1、操作探究 一、选择题 1（ 2018湖北荆门 3分）如图，等腰 Rt ABC中，斜边 AB 的长为 2， O为 AB的中点， P为 AC 边上的动点，OQ OP 交 BC 于点 Q， M为 PQ 的中点，当点 P从点 A运动到点 C时，点 M所经过的路线长为（ ） A B C 1 D 2 【分析】 连接 OC，作 PE AB 于 E， MH AB于 H， QF AB 于 F，如图，利用等腰直角三角形的性质得 AC=BC= ， A= B=45 ， OC AB， OC=OA=OB=1， OCB=45 ，再证明 Rt AOP COQ 得到 AP=CQ，接着利用 APE和 BFQ都为等腰直角三角形得到
2、 PE= AP= CQ， QF= BQ，所以 PE+QF= BC=1，然后证明 MH 为梯形PEFQ 的中位线得到 MH= ，即可判定点 M 到 AB 的距离为 ，从而得到点 M 的运动路线为 ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M所经过的路线长 【解答】 解：连接 OC，作 PE AB 于 E， MH AB 于 H， QF AB于 F，如图， ACB为到等腰直角三角形， AC=BC= AB= ， A= B=45 ， O 为 AB的中点， OC AB， OC平分 ACB， OC=OA=OB=1， OCB=45 ， POQ=90 ， COA=90 ， AOP= COQ， 在 Rt
3、AOP和 COQ中 ， Rt AOP COQ， AP=CQ， 易得 APE和 BFQ都为等腰直角三角形， PE= AP= CQ， QF= BQ， PE+QF= （ CQ+BQ） = BC= =1， M 点为 PQ 的中点， MH为梯形 PEFQ的中位线， MH= （ PE+QF） = ， 即点 M到 AB 的距离为 ， 而 CO=1， 点 M的运动路线为 ABC的中位线， 当点 P 从点 A运动到点 C时，点 M所经过的路线长 = AB=1 故选： C 【点评】 本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质 2 （ 2018 浙江临安 3
4、 分）如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、 F 分别是 AB、 BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座 “ 小别墅 ” ，则图中阴影部分的面积是（ ） A 2 B 4 C 8 D 10 【考点】 阴影部分的面积 【分析】 本题考查空间想象能力 【解答】 解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部 分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积 =4 4=16， 图中阴影部分的面积是 16 4=4 故选： B 【点评】 解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系 3（ 2018 浙江 舟山 3 分） 将一张正方形纸
5、片按如图步骤，沿虚线对折两次，然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） A. B. C. D. 【考点】 剪纸问题 【解析 】 【解答】解：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方展开，缺失的部分是一个等腰直角三角形，用直角边与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形 A。 故答案为 A。 【分析】根据对称的性质，用倒推法去展开这个折纸。 【点评】 本题主要考查了 等腰直角三角形、直角三角形的判定和考生的空间想象能力 . 二 .填空题 (要求同上一 .) 1（ 2018 湖南省常德 3分）如图，将矩形 ABCD沿 EF 折叠，使点 B落在 AD边上的点 G处，点 C落
6、在点H处，已知 DGH=30 ，连接 BG，则 AGB= 75 【分析 】 由折叠的性质可知： GE=BE， EGH= ABC=90 ，从而可证明 EBG= EGB，然后再根据 EGH EGB= EBC EBG，即： GBC= BGH，由平行线的性质可知 AGB= GBC，从而易证 AGB= BGH，据此可得答案 【解答】 解：由折叠的性质可知： GE=BE， EGH= ABC=90 ， EBG= EGB EGH EGB= EBC EBG，即： GBC= BGH 又 AD BC， AGB= GBC AGB= BGH DGH=30 ， AGH=150 ， AGB= AGH=75 ， 故答案为：
7、75 【点评】 本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 2. （ 2018 浙江 舟山 4 分） 如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A， D，量得 AD=10cm，点 D在量角器上的读数为 60 ，则该直尺的宽度为 _ cm。 【考点】 垂径定理，切线的性质 【分析】因为直尺另一边 EF与圆 O相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG，而 OC=OA；OG 和 OA 都在 Rt AOG 中，即根据解直角
