1、细 说 因 式 分 解 的 14 种 方 法因 式 分 解 没 有 普 遍 的 方 法 ， 初 中 数 学 教 材 中 主 要 介 绍 了 提 公 因 式 法 、 公 式 法 。 而 在 竞 赛上 ， 又 有 拆 项 和 添 减 项 法 ， 分 组 分 解 法 和 十 字 相 乘 法 ， 待 定 系 数 法 ， 双 十 字 相 乘 法 ， 对 称多 项 式 轮 换 对 称 多 项 式 法 ， 余 数 定 理 法 ， 求 根 公 式 法 ， 换 元 法 ， 长 除 法 ， 除 法 等 。注 意 三 原 则1.分 解 要 彻 底 .2.最 后 结 果 只 有 小 括 号 .3.最 后 结 果 中
2、多 项 式 首 项 系 数 为 正 （ 例 如 ： 1332xx） .分 解 因 式 技 巧1.分 解 因 式 与 整 式 乘 法 是 互 为 逆 变 形 。2.分 解 因 式 技 巧 掌 握 ： 等 式 左 边 必 须 是 多 项 式 ； 分 解 因 式 的 结 果 必 须 是 以 乘 积 的 形 式 表 示 ； 每 个 因 式 必 须 是 整 式 ， 且 每 个 因 式 的 次 数 都 必 须 低 于 原 来 多 项 式 的 次 数 ； 分 解 因 式 必 须 分 解 到 每 个 多 项 式 因 式 都 不 能 再 分 解 为 止 。注 ： 分 解 因 式 前 先 要 找 到 公 因 式
3、， 在 确 定 公 因 式 前 ， 应 从 系 数 和 因 式 两 个 方 面 考 虑 。基 本 方 法 提 公 因 式 法各 项 都 含 有 的 公 共 的 因 式 叫 做 这 个 多 项 式 各 项 的 公 因 式 。如 果 一 个 多 项 式 的 各 项 有 公 因 式 ， 可 以 把 这 个 公 因 式 提 出 来 ， 从 而 将 多 项 式 化 成 两 个因 式 乘 积 的 形 式 ， 这 种 分 解 因 式 的 方 法 叫 做 提 公 因 式 法 。具 体 方 法 ： 当 各 项 系 数 都 是 整 数 时 ， 公 因 式 的 系 数 应 取 各 项 系 数 的 最 大 公 约 数
4、 ； 字 母取 各 项 的 相 同 的 字 母 ， 而 且 各 字 母 的 指 数 取 次 数 最 低 的 ； 取 相 同 的 多 项 式 ， 多 项 式 的 次 数取 最 低 的 。如 果 多 项 式 的 第 一 项 是 负 的 ， 一 般 要 提 出 “-”号 ， 使 括 号 内 的 第 一 项 的 系 数 成 为 正 数 。提 出 “-”号 时 ， 多 项 式 的 各 项 都 要 变 号 。提 公 因 式 法 基 本 步 骤 ：（ 1） 找 出 公 因 式 ；（ 2） 提 公 因 式 并 确 定 另 一 个 因 式 ： 第 一 步 找 公 因 式 可 按 照 确 定 公 因 式 的 方
5、法 先 确 定 系 数 在 确 定 字 母 ； 第 二 步 提 公 因 式 并 确 定 另 一 个 因 式 ， 注 意 要 确 定 另 一 个 因 式 ， 可 用 原 多 项 式 除 以 公 因式 ， 所 得 的 商 即 是 提 公 因 式 后 剩 下 的一 个 因 式 ， 也 可 用 公 因 式 分 别 除 去 原 多 项 式 的 每 一 项 ， 求 的 剩 下 的 另 一 个 因 式 ； 提 完 公 因 式 后 ， 另 一 因 式 的 项 数 与 原 多 项 式 的 项 数 相 同 。 口 诀 ： 找 准 公 因 式 ， 一 次 要 提 净 ； 全 家 都 搬 走 ， 留 1 把 家 守
6、； 提 负 要 变 号 ， 变 形 看 奇 偶 。例 如 ： -am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注 意 ： 把 2 + 1变 成 2( + 41)不 叫 提 公 因 式 公 式 法如 果 把 乘 法 公 式 反 过 来 ， 就 可 以 把 某 些 多 项 式 分 解 因 式 ， 这 种 方 法 叫 公 式 法 。平 方 差 公 式 ： 2ab=(a+b)(a-b)； 完 全 平 方 公 式 ： 2a2ab 2注 意 ： 能 运 用 完 全 平 方 公 式 分 解 因 式 的 多 项 式 必 须 是 三 项 式
