1、1专题 5.1 图形的平移对称与旋转一、单选题1下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试卷【答案】C【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解详解：A.是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.是轴对称图形.故选：C.点睛：此题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2观察下列图形，是中心对称图形的是( )A. B. C. D. 【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题【答案】D【点睛】本题考查了中心对称图形，熟知“在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180后，能与原图形重合
2、，那么就说这个图形是中心对称图形”是解题的关键.3下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2【来源】四川省凉山州 2018 年中考数学试题【答案】D点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】贵州省安顺市 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】分析：分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可详解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项
3、错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选 D点睛：本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键5在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答3详解：点 P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5） ，故选 C点睛：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直
4、角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（-x，-y） ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数6在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点 称为极点；从点 出发引一条射线 称为极轴；线段 的长度称为极径点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动到的角度 (规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即 或 或 等,则点 关于点成中心对称的点 的极坐标表示不正确的是( )A. B. C. D. 【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题【答案】D点睛：此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答7如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中
5、每个小正方形的边长均为 1， 经过平移后得到 ，若 上一点 平移后对应点为 ，点 绕原点顺时针旋转 ，对应点为 ，则点的坐标为（ ）4A. B. C. D. 【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题【答案】A点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】分析：轴对称图形：沿着一条线折叠能够完全重合的图形；中心对称图形：绕着某一点旋转180能够与自身重合的图形；根据定义逐个判
6、断即可。详解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 A 不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 B 不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 C 不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 符合题意；故选：D点睛：本题考查了中心对称图形的定义：一个图形若绕某一点旋转 180 度后仍然和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形也考查了轴对称图形的定义9如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A，D，E 在同一条直线上，ACB=20，则ADC 的度数是（ ）5A. 55 B. 60 C. 65 D. 70【来源】浙江省金华市 2
7、018 年中考数学试题【答案】C点睛：此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答10小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 无数个6【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题【答案】C【点睛】本题考查了图形的平移、轴对称图形等知识，熟练掌握正方形的结构特征是解本题的关键.11如图，往竖直放置的在 处由短软管连接的粗细均匀细管组成
8、的“ ”形装置中注入一定量的水，水面高度为 ，现将右边细管绕 处顺时针方向旋转 到 位置，则 中水柱的长度约为（ ）A. B. C. D. 【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】 【分析】根据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样的，结合已知可知此时 AB 中水柱的长度为左边水柱长度的 2 倍，据此即可得.【详解】如图，旋转后 AB 中水柱的长度为 AD，左侧软管中水柱的长度为 EF，过点 D 作 DMFA由题意则有 EF+AD=26=12cm，DAM=90-60=30，AMD=90，AD=2DM，EF=DM，AD=8cm，故选 C.7【点睛】本
9、题主要考查了 30 度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是不变的.12下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题【答案】C点睛：此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合13将一张正方形纸片按如图步骤,沿虚线对折两次,然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）A. B. C. D. 【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题【答案】A【解析】 【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正
10、方形的对角线上, 根据的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选 A【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键814如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点 A，B 的坐标分别为（-1，0） ， （0， ） 现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合，得到OCB ，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ）A. （1，0） B. （ ， ） C. （1， ） D. （-1， ）【来源】浙江省温
11、州市 2018 年中考数学试卷【答案】C点睛: 此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.15下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题【答案】B【解析】分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论详解： A 是中心对称图形； B 既是轴对称图形又是中心对称图形； C 是轴对称图形； D 既不是轴对称图形又不是中心对称图形故选 B点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键16下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（
12、）9A. B. C. D. 【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】A点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转 180后能够重合17下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【来源】 【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）【答案】D【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得.【详解】A、40的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选 D.【
