1、1第 4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律的内容、公式定律 内容 图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 k， k是一个与行星无a3T2关的常量自测 1 (2016全国卷14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，
2、找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律.二、万有引力定律1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r的二次方成反比.2.表达式F G ， G为引力常量， G6.6710 11 Nm2/kg2.m1m2r23.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.2(2)质量分布均匀的球
3、体可视为质点， r是两球心间的距离.4.天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.(2)基本公式：G maError!Mmr2自测 2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前， “天宫一号”的运行轨道高度为 350km， “神舟八号”的运行轨道高度为 343km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案 B解析 航 天 器 在 围 绕 地 球 做 匀 速 圆 周 运 动 的 过 程 中 由 万 有 引
4、 力 提 供 向 心 力 ， 根 据 万 有 引 力 定律 和 匀 速 圆 周 运 动 知 识 得 G m mr 2 mr 2 ma， 解 得 v ， T ， Mmr2 v2r (2 T ) GMr 4 2r3GM， a ， 而 “天 宫 一 号 ”的 轨 道 半 径 比 “神 舟 八 号 ”的 轨 道 半 径 大 ， 可 知 选 项 B正 确 .GMr3 GMr2三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度.
5、(4)第一宇宙速度的计算方法.由 G m 得 v ；MmR2 v2R GMR由 mg m 得 v .v2R gR2.第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2km/s.3.第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7km/s.自测 3 教材 P48第 3题 金星的半径是地球的 0.95倍，质量为地球的 0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？答案 8.9 m/s 2 7.3 km/s3解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知 mgGMmR2故 ( )2g金g地 M金M地 R地R金金星表面的自由落体加速
6、度 g 金 g 地 0.82( )2m/s28.9 m/s 210.95由万有引力充当向心力知 得 vGMmR2 mv2R GMR所以 0.93v金v地 M金M地 R地R金 0.8210.95v 金 0.937.9km/s7.3 km/s.命题点一 开普勒三定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3.开普勒第三定律 k中， k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k值不同.但a3T2该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.例 1 (多选)(2017全国卷19)如图 1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P为近日点
7、，Q为远日点， M、 N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P经过 M、 Q到 N的运动过程中( )图 1A.从 P到 M所用的时间等于T04B.从 Q到 N阶段，机械能逐渐变大C.从 P到 Q阶段，速率逐渐变小D.从 M到 N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从 P经 M到 Q点的时间为 T0，根据开普勒第二定律可124知，从 P到 M运动的速率大于从 M到 Q运动的速率，可知从 P到 M所用的时间小于 T0，14选项 A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B错误；根据
8、开普勒第二定律可知，从 P到 Q阶段，速率逐渐变小，选项 C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从 M到 N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 D正确.变式 1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误
9、.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D 错误.变式 2 (多选)如图 2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫 、 T 月 ，地球自转周期为 T 地 ，则( )图 2A.T 卫 T 月 C.T 卫 r 同 r 卫 ，由开普勒第三定律 k，可知， T 月 T 同 T 卫 ，又同步卫星的周期 T 同r3T2 T 地 ，故有 T 月 T 地 T 卫 ，选项 A、C 正确.变式
10、3 如图 3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动， A、 B是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是( )图 3A.卫星在 A点的角速度大于 B点的角速度5B.卫星在 A点的加速度小于 B点的加速度C.卫星由 A运动到 B过程中动能减小，势能增加D.卫星由 A运动到 B过程中引力做正功，机械能增大答案 B解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由 知，卫星在 A点的角速度小于 B点的角速度，选项 At错误；设卫星的质量为 m，地球的质量为 M，卫星的轨道半径为 r，由万有引力定律得G ma，解得 a ，由此可知， r越大，加速度
11、越小，故卫星在 A点的加速度小于 B点mMr2 GMr2的加速度，选项 B正确；卫星由 A运动到 B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项 C错误；卫星由 A运动到 B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项 D错误.命题点二 万有引力定律的理解1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F 向 .(1)在赤道上： G mg1 m 2R.MmR2(2)在两极上： G mg0.MmR2(3)在一般位置：万有引力 G 等于重力 mg与向心力 F 向 的矢量和.MmR2越靠近南、北两极， g值越大，由于物体随地球自转所需的向
12、心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 mg.GMmR22.星球上空的重力加速度 g星球上空距离星体中心 r R h处的重力加速度为 g， mg ，得 gGmM R h 2.所以 .GM R h 2 gg R h 2R23.万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.(2)两个推论6推论 1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即 F引 0.推论 2：在匀质球体内部距离球心 r处的质点( m)受到的万有引力等于球体内半径为 r的同心球体( M)对其的万有引力，即 F