7、， 其 中 有 两 项 能 写 成 两 个 数(或 式 )的 平 方 和 的 形 式 ， 另 一 项 是 这 两 个 数 (或 式 )的 积 的 2 倍 。立 方 和 公 式 ： 3ba=(a+b)( 2-ab+ )； 立 方 差 公 式 ： =(a-b)( +ab+ 2)；完 全 立 方 公 式 ： 33 2b 3a 2 3 =(ab) 公 式 ： 3a+b+c-3abc=(a+b+c)( + + 2c -ab-bc-ca)例 如 ： 2+4ab+4 2 =(a+2b) 。 分 组 分 解 法分 组 分 解 是 解 方 程 的 一 种 简 洁 的 方 法 ， 我 们 来 学 习 这 个 知
8、识 。能 分 组 分 解 的 方 程 有 四 项 或 大 于 四 项 ， 一 般 的 分 组 分 解 有 两 种 形 式 ： 二 二 分 法 ， 三 一分 法 。比 如 ： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我 们 把 ax 和 ay 分 一 组 ， bx 和 by 分 一 组 ， 利 用 乘 法 分 配 律 ， 两 两 相 配 ， 立 即 解 除 了 困难 。同 样 ， 这 道 题 也 可 以 这 样 做 。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几 道 例 题 ：1. 5ax+5bx+3ay+3by解 法 ： =
9、5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说 明 ： 系 数 不 一 样 一 样 可 以 做 分 组 分 解 ， 和 上 面 一 样 ， 把 5ax 和 5bx 看 成 整 体 ， 把 3ay和 3by 看 成 一 个 整 体 ， 利 用 乘 法 分 配 律 轻 松 解 出 。2. x - 2+x-1解 法 ： =( x3- )+(x-1) = 2 (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2+1)利 用 二 二 分 法 ， 提 公 因 式 法 提 出 x2， 然 后 相 合 轻 松 解 决 。3. 2-x-y -y解 法 ： =( -y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)
10、-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利 用 二 二 分 法 ， 再 利 用 公 式 法 a2-b =(a+b)(a-b)， 然 后 相 合 解 决 。 十 字 相 乘 法这 种 方 法 有 两 种 情 况 。 2x+(p+q)x+pq 型 的 式 子 的 因 式 分 解 这 类 二 次 三 项 式 的 特 点 是 ： 二 次 项 的 系 数 是 1； 常 数 项 是 两 个 数 的 积 ； 一 次 项 系 数 是 常数 项 的 两 个 因 数 的 和 。 因 此 ， 可 以 直 接 将 某 些 二 次 项 的 系 数 是 1 的 二 次 三 项 式 因 式 分 解 ：2x+(p+q)x+p
11、q=(x+p)(x+q) k +mx+n 型 的 式 子 的 因 式 分 解 如 果 有 k=ac， n=bd， 且 有 ad+bc=m 时 ， 那 么 kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)图 示 如 下 ：a d 例 如 ： 因 为 1 -3 c d 7 2 -37=-21， 12=2， 且 2-21=-19， 所 以 7 2x-19x-6=(7x+2)(x-3)十 字 相 乘 法 口 诀 ： 首 尾 分 解 ， 交 叉 相 乘 ， 求 和 凑 中 裂 项 法这 种 方 法 指 把 多 项 式 的 某 一 项 拆 开 或 填 补 上 互 为 相 反 数 的 两 项 （ 或 几 项 ），
12、 使 原 式 适 合于 提 公 因 式 法 、 运 用 公 式 法 或 分 组 分 解 法 进 行 分 解 。 这 钟 方 法 的 实 质 是 分 组 分 解 法 。 要 注 意 ，必 须 在 与 原 多 项 式 相 等 的 原 则 下 进 行 变 形 。例 如 ： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 配 方 法对 于 某 些 不 能 利 用 公 式 法 的 多 项 式 ， 可