13、点睛】本题主要考查轴对称图形，熟知轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形是解题的关键.18如图，将一个三角形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，则下列结论一定正确的是（ ）10A. B. C. D. 【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】D点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等19如图，等边三角形 的边长为 4,点 是 的中心， .绕点 旋转 ,分别交线段于 两点，连接 ,给出下列四个结论: ; ;四边形 的面积始终等于 ; 周长
14、的最小值为 6,上述结论中正确的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】分析：连接 BO， CO，可以证明 OBD OCE，得到 BD=CE， OD=OE，从而判断正确；通过特殊位置，当 D 与 B 重合时， E 与 C 重合，可判断 BDE 的面积与 ODE 的面积的大小，从而判断错误；11详解：连接 BO， CO，过 O 作 OH BC 于 H O 为 ABC 的中心， BO=CO， DBO= OBC= OCB=30， BOC=120 DOE=120， DOB= COE在 OBD 和 OCE 中， DOB= COE
15、， OB=OC， DBO= ECO，OBD OCE， BD=CE， OD=OE，故正确；当 D 与 B 重合时， E 与 C 重合，此时 BDE 的面积=0， ODE 的面积0，两者不相等，故错误； O 为中心， OH BC， BH=HC=2 OBH=30， OH= BH= ， OBC 的面积= = OBD OCE，四边形 ODBE 的面积= OBC 的面积= ，故正确；过 D 作 DI BC 于 I设 BD=x，则 BI= ， DI= BD=EC， BC=4， BE=4 x， IE=BE-BI= 在 Rt DIE 中， DE= = = ，当 x=2 时， DE 的值最小为 2， BDE 的周
16、长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当 DE 最小时， BDE 的周长最小， BDE 的周长的最小值=4+2=6故正确故选 C点睛：本题是几何变换-旋转综合题考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质解题的关键是证明 OBD OCE20如图， P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A， B， C 的距离分别为 3，4，5，则 ABC 的面12积为（ ）A. B. C. D. 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题【答案】A详解：ABC 为等边三角形，BA=BC，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA，连 EP，且延长 BP，作 AFBP
17、 于点 F如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE 为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，AE 2=PE2+PA2，APE 为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150APF=30，13在直角APF 中，AF= AP= ，PF= AP= 在直角ABF 中，AB 2=BF2+AF2=（4+ ） 2+（ ） 2=25+12 则ABC 的面积是 AB2= （25+12 ）=9+ 故选：A点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
18、，对应点到旋转中心的距离相等二、填空题21如图，将含有 30角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 A，B 分别落在 x、y 轴的正半轴上，OAB60，点 A 的坐标为（1，0） ，将三角板 ABC 沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90，）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷【答案】 + 【详解】在 RtAOB 中，A（1，0） ，OA=1，又OAB60，cos60= ，AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变
19、，点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：14S= = ，故答案为： .【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键. 22在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，则所得的点的坐标是_.【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷【答案】 （5,1）【点睛】本题考查了点的平移，熟知点的坐标的平移特征是解题的关键.23如图,正方形 的边长为 1,点 与原点重合,点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上将正方形绕点 逆时针旋转 至正方形 的位置, 与 相交于点 ,则 的坐标为_【来源】
20、山东省潍坊市 2018 年中考数学试题【答案】【解析】分析：连接 AM，由旋转性质知 AD=AB=1、BAB=30、BAD=60，证 RtADMRtABM 得DAM= BAD=30，由 DM=ADtanDAM 可得答案详解：如图，连接 AM，15点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用24如图，在矩形 中， =3，将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 落在上，且 则 的长为_ .【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题【答案】16【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后
21、哪些线段是相等的是解题的关键.25在平面直角坐标系中，点 的坐标是 .作点 关于 轴的对称点，得到点 ，再将点 向下平移 个单位，得到点 ，则点 的坐标是（_） ，_）.【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷【答案】 ， 【解析】分析：直接利用关于 y 轴对称点的性质得出 A点坐标，再利用平移的性质得出点 A的坐标.详解：点 A 的坐标是（-1，2） ，作点 A 关于 y 轴的对称点，得到点 A，A点坐标为：（1，2） ，将点 A向下平移 4 个单位得到点 A，点 A的坐标是：（1，-2） 故答案为：（1，-2） 点睛：此题主要考查了平移变换以及关于 y 轴对称点的性质，正确掌握平移规
22、律是解题关键.26在平面直角坐标系中，点 的坐标是 .作点 关于 轴的对称点，得到点 ，再将点 向下平移 个单位，得到点 ，则点 的坐标是（_） ，_）.【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷【答案】 ， 17点睛：此题主要考查了平移变换以及关于 y 轴对称点的性质，正确掌握平移规律是解题关键.27如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到 ，若厘米，则 的边 的长为_厘米.【来源】 【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）【答案】【解析】 【分析】过点 E 作 EHAG 于 H，由 AE=EG=2 ，AGE=30可求得 AG 的长，由翻折
23、可知AE=BE、AG=CG，根据 BC=BE+EG+CG，将数据代入相加即可得.【详解】过点 E 作 EHAG 于 H，AE=EG=2 ， AGE=30，AG=2AH =2AE cos30=22 =6，由翻折得 ， ，故答案为：6+4 .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.28定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移 a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫作图形的 （a，）变换18如图，等边ABC 的边长为 1，点 A 在第一象限，点 B 与原点 O 重合，点 C 在 x 轴的正半轴上A 1B1C1就是ABC
24、经 （1，180）变换后所得的图形若ABC 经 （1，180）变换后得A 1B1C1，A 1B1C1经 （2，180）变换后得A 2B2C2，A 2B2C2经（3，180）变换后得A 3B3C3，依此类推A n1 Bn1 Cn1 经 （n，180）变换后得A nBnCn，则点 A1的坐标是_，点 A2018的坐标是 【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （ ， ） ， （ ， ） 详解：根据图形的 （a，）变换的定义可知：对图形 （n，180）变换，就是先进行向右平移 n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换ABC 经 （1，180）变换后得A 1B1C1，A 1 坐标（