13、 G .M mr2例 2 如图 4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )图 4A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大答案 D解析 设地球的平均密度为 ，物体在隧道内部离地心的距离为 r，则物体 m所受的万有引力 F G Gmr ，此处的重力加速度 a Gr ，故选项 D正确. 43 r3mr2 43 Fm 43例 3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012年中国十大科技进展新闻，于2013年 1月 19日揭晓， “神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突
14、破7000米分别排在第一、第二.若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为 d， “天宫一号”轨道距离地面高度为 h， “蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )A. B. C. D.R dR h R d 2 R h 2 R d R h 2R3 R d R hR2答案 C解析 令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g G .由MR2于地球的质量为： M R3，所以重力加速度的表达式可写成： g 43 GMR2 G 43 R3R2 GR .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 d的地球437内部，受到地
15、球的万有引力即为半径等于( R d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度 g G (R d)，所以有 .根据万有引力提供向心力 G43 gg R dR ma， “天宫一号”的加速度为 a ，所以 ， Mm R h 2 GM R h 2 ag R2 R h 2 ga，故 C正确，A、B、D 错误. R d R h 2R3变式 4 “神舟十一号”飞船于 2016年 10月 17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A.0B. C. D.GM R h 2 GMm R h 2 GM
16、h2答案 B命题点三 天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注r、 T G mrMmr2 4 2T2 M 4 2r3GT2r、 v G mMmr2 v2r M rv2G利用运行天体v、 T G mMmr2 v2rG mrMmr2 4 2T2 Mv3T2 G只能得到中心天体的质量质量的计算利用天体表面重力加速度g、 R mgGMmR2MgR2G利用运行天体 r、 T、 R G mrMmr2 4 2T2M R343 3 r3GT2R3当 r R时 3GT2利用近地卫星只需测出其运行周期密度的计算利用天体表面重力加速度g、 R mgGMmR2M R34
17、3 3g4 GR例 4 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为( )8A. B. C. D.3 g0 gGT2g0 3 g0GT2 g0 g 3GT2 3 g0GT2g答案 B解析 物 体 在 地 球 的 两 极 时 ， mg0 G ， 物 体 在 赤 道 上 时 ， mg m( )2R G ， 又MmR2 2T MmR2M R3，联立以上三式解得地球的密度 ，故选项 B正确，选项43 3 g0GT2 g0 gA、C、D 错误.变式 5 观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间
18、 t通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 (弧度)，如图 5所示.已知引力常量为 G， “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( )图 5A.2 B. C. D.l3G t2 l3G t2 l3Gt2 lG t2答案 B解析 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为： v ，角速度为 ；根据线速度lt t和角速度的关系式： v r ，可得其轨道半径 r ；“嫦娥三号”做匀速圆周运动，v l万有引力提供向心力， mv ，解得 M ，故选 B.GMmr2 l3G t2变式 6 据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的 a倍，质量是地球的 b倍.已
19、知近地卫星绕地球运行的周期约为 T，引力常量为 G.则该行星的平均密度为( )A. B. C. D.3GT2 3T2 3 baGT2 3 abGT2答案 C解析 万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力： G m ，且 地 ，联M地 mR2 4 2RT2 3M地4 R3立得 地 .而 ，因而 星 .3GT2 星 地 M星 V地V星 M地 ba 3 baGT2命题点四 卫星运行参量的分析卫星运行参量 相关方程 结论9线速度 v G m vMmr2 v2r GMr角速度 G m 2r Mmr2 GMr3周期 T G m 2rT2Mmr2 (2T) r3GM向心加速度 a G maaMmr2 GMr2
20、r越大， v、 、 a越小， T越大例 5 (多选)“天舟一号”货运飞船于 2017年 4月 20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前， “天舟一号”在距地面约 380km的圆轨道上飞行，则其( )A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度答案 BCD解析 根据万有引力提供向心力得， G m(R h) 2 m m(R h)Mm R h 2 v2R h ma，解得， v ， ， T ， a ，由4 2T2 GMR h GM R h 3 4 2 R h 3GM GM R h 2题意可知， “天舟一
21、号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度， “天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项 A错误，C 正确；由第一宇宙速度为 可知， “天舟一号”的线速度小于第一宇宙速GMR度，选项 B正确；由地面的重力加速度 g 可知， “天舟一号”的向心加速度小于地面的GMR2重力加速度，选项 D正确.变式 7 (2017全国卷14)2017 年 4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A.周期变大 B.速
22、率变大C.动能变大 D.向心加速度变大答案 C变式 8 (2017河北石家庄二模)2016 年 10月 19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功，如图 6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为 T，已知地球半径为 R，对接体距地面的高度为 kR，地球表面的重力加速度为 g，引力常量为 G，下列说法正确的是( )10图 6A.对接后，飞船的线速度大小为2 kRTB.对接后，飞船的加速度大小为g 1 k 2C.地球的密度为3 1 k 2GT2D.对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接答案 B解析 对接前，飞船通过自身加速使轨道半径变大从而靠近天宫二号实现对
23、接，D 错误.对接后，飞船的轨道半径为 kR R，线速度大小 v ，A 错误.由2 k 1 RT ma及 GM gR2得 a ，B 正确.由 m 2(k1) R及GMm k 1 2R2 g 1 k 2 GMm k 1 2R2 (2T)M R3得地球的密度 ，C 错误.43 3 1 k 3GT21.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许在实验室里通过