13、以 将 其 配 成 一 个 完 全 平 方 式 ， 然 后 再 利 用 平 方差 公 式 ， 就 能 将 其 因 式 分 解 ， 这 种 方 法 叫 配 方 法 。 属 于 拆 项 、 补 项 法 的 一 种 特 殊 情 况 。 也要 注 意 必 须 在 与 原 多 项 式 相 等 的 原 则 下 进 行 变 形 。例 如 ： 2x+3x-40 = 2+3x+2.25-42.25 =225.6.1x =(x+8)(x-5) 应 用 因 式 定 理对 于 多 项 式 f(x)=0， 如 果 f(a)=0， 那 么 f(x)必 含 有 因 式 x-a例 如 ： f(x)= 2 +5x+6， f(-
14、2)=0， 则 可 确 定 x+2 是 +5x+6 的 一 个 因 式 。 (事 实 上 ，2x+5x+6=(x+2)(x+3) )注 意 ： 1、 对 于 系 数 全 部 是 整 数 的 多 项 式 ， 若 X=q/p（ p,q 为 互 质 整 数 时 ） 该 多 项 式 值 为零 ， 则 q 为 常 数 项 约 数 ， p 最 高 次 项 系 数 约 数 ；2、 对 于 多 项 式 f(a)=0,b 为 最 高 次 项 系 数 ， c 为 常 数 项 ， 则 有 a 为 c/b 约 数 换 元 法有 时 在 分 解 因 式 时 ， 可 以 选 择 多 项 式 中 的 相 同 的 部 分 换
15、 成 另 一 个 未 知 数 ， 然 后 进 行 因式 分 解 ， 最 后 再 转 换 回 来 ， 这 种 方 法 叫 做 换 元 法 。 注 意 :换 元 后 勿 忘 还 元 .例 如 在 分 解 ( 2x+x+1)( 2+x+2)-12 时 ， 可 以 令 y= 2x+x,则原 式 =(y+1)(y+2)-12 =y +3y+2-12=y +3y-10 =(y+5)(y-2)=( 2+x+5)( +x-2) =( +x+5)(x+2)(x-1) 求 根 法令 多 项 式 f(x)=0,求 出 其 根 为 x1， x， x3， xn，则 该 多 项 式 可 分 解 为 f(x)=(x-x1)
16、(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例 如 在 分 解 2x4+7x3-2x2-13x+6 时 ， 令 2x4 +7x3-2x -13x+6=0，则 通 过 综 合 除 法 可 知 ， 该 方 程 的 根 为 0.5 ， -3， -2， 1所 以 2x4+7x3-2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 图 象 法令 y=f(x)， 做 出 函 数 y=f(x)的 图 象 ， 找 到 函 数 图 像 与 X 轴 的 交 点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ， 则 多 项 式 可 因 式 分 解 为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)与 方
17、 法 相 比 ， 能 避 开 解 方 程 的 繁 琐 ， 但 是 不 够 准 确 。例 如 在 分 解 x3 +2 -5x-6 时 ， 可 以 令 y=x3; +2 -5x-6.作 出 其 图 像 ， 与 x 轴 交 点 为 -3， -1， 2 则 x3+2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主 元 法先 选 定 一 个 字 母 为 主 元 ， 然 后 把 各 项 按 这 个 字 母 次 数 从 高 到 低 排 列 ， 再 进 行 因 式 分 解 。 特 殊 值 法将 2 或 10 代 入 x， 求 出 数 p， 将 数 p 分 解 质 因 数 ， 将 质 因 数 适 当 的 组 合
18、 ， 并 将 组 合 后 的每 一 个 因 数 写 成 2 或 10 的 和 与 差 的 形 式 ， 将 2 或 10 还 原 成 x， 即 得 因 式 分 解 式 。例 如 在 分 解 x3+9 +23x+15 时 ， 令 x=2， 则x3 +9 2+23x+15=8+36+46+15=105， 将 105 分 解 成 3 个 质 因 数 的 积 ， 即 105=357 注 意 到 多 项 式 中 最 高 项 的 系 数 为 1， 而 3、 5、 7 分 别 为 x+1， x+3， x+5， 在 x=2 时 的 值 ，则 x3+9 2+23x+15 可 能 等 于 (x+1)(x+3)(x+