25、 ， ）A 1B1C1经 （2，180）变换后得A 2B2C2，A 2坐标（ ， ）A 2B2C2经 （3，180）变换后得A 3B3C3，A 3坐标（ ， ）A 3B3C3经 （3，180）变换后得A 4B4C4，A 4坐标（ ， ）19点睛：本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的 （a，）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究29如图，在平面内，线段 AB=6， P 为线段 AB 上的动点，三角形纸片 CDE 的边 CD 所在的直线与线段 AB垂直相交于点 P，且满足 PC=PA若点 P 沿 AB
26、 方向从点 A 运动到点 B，则点 E 运动的路径长为_【来源】 【全国市级联考】江苏省苏州市 2018 届九年级中考数学模拟试题【答案】 【解析】解：如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC，点 E 运动的路径为 EE，由平移的性质可知 AC= EE，在 Rt ABC中，易知 AB=BC=6， ABC=90， EE= AC= = ，故答案为：20点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题30如图，P，Q 是方格纸中的两格点，请按要求画出以 PQ 为对角线的格点四边形（1）在图 1 中画出一个面积最小的 PAQB
27、；（2）在图 2 中画出一个四边形 PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线 CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到注：图 1，图 2 在答题纸上【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）画图见解析；（2）画图见解析.详解:21（1）（2）点睛: 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换.31如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC 沿直线 AD 折叠
28、，点 C 的对应点 E 落在上（1）求证：AE=AB；（2）若CAB=90，cosADB= ，BE=2，求 BC 的长【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）证明见解析；（2）BC=22（2）如图，过点 A 作 AHBE 于点 H，根据等腰三角形的三线合一得出 BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出ABE=AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 BHAB = 13,从而得出 AC=AB=3，在 Rt 三角形 ABC 中，利用勾股定理得出 BC 的长.详解:（1）解 ：由题意得ADEADC，AED=ACD，AE=ACABD=AED，A
29、BD=ACDAB=ACAE=AB（2）解 ：如图，过点 A 作 AHBE 于点 H点睛: 本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点.32在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到（点 ， 的对应点分别为 ， ） ，射线 ， 分别交直线 于点 ， . 23（1）如图 1，当 与 重合时，求 的度数；（2）如图 2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长；（3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由.【来源】四
30、川省成都市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）60；（2） ；（3）详解：（1）由旋转可得：AC=AC=2，ACB=90，AB= ，AC=2 ，BC= ，ACB=90，mAC，ABC=90，cosACB= ，ACB=30，ACA=60；（2）M 为 AB的中点，ACM=MAC，24由旋转可得，MAC=A，A=ACM，tanPCB=tanA= ，PB= BC= ，tanQ=tanA= ，BQ=BC =2，PQ=PB+BQ= ；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
31、线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等33如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1010 网格中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点.（1）在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 （点 A，B 的对25应点分别为 ）.画出线段 ;（2）将线段 绕点 逆时针旋转 90得到线段 .画出线段 ;（3）以 为顶点的四边形 的面积是 个平方单位.【来源】安徽省 2018 年中考数学试题【答案】 （1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20【详解】 （1）如图所示；（2）如图所示；（3）结合网格特点易得四边形 AA1 B1 A2是正方形，AA
32、1= ，所以四边形 AA1 B1 A2的面积为： =20，故答案为：20.【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点26是作图的关键. 34在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， .（）如图，当点 落在 边上时，求点 的坐标；（）如图，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .求证 ；求点 的坐标 .（）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】 （）点 的坐标为 .（）证明
33、见解析； 点 的坐标为 .（）.由知 ，再根据矩形的性质得 .从而 ，故 BH=AH，在 RtACH中，运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案；（） .27（）由四边形 是矩形，得 .又点 在线段 上，得 .由（）知， ，又 ， ， .由 ，得 .又在矩形 中， ， . . .设 ，则 ， .在 中，有 ， .解得 . .点 的坐标为 .28（） .点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.35再读教材:宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调 ,匀称的美感.世界各国许多著名的建
34、筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; )第一步,在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 ,并把 折到图中所示的 处，第四步,展平纸片,按照所得的点 折出 ,使 ,则图中就会出现黄金矩形，问题解决:(1)图中 =_(保留根号);(2)如图,判断四边形 的形状,并说明理由;(3)请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.实际操作: 29(4)结合图.请在矩形 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写
35、出它的长和宽.【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题【答案】 （1） ；（2）四边形 是菱形.理由见解析；（3）见解析.详解：（1）如图 3 中在 Rt ABC 中， AB= = = 故答案为： （2）结论：四边形 BADQ 是菱形理由如下：如图中，四边形 ACBF 是矩形， BQ AD AB DQ，四边形 ABQD 是平行四边形，由翻折可知： AB=AD，四边形 ABQD 是菱形（3）如图中，黄金矩形有矩形 BCDE，矩形 MNDE AD= AN=AC=1， CD=AD AC= 1 BC=2， = ，矩形 BCDE 是黄金矩形 = = ，矩形 MNDE 是黄金矩形（4）如图1 中，在
36、矩形 BCDE 上添加线段 GH，使得四边形 GCDH 为正方形，此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形30长 GH= 1 ，宽 HE=3 点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目36我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底” 。（1）概念理解:如图 1,在 中, , . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图 2, 是“等高底”三角形, 是“等底” ，作 关于 所在直线的对称图形得到 ,连结交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.（3）应用拓展:如图 3,已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点 在直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在直线交 于点 .求 的值.【来源】浙江省嘉兴市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）证明见解析；（2） （3） 的值为 , ,2
