1、1第 3 讲 圆周运动一、匀速圆周运动及描述1.匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动.(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.2.描述匀速圆周运动的物理量定义、意义 公式、单位线速度 描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量( v) (1)v s t 2 rT(2)单位：m/s角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量( ) (1) t 2T(2)单位：rad/s周期 物体沿圆周运动一圈的时间( T)(1)T ，单位：2 rv 2s(2)f ，单位：Hz1T向心
2、加速度(1)描述速度方向变化快慢的物理量( an)(2)方向指向圆心(1)an r 2v2r(2)单位：m/s 2自测 1 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4m/s，转动周期为 2s，则( )A.角速度为 0.5rad/sB.转速为 0.5r/sC.轨迹半径为 m4D.加速度大小为 4m/s 2答案 BCD2二、匀速圆周运动的向心力1.作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小.2.大小F m mr 2 m r mv 4 2mf2r.v2r 4 2T23.方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.4.来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个
3、力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.自测 2 (多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是( )A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C.向心力就是物体所受的合外力D.向心力和向心加速度的方向都是不变的答案 BC自测 3 教材 P25 第 3 题改编 如图 1 所示，小物体 A 与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则 A 受力情况是( )图 1A.重力、支持力B.重力、向心力C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力D.重力、支持力、向心力、摩擦力答案 C三、离心运动和近心运
4、动1.离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.2.受力特点(如图 2)3图 2(1)当 F mr 2时，物体做匀速圆周运动；(2)当 F0 时，物体沿切线方向飞出；(3)当 Fmr 2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.命题点一 圆周运动的运动学问题1.对公式 v r 的理解当 r 一定时， v 与 成正比.当 一定时， v 与 r 成正比.当 v 一定时， 与 r 成反比.2.对 an 2r 的理解v2r在 v 一定时， an
5、与 r 成反比；在 一定时， an与 r 成正比.3.常见的传动方式及特点(1)皮带传动：如图 3 甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即 vA vB.图 3(2)摩擦传动和齿轮传动：如图 4 甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即 vA vB.图 4(3)同轴传动：如图 5 甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同， A B，由v r 知 v 与 r 成正比.4图 5例 1 如图 6 所示，轮 O1、 O3固定在同一转轴上，轮 O1、 O2用皮带连接且不打滑.在O1、 O2、 O3三 个 轮 的 边 缘 各 取 一 点 A、
6、B、 C， 已 知 三 个 轮 的 半 径 之 比 r1 r2 r3 2 1 1，求 ：图 6(1)A、 B、 C 三点的线速度大小之比 vA vB vC；(2)A、 B、 C 三点的角速度大小之比 A B C；(3)A、 B、 C 三点的向心加速度大小之比 aA aB aC.答案 (1)221 (2)121 (3)241解析 (1)令 vA v，由于皮带传动时不打滑，所以 vB v.因 A C，由公式 v r 知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故 vC v，所以 vA vB vC221.12(2)令 A ，由于轮 O1、 O3共轴转动，所以 C .因 vA vB，由公式 知，当线vr速
7、度一定时，角速度跟半径成反比，故 B2 ，所以 A B C121.(3)令 A 点向心加速度为 aA a，因 vA vB，由公式 a 知，当线速度一定时，向心加速v2r度跟半径成反比，所以 aB2 a.又因为 A C，由公式 a 2r 知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比.故 aCa.12所以 aA aB aC241.变式 1 (多选)(2018辽宁丹东质检)在如图 7 所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为 236，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的 A 点和大齿轮边缘的 B 点( )图 75A.A 点和 B 点的线速度大小之比为 11B.A 点和 B 点的角速度之比为 11C.A 点和
8、B 点的角速度之比为 31D.以上三个选项只有一个是正确的答案 AC解析 题图中三个齿轮边缘线速度相等， A 点和 B 点的线速度大小之比为 11，由 v r可得，线速度一定时，角速度与半径成反比， A 点和 B 点角速度之比为 31，选项 A、C 正确，选项 B、D 错误.命题点二 圆周运动的动力学问题1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.2.几种典型运动模型运动模型 向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆飞车走壁汽车在水平路面转弯水平转台63.“一、二、三、四”求解
9、圆周运动问题例 2 (多选)如图 8 所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径 R90m的大圆弧和 r40m 的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心 O、 O距离 L100m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度 g10m/s 2，3.14)，则赛车( )图 8A.在绕过小圆弧弯道后加速B.在大圆弧弯道上的速率为 45m/sC.在直道上的加速度大小为 5.63m/s2D.通过小圆弧弯道的时间为 5.58s答案 AB解
10、析 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得， kmg m ，当弯道vm2r半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项 A 正确；在大圆弧弯道上的速率为 vmR m/s45 m/s，选项 B 正确；直道的长度为 xkgR 2.25109050 m，在小弯道上的最大速率为：L2 R r 2 3vmr m/s30 m/s，在直道上的加速度大小为 a kgr 2.251040vmR2 vmr22xm/s26.50 m/s2，选项 C 错误；由几何关系可知，小圆 弧 轨 道 的 长 度 为 ，452
