1、12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时作业A 组 基础巩固1已知| a|6，| b|3， ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( )A2 B2C4 D4解析：记向量 a 与 b 的夹角为 ，由 ab| a|b|cos 12，即 63cos 12，所以 cos ，所以 a 在 b 方向上的投影为| a|cos 6 4.23 ( 23)答案：D2若向量 a， b， c 满足 a b 且 a c，则 c(a2 b)( )A4 B3C2 D0解析：因为 a b 且 a c，所以 b c，从而 cb ca0.所以 c(a2 b) ca2 cb0.答案：D3| a|1，| b|2，
2、 c a b 且 c a，则 a 与 b 的夹角为( )A30 B60C120 D150解析： c a，设 a 与 b 的夹角为 ，则( a b)a0，所以 a2 ab0，所以 a2| a|b|cos 0，则 12cos 0，所以 cos ，所以 120.12答案：C4已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| a3 b|( )A. B.7 10C. D413解析：| a3 b|2 a26 ab9 b216cos 60913，所以| a3 b| .13答案：C5若向量 a 与 b 的夹角为 ，| b|4，( a2 b)(a3 b)72，则向量 a 的模为( ) 3A2 B4C6
3、D12解析：由题意知 ab| a|b|cos |a|b|2| a|，( a2 b)(a3 b) 3 122 a2 ab6 b2|a|22| a|64 272，| a|6.答案：C6已知| a|3，| b|4，则( a b)(a b)_.解析：( a b)(a b) a2 b2| a|2| b|23 24 27.答案：77在 ABC 中， BAC120， AB2， AC1， D 是边 BC 上一点， 2 ，DC BD 则 _.AD BC 解析：由 2 ，所以 ， ，DC BD BD 13BC BC AC AB 故 ( )AD BC AB BD BC ( )AB 13 AC AB AC AB (
4、)(23AB 13AC ) AC AB 13AB AC 13AC2 23AB2 | | |cos 120 | |2 | |213AB AC 13AC 23AB 21 1 22 .13 ( 12) 13 23 83答案：838已知 a b2 i8 j， a b8 i16 j， i， j 为相互垂直的单位向量，那么ab_.解析：将两已知等式相加得，2 a6 i8 j，所以 a3 i4 j.同理将两已知等式相减得，b5 i12 j，而 i， j 是两个互相垂直的单位向量，所以 ab(3 i4 j)(5i12 j)354(12)63.答案：639已知| a|3，| b|6，当 a b， a b， a
5、与 b 的夹角是 60时，分别求 ab.解析：当 a b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 0， ab| a|b|cos 036118；若 a 与 b 反向，则它们的夹角 180，3 ab| a|b|cos 18036(1)18；当 a b 时，它们的夹角 90， ab0；当 a 与 b 的夹角是 60时，有 ab| a|b|cos 6036 9.1210设向量 a， b 满足| a| b|1，|3 a b| .5(1)求| a3 b|的值；(2)求 3a b 与 a3 b 夹角的正弦值解析：(1)由|3 a b| ，得(3 a b)25，5所以 9a26 ab b25，因为 a2 b2
6、1，所以 ab .因此( a3 b)562 a26 ab9 b215，所以| a3 b| .15(2)设 3a b 与 a3 b 的夹角为 ，因为(3 a b)(a3 b)3 a28 ab3 b2 ，203所以 cos ， 3a b a 3b|3a b|a 3b| 20353 439因为 0 180，所以 sin ，1 cos21 (439)2 339所以 3a b 与 a3 b 的夹角的正弦值为 .339B 组 能力提升1已知向量 a， b 的夹角为 120，| a| b|1， c 与 a b 共线，则| a c|的最小值为( )A1 B.12C. D34 32解析：| a| b|1， c
7、与 a b 共线 a 与 c 的夹角为 60或 120.当 60时| a c| a2 2ac c2 1 |c| |c|2 (|c| 12)2 34| a c|min1当 120时，| a c| 1 |c| |c|24 |c| 12 2 34| a c|min .32答案：D2在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则( )|PA|2 |PB|2|PC|2A2 B4C5 D10解析： |PA|2 |PB|2|PC|2 PA2 PB2 PC2 PC CA 2 PC CB 2PC2 2PC2 2PC CA 2PC CB CA 2 CB 2PC2 2|PC
8、 |2 2PC CA CB AB2 |PC |2 64 2610.|AB |2|PC |2答案：D3已知 ABC 中，若 2 ，则 ABC 是( )AB AB AC BA BC CA CB A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析：由 2 ，得 ( ) ( )，AB AB AC BA BC CA CB AB AB AC BC BA CA 即 ， 0， ( )0，则 0，即AB CB BC BC AB BC BC BC BC AB BC BC AC ，BC AC 所以 ABC 是直角三角形，故选 C.答案：C54设 e1， e2为单位向量，非零向量 b xe1 ye2， x， y
9、R.若 e1， e2的夹角为 ，则 6的最大值等于_|x|b|解析：因为 e1， e2为单位向量， e1， e2的夹角为 ，所以 e1e2 . 6 32|b| |b|2 xe1 ye2 2 x2 y2 2xye1e2 x2 y2 3xy所以 |x|b| |x|x2 y2 3xy 1y2x2 3yx 1 2，所以 的最大值为 2.1(yx 32)2 14 |x|b|答案：25已知两个向量 a， b 满足| a|2，| b|1， a， b 的夹角为 60， m2 xa7 b，n a xb， xR.(1)若 m， n 的夹角为钝角，求 x 的取值范围；(2)设函数 f(x) mn，求 f(x)在1,
10、1上的最大值与最小值解析：(1) ab| a|b|cos 6021cos 601，由 m， n 的夹角为钝角，得mn0，且 m， n 不反向共线， mn(2 xa7 b)(a xb)2 xa27 ab2 x2ab7 xb28x2 x277 x2 x215 x70，且去掉 2xa7 b (a xb)中 小于 0 的情形解得7 x ，且 x ， x 的取值范围是 .12 142 ( 7， 142) ( 142， 12)(2)由(1)得 f(x)2 x215 x72 2 ， f(x)在1,1上单调递增，(x154) 1698 f(x)min f(1)21576， f(x)max f(1)215724
11、.6.如图，扇形 AOB 的弧的中点为 M，动点 C， D 分别在 OA， OB 上，且OC BD， OA1， AOB120.(1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点，用 ， 表示向量 ；OA OB MC (2)求 的取值范围MC MD 解析：(1)由已知可得 ， ，OC 34OA MC OC OM 易得 OAMB 是菱形，则 ，所以 ( ) .OM OA OB MC OC OM 34OA OA OB 14OA OB 1(2)易知 DMC60，且| | |，那么只需求 MC 的最大值与最小值即可，当 MC OAMC MD 时， MC 最小，此时 MC ，则 cos 60 .当 MC 与 MO 重合时， MC 最32 MC MD 32 32 38大，此时 MC1，则 cos 60 ，所以 的取值范围为 .MC MD 12 MC MD 38， 12