19、5)， 验 证 后 的 确 如 此 。 待 定 系 数 法首 先 判 断 出 分 解 因 式 的 形 式 ， 然 后 设 出 相 应 整 式 的 字 母 系 数 ， 求 出 字 母 系 数 ， 从 而 把 多项 式 因 式 分 解 。例 如 在 分 解 x4-x3-5 2-6x-4 时 ， 由 分 析 可 知 ： 这 个 多 项 式 没 有 一 次 因 式 ， 因 而 只 能分 解 为 两 个 二 次 因 式 。于 是 设 x4-x3-5 2-6x-4=( 2+ax+b)( 2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d) 2x+(ad+bc)x+bd 由 此 可 得 a+c=-1，a
20、c+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解 得 a=1， b=1， c=-2， d=-4则 x4-x3-5x -6x-4=(x +x+1)(x2-2x-4) 双 十 字 相 乘 法双 十 字 相 乘 法 属 于 因 式 分 解 的 一 类 ， 类 似 于 十 字 相 乘 法 。双 十 字 相 乘 法 就 是 二 元 二 次 六 项 式 ， 启 始 的 式 子 如 下 :ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、 y 为 未 知 数 ， 其 余 都 是 常 数用 一 道 例 题 来 说 明 如 何 使 用 。例 ： 分 解 因 式 ： x2+5xy+6y2+8x+18y+12分 析 ： 这
21、 是 一 个 二 次 六 项 式 ， 可 考 虑 使 用 双 十 字 相 乘 法 进 行 因 式 分 解 。解 ： 原 式 =(x+2y+2)(x+3y+6)双 十 字 相 乘 法 其 步 骤 为 ： 先 用 十 字 相 乘 法 分 解 2 次 项 ， 如 十 字 相 乘 图 中 x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 先 依 一 个 字 母 （ 如 y） 的 一 次 系 数 分 数 常 数 项 。 如 十 字 相 乘 图 中 6y +18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再 按 另 一 个 字 母 （ 如 x） 的 一 次 系 数 进 行 检 验 ， 如 十 字 相 乘 图 ，
22、 这 一 步 不 能 省 ， 否则 容 易 出 错 。 多 项 式 因 式 分 解 的 一 般 步 骤 如 果 多 项 式 的 各 项 有 公 因 式 ， 那 么 先 提 公 因 式 ； 如 果 各 项 没 有 公 因 式 ， 那 么 可 尝 试 运 用 公 式 、 十 字 相 乘 法 来 分 解 ； 如 果 用 上 述 方 法 不 能 分 解 ， 那 么 可 以 尝 试 用 分 组 、 拆 项 、 补 项 法 来 分 解 ； 分 解 因 式 ， 必 须 进 行 到 每 一 个 多 项 式 因 式 都 不 能 再 分 解 为 止 。也 可 以 用 一 句 话 来 概 括 ： “先 看 有 无
23、公 因 式 ， 再 看 能 否 套 公 式 。 十 字 相 乘 试 一 试 ， 分 组分 解 要 合 适 。 ”几 道 例 题1 分 解 因 式 (1+y) 2-2x (1+y2)+x4 (1-y) 2解 ： 原 式 =(1+y) +2(1+y)x (1-y)+x (1-y) -2(1+y)x (1-y)-2x (1+y2)（ 补 项 ）=(1+y)+x (1-y) -2(1+y)x2 (1-y)-2x (1+y )（ 完 全 平 方 ）=(1+y)+x2 (1-y) -(2x) =(1+y)+x (1-y)+2x(1+y)+x (1-y)-2x=(x2-x y+2x+y+1)(x -x y-
24、2x+y+1)=(x+1) -y(x -1)(x-1) -y(x -1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2 求 证 ： 对 于 任 何 实 数 x,y， 下 式 的 值 都 不 会 为 33：5432345 25解 ： 原 式 =(x5+3x4y)-(5x3y +15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y (x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x y +4y4)=(x+3y)(x2-4y )(x2-y )=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0 时 ， 原 式 =x5 不 等 于 33； 当 y