11、 3022503 2 r37通 过 小 圆 弧 弯 道 的 时 间 为 t s 2.79 s， 选 项 D 错 误.2 r3vmr 23.1440330变式 2 两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )答案 B解析 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有 mgtan m 2Lsin ，整理得： Lcos ，则两球处于同一高度，故 B 正确.g 2命题点三 竖直面内圆周运动的两类模型问题1.两类模型比较绳球模型 杆球模型实例如球与绳连接、沿内轨道
12、运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑 最高点有支撑8受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征 mg FN mv2rmgFN mv2r最高点临界特征 FN0， vmin gr 竖直向上的 FN mg， v0过最高点条件 v gr v0速度和弹力关系讨论分析能过最高点时，v ， FN mg m ，绳、grv2r轨道对球产生弹力 FN不能过最高点时， v 时， FN mg m ， FN指向grv2r圆心并随 v 的增大而增大2.解题技巧(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.(
13、2)确定临界点：抓住绳模型中最高点 v 及杆模型中 v0 这两个临界条件.gR(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程： F合 F 向 .(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.模型 1 绳球模型例 3 如图 9 所示，一质量为 m0.5kg 的小球，用长为 0.4m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动. g 取 10m/s2，求：9图 9(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为 4m/s 时，轻绳拉力
14、多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为 45N，小球的速度不能超过多大？答案 (1)2m/s (2)15N (3)4 m/s2解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg F1 mv2R由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即 F1不可能取负值，亦即 F10 联立得 v ，gR代入数值得 v2m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2m/s.(2)将 v24m/s 代入得， F215N.(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3 mg mv23R将 F345N 代入得 v34 m/s2即小球的速度不能超过 4
15、m/s.2变式 3 (2017广东汕头二模)如图 10 甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点 O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为 v，此时绳子的拉力大小为 FT，拉力 FT与速度的平方 v2的关系如图乙所示，图象中的数据 a 和 b 包括重力加速度 g 都为已知量，以下说法正确的是( )10图 10A.数据 a 与小球的质量有关B.数据 b 与圆周轨道半径有关C.比值 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关baD.利用数据 a、 b 和 g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径答案 D解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有 FT mg m ，可得图线的函数表达v2R式
16、为 FT m mg，题图乙中横轴截距为 a，则有 0 m mg，得 g ，则 a gR；图线过v2R aR aR点(2 a， b)，则 b m mg，可得 b mg，则 ，A、B、C 错.由 b mg 得 m ，由2aR ba mR bga gR 得 R ，则 D 正确.ag模型 2 球杆模型例 4 如图 11 所示，轻杆长 3L，在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A 和 B，光滑水平转轴穿过杆上距球 A 为 L 处的 O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力.忽略空气阻力.则球 B 在最高点时( )图 11A.球 B 的速度为零
17、B.球 A 的速度大小为 2gLC.水平转轴对杆的作用力为 1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为 2.5mg答案 C解析 球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有 mg m，解得 vB ，故 A 错误；由于 A、 B 两球的角速度相等，则球 A 的速度大小 vAvB22L 2gL 12，故 B 错误； B 球在最高点时，对杆无弹力，此时 A 球所受重力和拉力的合力提供向2gL心力，有 F mg m ，解得 F1.5 mg，故 C 正确，D 错误.vA2L11变式 4 如图 12 所示，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为
18、m 的小环(可视为质点)从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为 g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )图 12A.Mg5 mgB.Mg mgC.Mg5 mgD.Mg10 mg答案 C解析 设大环半径为 R，质量为 m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2 mg2R.小环滑到大环的最低点时的速度为 v2 ，根据牛顿第二定律得 FN mg12 gR，所以在最低点时大环对小环的支持力 FN mg 5 mg.根据牛顿第三定律知，小环mv2R mv2R对大环的压力 FN FN5 mg，方向向下.对大环，根据平衡条件，轻杆对大环的拉力FT Mg FN Mg5 mg.根据牛
19、顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为FT FT Mg5 mg，故选项 C 正确，选项 A、B、D 错误.命题点四 圆周运动中的两类临界问题1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力.(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力 Fm ，静摩擦力的方向一定指向圆心.mv2r(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.2.与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰
20、好为零.(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.例 5 (多选)如图 13 所示，两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上，两者用长为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 K 倍， A 放在距离转轴 L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )12图 13A.当 时， A、 B 相对于转盘会滑动2Kg3LB.当 ，绳子一定有弹力Kg2LC. 在 时，绳子有弹Kg2L Kg2L力，B 项正确；当 时， B 已达到最大静摩擦力，
21、则 在 v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有FTsin mv2LsinFTcos mg解得 FT2 mg(FT mg 舍去).12变式 5 (多选)(2018江西吉安模拟)质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质细杆的 A 点和 B 点，如图 15 所示，绳 a 与水平方向成 角，绳 b 在水平方向且长为 l，当轻杆绕轴 AB 以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )14图 15A.a 绳的张力不可能为零B.a 绳的张力随角速度的增大而增大C.当角速度 ， b 绳将出现弹力gltanD.若 b 绳突然被剪断，则 a 绳的弹力一定发
22、生变化答案 AC变式 6 如图 16 所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30， g 取 10m/s2.则32 的最大值是( )图 16A. rad/s B. rad/sC.1.0 rad/s D.0.5 rad/s5 3答案 C解析 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知， mg cos30 mgsin30 m 2r解得 1.0rad/s，故选项 C 正确.1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如
23、图 1 所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，( )图 115A.路面外侧高、内侧低B.车速只要低于 vc，车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于 vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D.当路面结冰时，与未结冰时相比， vc的值变小答案 AC解析 当汽车行驶的速度为 vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项 A 正确.当速度稍大于 vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项 C
24、正确.同样，速度稍小于 vc时，车辆不会向内侧滑动，选项 B错误. vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D 错误.2.(多 选 )如 图 2 所 示 ， 当 正 方 形 薄 板 绕 着 过 其 中 心 O 与 板 垂 直 的 轴 转 动 时 ， 板 上 A、 B两 点 的 ( )图 2A.角速度之比 A B11B.角速度之比 A B1 2C.线速度之比 vA vB 12D.线速度之比 vA vB1 2答案 AD3.(2015天津理综4)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱” ，如图 3
25、 所示.当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力.为达到上述目的，下列说法正确的是( )图 3A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小16答案 B解析 由题意知有 mg F m 2r，即 g 2r，因此 r 越大， 越小，且与 m 无关，B 正确.4.如图 4 所示，一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动，以下说法正确的是( )图 4A.小球过最高
26、点时，杆所受的弹力不能等于零B.小球过最高点时，速度至少为 gRC.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反答案 C解析 由 mg FN m ，小球在最高点的速度为 v 时，杆不受弹力，选项 A 错误；本v2R gR题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项 B 错误；小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项 C 正确；小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项 D 错误.5.如
27、 图 5 所 示 ， “旋 转 秋 千 ”中 的 两 个 座 椅 A、 B 质 量 相 等 ， 通 过 相 同 长 度 的 缆 绳 悬 挂 在 旋转 圆 盘 上 .不 考 虑 空 气 阻 力 的 影 响 ， 当 旋 转 圆 盘 绕 竖 直 的 中 心 轴 匀 速 转 动 时 ， 下 列 说 法 正确 的 是 ( )图 5A.A 的速度比 B 的大B.A 与 B 的向心加速度大小相等C.悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小答案 D17解析 根据题意可知，座椅 A 和 B 的角速度相等， A 的转动半径小于 B 的转动半径，由v r 可知，座椅
28、A 的线速度比 B 的小，选项 A 错误；由 an r 2可知，座椅 A 的向心加速度比 B 的小，选项 B 错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mgtan mr 2，tan ，因座椅 A 的运动半径较小，故悬挂 A 的缆绳与竖直方向的r 2g夹角小，选项 C 错误；拉力 FT ，可判断悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小，mgcos选项 D 正确.6.(多选)如图 6 所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )图 6A.周期相同B.线速度的大小相等C.角速度的大小相等D.向心加速度的大小相等答案 AC解析 对小球受力分析如图所
29、示，受自身重力 mg、绳子拉力 FT，合力提供向心力即水平指向 圆 心 ， 设 细 线 和 竖 直 方 向 夹 角 为 ， 小 球 到 悬 点 的 高 度 差 为 h， 则 有 mgtan man m 2htan ， 可得向心加速度 an gtan ，所以向心加速度大小不相等，选项 D错；角速度 ，所以角速度大小相等，选项 C 对；由于水平面内做圆周运动的半径不gh同，线速度 v h tan ，所以线速度大小不相等，选项 B 错；周期 T ，角速度相等，2所以周期相等，选项 A 对.187.(多选)(2018新疆石河子调研)图 7 为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为 n
30、，主动轮和从动轮的半径比为 k，下列说法正确的是( )图 7A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等C.从动轮的转速为 nk D.从动轮的转速为nk答案 BC解析 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A 错误，B 正确；由 r 主 r 从 k，2 nr 主 2 n 从 r 从 ，可得 n 从 nk，C 正确，D 错误.8.(2017河北保定一模)如图 8 所示，半径为 R 的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为 m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为 mg， g 为当地