8、三角形的思路去做：由垂定理可知 AG=DG= AD=5cm， AOG= AOD=60 ，从而可求答案 . 【解答】解：如图，连结 OD， OC， OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF， 因为点 D 在量角器上的读数为 60 ， 所以 AOD=120 ， 因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C， 所以 OC EF， 因为 EF/AD， 所以 OC AD， 由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm， AOG= AOD=60 ， 在 Rt AOG中， AG=5 cm， AOG=60 ， 则 OG= cm,OC=OA= cm 则 CG=OC-OG= cm. 【点评】 本题的关键是利用
9、垂径定理和切线的性质 . 三 .解答题 (要求同上一 ) 1. （ 2018四川凉州 8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O1的坐标为（ 4， 0），以点 O1为圆心， 8 为半径的圆与 x 轴交于 A， B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60 的角，且交 y 轴于 C 点，以点 O2（ 13， 5）为圆心的圆与 x轴相切于点 D （ 1）求直线 l的解析式； （ 2） 将 O 2以每秒 1个单位的速度沿 x轴向左平移，当 O 2第一次与 O 1外切时，求 O 2平移的时间 【分析】（ 1）求直线的解析式，可以先求出 A、 C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析
10、式 （ 2）设 O 2平移 t 秒后到 O 3处与 O 1第一次外切于点 P， O 3与 x轴相切于 D1点，连接 O1O3， O3D1 在直角 O 1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出 O1D1，进而求出 D1D的长，得到平移的时间 【解答】解：（ 1）由题意得 OA=| 4|+|8|=12， A 点坐标为（ 12， 0） 在 RtAOC 中 ， OAC=60 ， OC=OAtanOAC=12tan60=12 C 点的坐标为（ 0， 12 ） 设直线 l 的解析式为 y=kx+b， 由 l过 A、 C两点， 得 ，解得 直线 l 的解析式为： y= x 12 （ 2）如图，设 O 2平移
11、t秒后到 O 3处与 O 1第一次外切于点 P， O 3与 x轴相切于 D1点，连接 O1O3， O3D1 则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13 O 3D1x 轴， O 3D1=5， 在 RtO 1O3D1中， O 1D=O1O+OD=4+13=17， D 1D=O1D O1D1=17 12=5， （秒） O 2平移的时间为 5秒 【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的 2. （ 2018四川凉州 10分）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 0， 2）两点，顶点为 D （ 1）求抛物线的解析式
12、； （ 2）将 OAB 绕点 A顺时针旋转 90 后，点 B落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式； （ 3）设（ 2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB 1的面积是 NDD 1面积的 2倍，求点 N的坐标 【分析】（ 1）利用待定系数法，将点 A， B的坐标代入解析式即可求得； （ 2）根据旋转的知识可得： A（ 1， 0）， B（ 0， 2）， OA=1 ， OB=2， 可得旋转后 C点的坐标为（ 3， 1），当 x=3时，由 y=x2 3x+2得 y=2，可知抛物线 y=x2
13、 3x+2过点（ 3， 2） 将原抛物线沿 y轴向下平移 1个单位后过点 C 平移后的抛物线解析式为： y=x2 3x+1； （ 3）首先求得 B1， D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利 用方程思想 【解答】解：（ 1）已知抛物线 y=x2+bx+c经过 A（ 1， 0）， B（ 0， 2）， ， 解得 ， 所求抛物线的解析式为 y=x2 3x+2； （ 2） A （ 1， 0）， B（ 0， 2）， OA=1 ， OB=2， 可得旋转后 C点的坐标为（ 3， 1）， 当 x=3时，由 y=x2 3x+2得 y=2， 可知抛物线 y=x2 3x+2过点（ 3， 2）， 将原抛物线沿 y
14、轴向下平移 1个单位后过点 C 平移后的抛物线解析式为： y=x2 3x+1； （ 3） 点 N在 y=x2 3x+1上，可设 N点坐标为（ x0， x02 3x0+1）， 将 y=x2 3x+1配方得 y=（ x ） 2 ， 其对称轴为直线 x= 0x 0 时，如图 ， ， x 0=1， 此时 x02 3x0+1= 1， N 点的坐标为（ 1， 1） 当 时，如图 ， 同理可得 ， x 0=3， 此时 x02 3x0+1=1， 点 N的坐标为（ 3， 1） 当 x 0时，由图可知， N点不存在， 舍去 综上，点 N的坐标为（ 1， 1）或（ 3， 1） 【点评】此题属于中考中的压轴题，难度较
15、大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题 此题考 查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用 3. （ 2018山 西 12分） (本 题 12 分 )综 合 与 实 践 问 题 情 境 ： 在 数 学 活 动 课 上 ， 老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 1， 在 矩 形 ABCD 中 ， AD=2AB， E 是 AB 延 长 线 上 一 点 ，且 BE=AB，连 接 DE，交 BC 于 点 M，以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正 方 形 DEFG， 连 接 AM 试 判 断 线 段 AM 与 DE 的 位 置
