1、基于维纳过程的发动机多阶段剩余寿命预测 黄亮 刘君强 贡英杰 南京航空航天大学民航学院 摘 要： 针对目前航空发动机的剩余寿命预测研究没有综合考虑非线性与多阶段的问题, 提出了基于多阶段非线性维纳过程的航空发动机实时剩余寿命预测的方法。该方法融合了同类型发动机的历史性能退化监测数据与个体发动机的实时监测数据。首先考虑了发动机性能退化非线性的特点, 并采用多阶段维纳过程建立航空发动机的性能退化模型。然后, 根据发动机的历史性能监测数据, 利用极大似然估计和一维搜索方法进行参数先验分布的估计。其次, 根据监测的个体发动机实时性能退化数据, 运用 Bayes 方法对模型参数进行更新。最后, 得到个体
2、发动机剩余寿命的实时预测值。通过实例验算, 与传统的基于单阶段线性Wiener 过程的剩余寿命预测进行对比, 结果表明该方法预测结果更准确。关键词： 剩余寿命; 多阶段; 非线性; 维纳过程; 实时预测; Bayes 方法; 作者简介：刘君强, E-mail:, 男, 博士, 副教授, 硕士生导师。主要研究方向:交通信息工程及控制。作者简介：黄亮男, 硕士研究生。主要研究方向:交通信息工程及控制。收稿日期：2017-06-06基金：国家自然科学基金与民航联合基金 (U1533128) Multi-phase Residual Useful Life Prediction of Aeroengi
3、nes based on Nonlinear Wiener ProcessHUANG Liang LIU Junqiang GONG Yingjie College of Civil Aviation, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics; Abstract： There are few models that considered the nonlinear variability and multi-phase variability simultaneously in estimating the residual use
4、ful lifetime (RUL) of aeroengines, so a method for forecasting the residual useful lifetime of aeroengines based on multi-phase nonlinear Wiener process is proposed. This method can effectively fuse the historical degradation data of the same type of aeroengines with the real-time degradation data o
5、f the individual aeroengine. Firstly, the nonlinearity of performance degradation is considered, and the performance degradation model of aeroengines is established by multi-phase nonlinear Wiener process. Secondly, according to the historical performance monitoring data of the aeroengines, the maxi
6、mum likelihood estimation and one-dimensional search method are used to estimate the prior distribution of the parameters. Thirdly, according to the real-time performance degradation data of individual aeroengine, the Bayesian method is used to update the model parameters. Finally, the real-time pre
7、dictions of the residual useful lifetime of the individual aeroengine are obtained. By the test of the actual data, the results show that the proposed method is more accurate than the traditional residual life prediction based on the single-phase linear Wiener process.Keyword： residual useful lifeti
8、me; multi-phase; nonlinear; wiener process; bayesian method; real-time prediction; Received： 2017-06-06由于航空发动机具有高可靠性、运行周期长的特点, 我们难以在较短的时间内获得足够多的发动机故障数据, 因此传统的基于统计故障数据的寿命预测方法并不适用1-2。随着系统复杂程度的提高, 传统的基于失效机理模型的寿命预测方法难以建立相应准确的数学模型以描述系统的失效过程3-4。基于统计性能退化监测数据的方法只需要运行过程中产生的退化数据, 不必建立精确的数学模型, 具有较高的计算优势。目前, 基于