31、重力加速度，则( )图 8A.小球在管顶部时速度大小一定为 2gRB.小球运动到管底部时速度大小可能为 2gRC.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为 5mgD.小球运动到管底部时对管壁的压力一定为 7mg答案 C解析 小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力.如果小球与外壁有作19用力，对小球受力分析可知 2mg m ，可得 v ，其由管顶部运动到管底部的过程中v2R 2gR由机械能守恒有 mv122 mgR mv2，可得 v1 ，小球在管底部时，由牛顿第二定律有12 12 6gRFN1 mg m ，解得 FN17 mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为 7mg.如果小球与
32、v12R内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有 mv222 mgR，解得 v22 ，小球在管底部时，由牛顿第二定律有12 gRFN2 mg m ，解得 FN25 mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为 5mg.C 对，v22RA、B、D 错.9.(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图 9 所示，已知绳长为 l，重力加速度为 g，则( )图 9A.小球运动到最低点 Q 时，处于失重状态B.小球初速度 v0越大，则在 P、 Q 两点绳对小球的拉力差越大C.当 v0 时，
33、小球一定能通过最高点 P6glD.当 v0 时小球一定6gl 2gl gl 6gl能通过最高点 P，选项 C 正确；当 v0 时，由 mv02 mgh 得小球能上升的高度 h l，gl12 12即小球不能越过与悬点等高的位置，故当 v0mQ， LPLQ，则两小球的动能大小无法比较，选项 B 错误；对小球在最低点受力分析得， FT mg m ，可得 FT3 mg，选项 C 正v2L确；由 an 2 g 可知，两球的向心加速度相等，选项 D 错误.v2L12.(多选)如图 12 所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水平圆盘上， a21与转轴 OO的距离为 l， b 与转轴
34、 OO的距离为 2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )图 12A.b 一定比 a 先开始滑动B.a、 b 所受的摩擦力始终相等C. 是 b 开始滑动的临界角速度kg2lD.当 时， a 所受摩擦力的大小为 kmg2kg3l答案 AC解析 因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ff m 2R，由于小木块 b 的轨道半径大于 a 的轨道半径，故 b 做圆周运动需要的向
35、心力较大，选项 B 错误；因为两木块的最大静摩擦力相等，故 b 一定比 a 先开始滑动，选项 A 正确；当 b 刚刚开始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m b22l，可得 b ，选项 Ckg2l正确；当 a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m a2l，可得 a ，而kgl ，故小木块 a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力提供，即2kg3l kglFfa m 2l kmg，选项 D 错误.2313.(多选)(2018新疆喀什质检)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图 13 所示的两个水平 放 置 的 轮 盘 靠 摩 擦 力 传 动 ， 其 中 O、 O 分 别 为 两 轮 盘
36、 的 轴 心 .已 知 两 个 轮 盘 的 半 径 比r 甲 r 乙 31，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块 A、 B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心 O、 O的间距 RA2 RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是( )22图 13A.滑块 A 和 B 在与轮盘相对静止时，角速度之比为 甲 乙 13B.滑块 A 和 B 在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为 aA aB29C.转速增加后，滑块 B 先发生滑动D.转速增加后，两滑块一起发生滑动答案 ABC解析 假设轮盘乙的半径为 R，由题意可知两轮盘边缘的线
37、速度大小相等，有 甲 3R 乙 R，得 甲 乙 13，所以滑块相对轮盘滑动前， A、 B 的角速度之比为13，A 正确；滑块相对轮盘滑动前，根据 an 2r 得 A、 B 的向心加速度之比为aA aB29，B 正确；据题意可得滑块 A、 B 的最大静摩擦力分别为FfA m Ag， FfB m Bg，最大静摩擦力之比为 FfA FfB mA mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为 FfA FfB( mAaA)( mBaB) mA(4.5 mB)，综上分析可得滑块 B 先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C 正确，D 错误.14.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为
38、m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图 14 所示.已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 d，34重力加速度为 g，忽略手的运动半径和空气阻力.图 14(1)求绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2；(2)求绳能承受的最大拉力；(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？答案 (1) (2) mg (3) d2gd10gd2 113 d2 233解析 (1)设绳断后球飞行时间为 t，由平抛运动规律得竖直方向 d
39、gt214 12水平方向 d v1t23解得 v1 2gd在竖直方向上有 v 22 g(1 )d，则34v22 v122 g(1 )d34解得 v210gd2(2)设绳能承受的最大拉力大小为 FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为 R d34对小球在最低点由牛顿第二定律得FT mgmv12R解得 FT mg113(3)设绳长为 l，绳断时球的速度大小为 v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得FT mgmv32l解得 v3236gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为 d l，水平位移为 x，时间为 t1，则竖直方向 d l gt1212水平方向 x v3t1解得 x4l d l3当 l 时， x 有最大值， xmax d.d2 233