16、关 系 探 究 展 示 ： 勤 奋 小 组 发 现 ， AM 垂直平 分 DE， 并 展 示 了 如 下 的 证 明方法 ： 证明 ： B E A B, AE 2 AB AD 2 AB, AD AE 四边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD / / BC. EM EBM AB（ 依 据 ） BE AB ,1DM EM DM . 即 AM 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线 ， 又 AD AE, AM DE. （依 据 2） AM 垂直平 分 DE 反 思 交 流 ： (1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “ 依 据 1”“ 依 据 2” 分别是指什么 ？ 试 判 断 图 中 的 点 A
17、 是 否 在 线 段 GF 的 垂 直 平 分 上 ， 请 直 接 回 答 ， 不 必 证 明 ； (2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 ， 继 续 进 行 探 究 ， 如 图 2， 连 接 CE， 以 CE 为 一 边 在 CE 的左 下 方作 正 方 形 CEFG， 发 现 点 G 在线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 你 给 出 证 明 ； 探 索 发 现 ： (3)如 图 3，连 接 CE， 以 CE 为一边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG， 可 以 发 现 点 C，点 B 都在线 段 AE 的 垂 直 平 分 线 上 ， 除 此
18、之 外 ， 请 观 察 矩 形 ABCD 和 正 方 形 CEFG 的顶 点 与 边 ， 你 还 能 发 现 哪 个 顶 点 在 哪 条 边 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 写 出 一 个 你 发 现 的结论 ， 并 加 以 证 明 . 【 考 点 】 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 线 合 一 ， 正 方 形 、 矩 形 性 质 ， 全 等 【 解 析 】 (1) 答 ： 依 据 1： 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 （ 或 平 行 线 分 线 段 成比例 ） . 依 据 2： 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分
19、 线 ， 底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合 （ 或 等 腰 三 角 形的 “ 三线合 一 ”） . 答： 点 A 在 线 段 GF 的 垂 直 平分线 上 . (2) 证 明 ：过 点 G 作 GH BC 于 点 H， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ， CBE ABC GHC 90. 1+2=90. 四边 形 CEFG 为 正 方 形 ， CG CE, GCE 90.1 3 90. 2=3. GHC CBE. HC BE. 四边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD BC. AD 2 AB, BE AB, BC 2BE
20、2HC. HC BH. GH 垂直平 分 BC.点 G 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 （ 3） 答 ： 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 （ 或 点 F 在 AD 边 的 垂 直 平 分 线 上 ） . 证 法 一 ： 过 点 F 作 FM BC 于 点 M，过 点 E 作 EN FM 于 点 N. BMN ENM ENF 90. 四边 形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的延长 线 上 ， CBE ABC 90.四边 形 BENM 为矩 形 . BM EN , BEN 90. 1 2 90. 四边 形 CEFG 为 正 方 形 ， EF EC, CEF 9
21、0. 2 3 90. 1=3. CBE ENF 90, ENF EBC. NE BE. BM BE. 四边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD BC. AD 2 AB, AB BE. BC 2BM . BM MC. FM 垂 直 平 分 BC， 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 . 证 法 二 ： 过 F 作 FN BE 交 BE 的 延 长 线 于 点 N，连 接 FB， FC. 四边 形 ABCD 是矩形， 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ， CBE= ABC= N=90 . 1+ 3=90 . 四边 形 CEFG 为正方形 ， EC=EF， CEF=90 . 1+
