， ， 0M， ， ， N， ， ，故 1N， ， ， ， ， ，所以 5a， 16Ma， 213NDa，则2130cosDB，应选答案 A8 【答案】D【解析】因为 31210an，所以 an，即 la 或 l故选 D9 【答案】C【解析】分别以 DA， C， 1为 x， y， z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，可得 0,D， 1,0B， 1,C，
11、1,0A， 1,0BC， ,A， ,，设 ,xyzn是平面 1B的一个法向量 10DBn，即 0xzy取 1，得 ，平面 1A的一个法向量为 ,1，设直线 BC与平面 1D所成角为 ， 126sinco, 3Bn， 231si，即直线 1C与平面 1ABD所成角的余弦值是 3故选 C10 【答案】D【解析】如图所示，以 O为原点建立空间直角坐标系 Oxyz设 ODSABOCa，则 0a（ ， ， ） ， 0（ ， ， ） ， 0（ ， ， ） ， 2aP， ， ， 2,0CAa， ,2aPA，设平面 PAC 的法向量为 ,xyzn，则xyz可求得 ,1n，则 1cos ,2BC， ,60B，直
12、线 与平面 PA所成的角为 930故选 D11 【答案】B【解析】以 B 为坐标原点，分别以 BC、 BA、 BP 所在直线为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 0,B， ,30A， ,3P， ,0D， ,21E， 0,21E， 3,D，设平面 BED 的一个法向量为 ,xyzn，则 203Byzxn，取 1，得 1,2，平面 ABE 的法向量为 ,0m， 6,12cosnm平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为 6故选 B12 【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 考虑点 与点 A 重合时的情况 设正方体的棱长为 1，则 03P， ， ， 1Q02， ， ， R1
13、， ， ， O01， ， 设平面 的一个法向量为 1xyz， ，n，由1002132OQxyzxyP， ， ， ， ， ， ，n，得32xyz，令 ，得 12,3n同理可得平面 OPR和平面 Q的法向量分别为 23， ，n， 637， ，n结合图形可得： 135cos74，n， 21cos4， ，12cos7，n， cos，又 0， ,， 故选 D二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 【解析】设平面 的法向量 12， ，m，平面 的法向量 24， ，n，因为 ，所以 n，所以存在实数 k，使得 km，所以有124k，解得 4，故答案
14、为 414 【答案】 03， ，【解析】设 ()Pz， ， ，由 APB，得 22144zz，解得 3z，故点 的坐标为 03， ， 15 【答案】 ,12【解析】 sin3x， cos13y， 2z ，即顶点 1B的坐标是 3,1216 【答案】【解析】以正方形 ABCD的中心 O为原点，平行于 A的直线为 x轴，平行于 AD的直线为 y轴，SO为 z轴建立如图所示空间直角坐标系 xyz，设四棱锥 SABCD棱长为 2，则 1,0A， 1,0B， ,2S， 1,0D，12,E，所以 3,E， ,2SD，132cos,94ASD故异面直线 E， 所成角的余弦值为 3三、解答题（本大题有 6 小
15、题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1） （ ， ， ）；（2）点 F的坐标是 10（ ， ， ） ，即点 F是 AD的中点【解析】 （1）分别以 DA、 C、 P所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间坐标系，如图，则20A（ ， ， ）， 0B（ ， ， ） ， （ ， ， ） ，设 2PDm， 0（ ， ， ） ，则 1Em（ ， ， ） ， 1AEm（ ， ， ） ， 02DP（ ， ，=） 2, 3cos1AE，解得 点 坐标是 1（ ， ， ）；（2） F平面 P，可设 0Fxz（ ， ， ） ， 1Exz=（ ， ， ） ，又 平面 CB
16、， 102 ， ， -， ， ，解得 1x；又 E 102x， ， z， ， z，点 F的坐标是 0（ ， ， ） ，即点 F是 AD的中点18 【答案】 （1） 25；（2） 3【解析】 （1）以 O为原点， B、 OC、 分别为 X、 Y、 Z轴建立空间直角坐标系则有 01A（ ， ， ） 、 20B（ ， ， ） 、 2C（ ， ， ） 、 01E（ ， ， ） E=（ ， ， ） ， =（ ， ， ） ， 2cos5BAC,，所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 5（2）设平面 ABC 的法向量为 1xyz， ，n，则 1ABn知 120xz， AC知 120yzn取 1,2n
17、，则 si3E,，故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为 319 【答案】 （1）见解析；（2） 26【解析】 （1）证明：连接 BD，设 ACO，取 PE的中点 G，连接 B， OE， FG，在 BDC 中，因为 O， E分别为 ， G的中点，所以 ，又 G平面 A，所以 平面 ，同理，在 P 中， FG ， 平面 AE，因为 BF平面 E，所以 B 平面 C（2）以 O为坐标原点，分别以 OB， C所在的直线为 x， y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz，在等边三角形 ABD中，因为 23，所以 3A， OB，因此 0,3， 0,C， ,0E， ,02P， 3,2F，且 23,E
18、C， 0,3OC， 39,2AF，设平面 A的一个法向量为 ,xyzn，则23003ECxOyn，取 2，得 ,03n，直线 AF与平面 所成的角为 ，则 26sin38149AF 20 【答案】 （1） 5；（2 ） 75【解析】 PAB， C， PA底面 BCD，又底面 AB为矩形，分别以 ， D， 为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 0,， 2,0， ,10， ,2， ,13Q ,AP， ,BP， ,， 0,2PD（1）设平面 Q的一个法向量 11,xyzn，则 11020 xzyPn，令 1，得 1,3n， D与平面 BQ所成角的正弦值 15sin1PD（2）设
19、平面 APQ的一个法向量 ，22,nxyz则 22200APzxyQn令 21x，得 21,0n， 121275cos,n，二面角 APQB的余弦值为 7521 【答案】 （1）见解析；（2） 63【解析】 （1）证明：如图，取 AD， B的中点 O， G，连接 ， O， G， P，则四边形 OBCD为正方形， OAB， GA又 P， ，又 平面 PO，又 平面 ， AB PAD， 又 B， P平面 CD又 O平面 ，平面 A平面 B（2）解：由（1）知 B， O， P，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 45PAD， OAD， POABD令 1B，则 0,1， ,0， 1,0
20、C， ,1， ,0， ,， ,设平面 PD的一个法向量为 11,xyzn，由 1Bn，得 110z，取 1，得 1,n又设平面 PCD的法向量为 22,xyzn，由 2 n得 220z，取 21，得 20,1n， 112216cos, 3n，由图形得二面角 BPDC为锐角，二面角 BPDC的余弦值为 6322 【答案】 （1）见解析；（2） 4；（3） 1AN【解析】证明：（1）连结 A因为在 中，2ABC， 2，所以 22BCA，所以 ABC因为 D ，所以 A又因为 P地面 ，所以 PD因为 P，所以 D平面 PAC（2）如图建立空间直角坐标系，则 0,A， ,02P， ,0B， .2C， ,20D因为 M是棱 PD的中点，所以 1,M所以 1,A， 2,0B 设 ,xyzn为平面 MA的法向量，所以 0n，即 xyz，令 1，则01z，所以平面 MAB的法向量 0,1n=因为 PA平面 BCD，所以 0,2P是平面 C的一个法向量所以 2cosAPn,因为二面角 MABC为锐二面角，所以二面角 MBC的大小为 4（3）因为 N是棱 A上一点，所以设 ,0Nx， ,20x设直线 CN与平面 MAB所成角为 ，因为平面 的法向量 0,1n，所以 210sinco254CAx解得 1x，即 N， 1B，所以 N