24、几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值答案 D2.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合答案 B11解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故 A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，B 正确；根据万有引力提供向心力，列出等式 m (R h)，其中 R为地球半径， h为同步卫星离
25、地GMm R h 2 4 2T2面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以 T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度 h也为一定值，故 C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，故 D错误.3.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为 G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是( )A. B. C. D.4GT2 3GT2 2GT2 GT2答案 B解析 根据万有引力提供向心力有： G m R，根据密度公式有： ，联立可MmR2 4 2T2 M43 R3得密度为 ，B 正确.3GT24.(2
26、018河南洛阳模拟)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由 35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的 1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )A.123B.23C.32D. 2(32)答案 C解析 开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的运动关系，当轨道为圆轨道时，公式中的 a为半径 r，则有 ，得 32.r同 3T同 2 r中 3T中 2 T同T中5.(多选)2011 年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶
27、”运载火箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的 ，火星的半径约为地球半径的 .下列关于火星探测器19 12的说法中正确的是( )A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的2312答案 CD解析 根据三个宇宙速度的意义，可知选项 A、B 错误，选项 C正确；已知 M 火 ， R 火M地9 ，则 ，选项 D正确.R地2 v火v地 GM火R火 GM地R地 236.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行
28、星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 ，该中心恒星与太阳的质量比约为( )120A. B.1C.5D.10110答案 B解析 根据万有引力提供向心力，有 G m r，可得 M ，所以恒星质量与太阳Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2质量之比为 ( )3( )21，故选项 B正确.M恒M太 r行 3T地 2r地 3T行 2 120 36547.(2018广东中山质检)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径 r119600km，公转周期 T16.39 天.2006 年 3月，天文学家新发现两颗
29、冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径 r248000km，则它的公转周期 T2最接近于( )A.15天 B.25天 C.35天 D.45天答案 B解析 根据开普勒第三定律得 ，所以 T2 T125 天，选项 B正确，选项r31T21 r32T2 r32r31A、C、D 错误.8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为 r，运动周期为 T，地球半径为 R，引力常量为 G，下列说法中正确的是( )A.卫星的线速度大小为 v B.地球的质量为 M2 RT 4 2R3GT2C.地球的平均密度为 D.地球表面重力加速度大小为 g3GT2 4 2r3T2R2答案 D9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行
30、轨道则是一个非常扁的椭圆，如图 1.天文学家哈雷曾经在 1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是 1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )13图 1A.2042年 B.2052年C.2062年 D.2072年答案 C解析 根据开普勒第三定律 k，可得 ，且 r 彗 18 r 地 ，得 T 彗 54 T 地 ，a3T2 r彗 3T彗 2 r地 3T地 2 2又 T 地 1 年，所以 T 彗 54 年76 年，故选 C.210.(2017北京理综17
31、)利用引力常量 G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案 D解析 不考虑地球的自转，地球表面物体受到的万有引力等于重力，即 mg，得 M 地GM地 mR2 ， 所 以 根 据 A中 给 出 的 条 件 可 求 出 地 球 的 质 量 ； 根 据 m 卫 和 T ， 得 MgR2G GM地 m卫R2 v2R 2 Rv地 ，所以根据 B中给出的条件可求出地球的质量；根据 m 月 r，得 M 地v
32、3T2 G GM地 m月r2 4 2T2 ，所以根据 C中给出的条件可求出地球的质量；根据 m 地 r，得 M 太4 2r3GT2 GM太 m地r2 4 2T2 ，所以据 D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选 D.4 2r3GT211.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O为球心，以 O为原点建立坐标轴 Ox，如图 2所示.一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在 x轴上各位置受到的引力大小用 F表示，则选项所示的四个 F随 x变化的关系图中正确的是( )图 214答案 A解析 因为质量分
33、布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心 x处( x R)物体所受的引力为 F G mx x，故 F x图线是过原点的直线；GM1mx2 G43 x3 mx2 43当 xR时， F ，故选项 A正确.GMmx2 G43 R3 mx2 4G mR33x2 1x212.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为 R.若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 k，则矿井的深度为( )A.(1 k)RB.kRC. RD. R(1 1k) k答案 A解析 设 地 球 的 平 均 密 度 为 ， 地 表 处 的 重 力 加 速 度 为 g G R； 设 矿
34、GMR2 G 43 R3R2 43井 深 h， 则 矿 井 底 部 的 重 力 加 速 度 g G (R h)， g g k， 联 立 得 h (1 k)R，43选 项 A正 确 .13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为 h的某处以速度 v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为 x.已知月球半径为 R 月 ，引力常量为 G，试求出月球的质量M 月 .答案 (1) (2)3gR2T24 2 2hv02R月 2Gx215解析 (1)设地球质量为 M，根据万有引力定律及向心力公式得 G M 月 ( )MM月r2 2T2r， G mgMmR2联立解得 r3gR2T24 2(2)设月球表面处的重力加速度为 g 月 ，小球飞行时间为 t，根据题意得 x v0t， h g 月 t212G m g 月M月 mR月 2联立解得 M 月 .2hv02R月 2Gx2