22、2=90 . 2= 3. ENF CBE. NF=BE,NE=BC. 四边 形 ABCD 是矩形 ， AD=BC. AD=2AB， BE=AB. 设 BE=a， 则 BC=EN=2a,NF=a. BF=CF. 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 . 4 （ 2018山东菏泽 10分 ）问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以 “ 矩形纸片的剪拼 ” 为主题开展数学活动如图 1，将：矩形纸片 ABCD沿对角线 AC 剪开，得到 ABC 和 ACD并且量得 AB=2cm， AC=4cm 操作发现： （ 1）将图 1 中的 ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 ，使 =
23、BAC，得到如图 2 所示的 AC D，过点 C作 AC 的平行线，与 DC的延长线交于点 E，则四边形 ACEC 的形状是 菱形 （ 2）创新小组将图 1中的 ACD以点 A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 B、 A、 D 三点在同一条直线上，得到如图 3所示的 ACD ，连接 CC，取 CC 的中点 F，连接 AF并延长至点 G，使 FG=AF，连接 CG、 CG ，得到四边形 ACGC ，发现它是正方形，请你证明这个结论 实践探究： （ 3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 ABC沿着 BD 方向平移，使点 B与点 A重合，此时 A点平移至 A点， AC与 BC 相交
24、于点 H，如图 4所示，连接 CC ，试求 tan CCH 的值 【考点】 LO：四边形综合题 【分析】 （ 1）先判断出 ACD= BAC，进而判断出 BAC= ACD，进而判断出 CAC= ACD，即可的结论； （ 2）先判断出 CAC=90 ，再判断出 AG CC， CF=CF，进而判断出四边形 ACGC是平行四边形，即可得出结论； （ 3）先判断出 ACB=30 ，进而求出 BH， AH，即可 求出 CH， CH，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）在如图 1中， AC是矩形 ABCD的对角线， B= D=90 ， AB CD， ACD= BAC， 在如图 2 中，由旋转知， AC=A
25、C， ACD= ACD， BAC= ACD， CAC= BAC， CAC= ACD， AC CE， AC CE， 四边形 ACEC是平行四边形， AC=AC， ACEC是菱形， 故答案为：菱形； （ 2）在图 1中， 四边形 ABCD 是矩形， AB CD， CAD= ACB， B=90 ， BAC+ ACB=90 在图 3中，由旋转知， DAC= DAC， ACB= DAC， BAC+ DAC=90 ， 点 D， A， B在同一条直线上， CAC=90 ， 由旋转知， AC=AC， 点 F是 CC的中点， AG CC， CF=CF， AF=FG， 四边形 ACGC是平行四边形， AG CC，
26、 ACGC是菱形， CAC=90 ， 菱形 ACGC是正方形； （ 3）在 Rt ABC中， AB=2， AC=4， BC=AC=4， BD=BC=2 ， sin ACB= = ， ACB=30 ， 由（ 2）结合平移知， CHC=90 ， 在 Rt BCH中， ACB=30 ， BH=BCsin30= ， CH=BC BH=4 ， 在 Rt ABH中， AH= AB=1， CH=AC AH=4 1=3， 在 Rt CHC中， tan CCH= = 【点评】 此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出 CAC
27、=90 是解本题的关键 5 （ 2018株洲 市） 下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线 都垂直，垂足分别为点 A、点 B和点 C，（高速路右侧边缘）， 上的点 M位于点 A的北偏东 30 方向上，且 BM 千米， 上的点 N位于点 M的北偏东 方向上，且 ， MN= 千米，点 A和点 N是城际线 L上的两个相邻的站点 . （ 1）求 之间的距离 （ 2）若城 际火车平均时速为 150千米 /小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A到站点 N需要多少小时？（结果用分数表示） 【答案】（ 1） 2；（ 2） 小时 . 【解析】分析： （ 1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM的长即
28、可得出答案； （ 2）利用 tan30= ，得出 AB的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN的长，即可得出答案 详解： （ 1）过点 M作 MD NC于点 D， cos = ， MN=2 千米， cos = ， 解得： DM=2（ km）， 答： l2和 l3之间的距离为 2km； （ 2） 点 M位于点 A的北偏东 30 方向上，且 BM= 千米， tan30 = ， 解得： AB=3（ km）， 可得： AC=3+2=5（ km）， MN=2 km， DM=2km， DN= =4 （ km）， 则 NC=DN+BM=5 （ km）， AN= =10（ km）， 城际火车平均
29、时速为 150 千米 /小时， 市民小强乘坐城际火车从站点 A到站点 N需要 小时 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键 6（ 2018河南 10分） （ 1）问题发现 如图 1，在 OAB和 OCD中， OA=OB,OC=OD, AOB= COD=40 ，连接 AC， BD 交于点 M，填空： 的值为 _； AMB的度数为 _。 （ 2）类比探究 如图 2，在 OAB和 OCD中， AOB= COD=90 ， OAB= OCD=30 ，连接 AC交 BD 的延长线于点 M，请判断 的值及 AMB的度数，并说明理由； （ 3）拓展延伸 在（ 2）的条件下，将