25、 不 等 于 0 时 ， x+3y， x+y， x-y， x+2y， x-2y 互 不相 同 ， 而 33 不 能 分 成 四 个 以 上 不 同 因 数 的 积 ， 所 以 原 命 题 成 立 。3. ABC 的 三 边 a、 b、 c 有 如 下 关 系 式 ： -c2+a +2ab-2bc=0， 求 证 ： 这 个 三 角 形 是等 腰 三 角 形 。分 析 ： 此 题 实 质 上 是 对 关 系 式 的 等 号 左 边 的 多 项 式 进 行 因 式 分 解 。证 明 ： -c2+a +2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、
26、 b、 c 是 ABC 的 三 条 边 ， a 2b c 0 a c 0，即 a c， ABC 为 等 腰 三 角 形 。4 把 -12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分 解 因 式 。解 ： -12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1) 四 个 注 意初 中 的 数 学 主 要 是 分 代 数 和 几 何 两 大 部 分 ， 两 者 在 中 考 中 所 占 的 比 例 ， 代 数 略 大 于 几 何代 数 主 要 有 以 下 几 点 ：1.有 理 数 的 运 算 ， 主 要 讲 有 理 数 的
27、 三 级 运 算 （ 加 减 乘 除 和 乘 方 开 方 ） 在 这 里 要 注 意 数 字和 字 母 的 符 号 意 识 ， 就 是 ， 不 要 受 小 学 数 字 的 影 响 ， 一 看 见 字 母 就 不 会 做 题 了 。2. 整 式 的 三 级 运 算 ， 注 意 符 号 意 识 的 培 养 ， 还 有 就 是 因 式 分 解 ， 这 和 整 式 的 乘 法 是 互 换的 ， 注 意 像 平 方 差 公 式 和 完 全 平 方 公 式 的 正 用 、 逆 用 和 变 形 用 。3. 方 程 ， 会 一 元 一 次 、 二 元 一 次 、 三 元 一 次 、 一 元 二 次 四 种 方
28、 程 的 解 法 和 应 用 ， 记 住 ，方 程 是 一 种 方 法 ， 是 一 种 解 题 的 手 段 。4. 函 数 ， 会 识 别 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 的 图 像 ， 记 住 他 们 的 特 征 ， 要 会 根 据条 件 来 应 用 。 尤 其 要 注 意 二 次 函 数 ， 这 是 中 考 的 重 点 和 难 点 。 应 用 题 里 会 拿 它 来 出 一 道 难题 的 几 何 主 要 有 以 下 几 点 ：1.识 别 各 种 平 面 图 形 和 立 体 图 形 ， 这 你 应 该 非 常 熟 悉 。2.图 形 的 平 移 、 旋 转 和 轴
29、对 称 ， 这 个 考 察 你 的 空 间 想 象 的 能 力 ， 多 做 一 些 题 。3.三 角 形 的 全 等 和 相 似 ， 要 会 证 明 ， 注 意 要 有 完 整 的 过 程 和 严 密 的 步 骤 ， 背 过 证 明 三 角形 全 等 的 五 种 方 法 和 证 明 相 似 的 四 种 方 法 ； 还 有 像 等 腰 三 角 形 、 直 角 三 角 形 和 黄 金 三 角 形的 性 质 ， 要 会 应 用 ， 这 在 证 明 题 中 会 有 很 大 的 帮 助 。4.四 边 形 ， 把 握 好 平 行 四 边 形 、 长 方 形 、 正 方 形 、 菱 形 和 梯 形 的 概 念 ， 选 择 体 里 会 拿 着它 们 之 间 的 微 小 差 异 而 大 做 文 章 ， 注 意 它 们 的 判 定 和 性 质 ， 证 明 题 里 也 会 考 到 。5.圆 ， 我 这 里 没 有 细 学 ， 因 为 这 里 不 是 我 们 中 考 的 重 点 ， 但 是 圆 的 难 度 会 很 大 ， 它 的 知识 点 很 多 、 很 碎 ， 圆 的 难 题 就 是 由 许 许 多 多 细 小 的 点 构 成 的 。