30、OCD 绕点 O 在平面内旋转， AC， BD所在直线交于点 M，若 OD=1， OB= ，请直接写出当点 C与点 M重合时 AC的长。 7（ 2018广东广州 14分 ）如图，在四边形 ABCD中， B=60 ， D=30 ， AB=BC （ 1）求 A+ C的度数。 （ 2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由。 （ 3）若 AB=1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 ，求点 E运动路径的长度。 【答案】 （ 1）解：在四边形 ABCD 中， B=60 ， D=30 ， A+ C=360 - B- C=360 -60 -30=270 。 （ 2）解：
31、如图，将 BCD绕点 B逆时针旋转 60 ，得到 BAQ，连接 DQ， BD=BQ， DBQ=60 ， BDQ是等边三角形， BD=DQ， BAD+ C=270 ， BAD+ BAQ=270 ， DAQ=360 -270=90 ， DAQ是直角三角形 AD2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2 （ 3）解：如图，将 BCE绕点 B逆时针旋转 60 ，得到 BAF，连接 EF， BE=BF， EBF=60 ， BEF是等边三角形， EF=BE， BFE=60 ， AE2=BE2+CE2 AE2=EF2+AF2 AFE=90 BFA= BFE+ AFE=60+90=150 ， BEC=
32、150 ， 则动点 E 在四边形 ABCD内部运动，满足 BEC=150 ，以 BC 为边向外作等边 OBC， 则点 E是以 O为圆心， OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC， OB=AB=1， 则 BC= = 【考点】 等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的性质 【解析】 【分析】（ 1）根据四边形内角和为 360度，结合已知条件即可求出答案 . （ 2）将 BCD绕点 B逆时针旋转 60 ，得到 BAQ，连接 DQ（如图） ，由旋转性质和等边三角形判定得 BDQ是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得 DAQ 是直角三角形，根据勾股定理得 AD2
33、+AQ2=DQ2 ， 即AD2+CD2=BD2. （ 3）将 BCE 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 BAF，连接 EF(如图 )，由等边三角形判定得 BEF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得 AE2=EF2+AF2 ， 即 AFE=90 ，从而得出 BFA= BEC=150 ，从而得出点 E是在以 O为圆心， OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC，根据弧长公式即可得出答案 . 8（ 2018江苏扬州 12 分 ）问题呈现 如图 1，在边长为 1的正方形网格中，连接格点 D， N和 E， C， DN 和 EC 相交于点 P，求 tan CPN的值 方法归纳 求一个锐角的三
34、角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中 CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M， N，可得 MN EC，则 DNM= CPN，连接 DM，那么 CPN就变换到 Rt DMN中 问题解决 （ 1）直接写出图 1中 tan CPN的值为 2 ； （ 2）如图 2，在边长为 1的正方形网格中， AN 与 CM 相交于点 P，求 cos CPN 的值； 思维拓展 （ 3）如图 3， AB BC， AB=4BC，点 M 在 AB 上，且 AM=BC，延长 CB 到 N，使 BN=2BC，连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上
35、述方法构造网格求 CPN的度数 【分析】 （ 1）连接格点 M， N，可得 MN EC，则 DNM= CPN，连接 DM，那么 CPN就变换到 Rt DMN中 （ 2）如图 2中，取格点 D，连接 CD， DM那么 CPN 就变换到等腰 Rt DMC中 （ 3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可； 【解答】 解：（ 1）如图 1中， EC MN， CPN= DNM， tan CPN=tan DNM， DMN=90 ， tan CPN=tan DNM= = =2， 故答案为 2 （ 2）如图 2中，取格点 D，连接 CD， DM CD AN， CPN= DCM， DCM是等腰直角三角形，
36、DCM= D=45 ， cos CPN=cos DCM= （ 3）如图 3中，如图取格点 M，连接 AN、 MN PC MN， CPN= ANM， AM=MN， AMN=90 ， ANM= MAN=45 ， CPN=45 【点评】 本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题 9 （ 2018江苏盐城 10 分 ） （ 1）【发现】如图，已知等边 ，将直角三角形的 角顶点 任意放在 边上（点 不与点 、 重合），使两边分别交线段 、 于点 、 . 若 ， ， ，则 _； 求证：
37、._ （ 2）【思考】若将图中的三角板的顶点 在 边 上移动，保持三角板与 、 的两个交点 、 都存在，连接 ，如图所示 .问点 是否存在某一位置，使 平分 且 平分 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . （ 3）【探索】如图，在等腰 中， ，点 为 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 处（其中 ），使两条边分别交边 、 于点 、 （点 、 均不与 的顶点重合），连接 .设 ，则 与 的周长之比为 _（用含 的表达式表示） . 【答案】 （ 1）解： 4；证明： EDF=60 ， B=160 CDF+ BDE=120 ， BED+ BDE=120 ， BED= CDF， 又
38、B= C， （ 2）解：解：存在。如图，作 DM BE， DG EF， DN CF，垂足分别为 M， G， N， 平分 且 平分 ， DM=DG=DN， 又 B= C=60 ， BMD= CND=90 ， BDM CDN， BD=CD， 即点 D是 BC 的中点， 。 （ 3） 1-cos 【考点】 全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判 定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】（ 1） ABC是等边三角形， AB=BC=AC=6， B= C=60 ， AE=4， BE=2，则 BE=BD， BDE 是等边三角形， BDE=60 ，又 EDF=60
39、 ， CDF=180 - EDF- B=60 ，则 CDF =C=60 ， CDF是等边三角形， CF=CD=BC-BD=6-2=4。 （ 3 ）连结 AO，作 OG BE， OD EF， OH CF，垂足分别为 G， D， H， 则 BGO= CHO=90 ， AB=AC， O是 BC 的中点 B= C， OB=OC， OBG OCH， OG=OH， GB=CH， BOG= COH=90 ， 则 GOH=180 -（ BOG+ COH） =2 ， EOF= B= ， 则 GOH=2 EOF=2 ， 由（ 2）题可猜想应用 EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明）， 则 =AE+EF
40、+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG， 设 AB=m，则 OB=mcos ， GB=mcos2 , 【分析】（ 1）先求出 BE的长度后发现 BE=BD的，又 B=60 ，可知 BDE是等边三角形，可得 BDE=60 ，另外 EDF=60 ，可证得 CDF是等边三角形，从而 CF=CD=BC-BD； 证明 ，这个模型可称为 “ 一线三等角 相似模型 ” ，根据 “AA” 判定相似；（ 2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质 “ 角平分线上的点到角两边的距离相等 ” ，可过 D 作 DM BE， DG EF，DN CF，则 DM=DG=DN，从而通过证明 BDM CDN 可得
41、BD=CD；（ 3）【探索】由已知不难求得 =2(m+mcos)，则需要用 m 和 的三角函数表示出 ， =AE+EF+AF；题中直接已 知 O 是 BC 的中点，应用（ 2）题的方法和结论，作 OG BE， OD EF， OH CF，可得 EG=ED， FH=DF，则 =AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而 AG=AB-OB，从而可求得。 10（ 2018江西 12分 ） 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 (1)已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ，顶点坐标为 ， 该抛物线关于点 (0,1）成中心对称 的抛物线的表达式是 . 抽象感悟 我们定义：对于
42、抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关于 点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线”，点 为“衍生中心” . (2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 的取值范围 . 问题解决 (3) 已知抛物线 若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是 它们的顶点，求 的值及衍生中心的坐标； 若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ； (为 正整数 ).求 的长 (用含 的式子表示 ). xy备用图O【解析】 求解体验 (1)把 (-1,0)代入 得 顶
43、点坐标是 (-2,1) (-2,1)关于 (0,1)的对称点是 (2,1) 成中心对称的抛物线表达式是： xy1O即 (如右图 ) 抽象感悟 (2) 顶点是（ -1,6） (-1,6)关于 的对称点是 两抛物线有交点 有解 有解 (如右图 ) 问题解决 (3) = 顶点（ -1， ） 代入 得： 顶点（ 1， ） 代入 得： 由 得 xyOxy963O , 两顶点坐标分别是（ -1,0），（ 1,12） 由中点坐标公式得 “衍生中心”的坐标是（ 0,6） 如图， 设 , , 与 轴分别相于 , , . 则 , , ， 分别关于 , , 中心对称 . , 分别是 , 的中位线， ， , xyBnBkBn + 1B1AAn+1AnAkA1O