9、统计性能退化数据的寿命预测是研究的热门5-6, 并且已经研究出多种性能退化模型, 例如随机系数模型7、随机过程模型8-9、随机滤波模型10等。基于统计性能退化监测数据的寿命预测方法, 利用退化过程的随机性求出剩余寿命的概率分布情况, 便于反映预测结果的随机性。在基于随机过程模型中, 最常使用 Wiener 过程。Wiener 过程便于描述系统因受到外部环境影响、内部的状态改变以及负载情况, 而具有随机的非单调独立增量过程11。由于 Wiener 过程可以用来描述随机的非单调独立增量过程, 因此目前大量采用 Wiener 过程对复杂系统进行性能退化建模12。通常所说的 Wiener 过程是指具有
10、线性漂移系数的一类随机过程13-14。Wang 等15提出了基于期望最大化 (EM) 算法的性能退化模型参数估计方法。上述研究丰富了 Wiener 过程在剩余寿命预测领域中的应用, 但还存在着如下几个问题:1) 假设系统的性能退化过程是关于时间的线性函数, 或运用某些尺度转换方法将非线性关系转化为线性关系16。例 Gebraeel 等17采用取对数方法将指数退化模型转变为一般的线性退化模型。然而, 还有很多非线性退化过程无法转换为线性的, 例如航空发动机, 其性能退化过程具有明显的非线性特点, 直接建立非线性退化模型更满足实际情况。Si 等18采用非线性 Wiener 过程来对复杂系统的剩余寿
11、命进行研究。2) 在目前的剩余寿命预测研究中, 很少有关于基于多阶段退化建模的研究。刘君强等19提出利用多阶段的 Wiener 过程对航空发动机的剩余寿命进行预测, 实验结果表明发动机的退化过程具有多阶段性。3) 如何体现个体性能退化的差异性。由于环境、材料、误差等影响, 同类型产品的性能退化过程存在着差异性, 在产品的剩余寿命预测中需要考虑个体性能退化的差异性。刘君强等19提出性能退化模型参数具有随机性, 服从高斯-伽马分布, 从而反映出个体退化的差异性。针对以上存在的这几个问题, 本文根据航空发动机性能退化具有非线性、多阶段的特点, 提出了基于多阶段非线性 Wiener 过程的航空发动机性
12、能退化模型。根据多个同类产品历史性能退化监测数据, 利用极大似然估计与一维搜索方法, 进行参数先验分布的估计, 在获取到个体发动机的实时性能退化监测数据后, 然后运用 Bayes 方法对模型参数的后验分布进行实时更新, 从而实现对个体发动机剩余寿命的实时精确预测。1 剩余寿命预测模型1.1 模型分析与假设通过分析航空发动机具有复杂多阶段非线性的性能退化特点, 本文将采用多阶段非线性的 Wiener 过程建立性能退化模型。在该非线性 Wiener 过程中漂移系数不再与时间无关, 而是关于时间 t 的非线性函数。基于非线性 Wiener 过程的性能退化模型表示为:式中:X (t) 表示在时刻 t
13、的性能退化量;u (t;) 表示非线性 Wiener 过程的漂移系数; 表示扩散系数;B (t) 是标准布朗运动。当 u (t;) u 时, 上述非线性性能退化模型就转化为一般的线性 Wiener 退化模型。为了通过实际发动机监测数据进行实例的验证, 根据文献8, 本文假设 u (t;) urt, 此时的非线性退化模型变为:利用 Wiener 过程进行多阶段非线性的退化建模需要做出以下几条假设:假设 1 当性能退化量没有超过失效阈值时, 发动机处于正常状态。超过失效阈值时, 则发动机处于失效状态。假设 2 性能退化过程以固定的分界值进行划分, 并且各阶段的性能退化过程均服从非线性 Wiener
14、 过程。假设 3 为描述航空发动机性能退化的个体差异性, 将模型参数 u, 视为随机变量, 设 w=1/, 可得 u, w 的联合分布是高斯-伽玛分布:式中:a、b、c、d 是 u, w 联合分布中的参数。假设 4 具有多台同型号航空发动机的历史性能退化监测数据以及每台发动机的性能退化量到达各个阶段分界值的时间。1.2 多阶段性能退化模型多阶段的性能退化模型可以表示为:式中:I (t) 表示示性函数;X (0) 为性能退化模型的初始值;X (t i) 为每个性能退化阶段的分界值;t i为到达每个性能退化分界值的时间。根据上述分析与假设, 可以使用多阶段非线性的 Wiener 过程来描述航空发动
15、机的退化过程。此时, X (t) 表示为:式中:W k表示第 k 个性能退化阶段的分界值。1.3 剩余寿命分布推导剩余寿命 Lt是指产品从当前时刻 t时的性能退化量 X (t) 到其第一次超过失效阈值 Wn的时间, 剩余寿命 Lt可以定义为:式中:L t表示 t时刻的剩余寿命;X (t) 和 X (tt) 分别表示在 t和 tt 时刻的性能退化量;W n表示失效阈值。由于该性能退化模型具有非线性的特点, 难以得到剩余寿命 Lt的准确分布。为此, Si 等8给出了剩余寿命概率密度函数的一个近似表达式。航空发动机的剩余寿命 Lt的概率密度函数可以表示为:式中:1.4 剩余寿命预测的多阶段性令 k表
16、示航空发动机性能退化量 X (t) 从初始时刻到其第一次超过第 k 个性能退化阶段分界值 Wk的时间, k可以表示为:根据 Wiener 过程的齐次马尔科夫性质, 则 k可以改写为:式中:X (t) 表示第 k 个阶段的性能退化模型; , 其中 uk、r k和 k表示第 k 个阶段性能退化模型的参数。令 , 则上式 (9) 可以改写为:根据公式 (7) 可得第 k 个性能退化阶段的寿命分布函数为:由公式 (11) 可以推导出航空发动机寿命 T 可以表示为:由于 , 因此航空发动机寿命 T 的期望可以表示为:当 t时刻的性能退化量 X (t) 满足要求 , Lt可以表示为:2 参数估计由于很难直
17、接估算出未知超参数 (a, b, c, d) 的值, 本文将采用两阶段方法进行估计。首先, 根据现有的航空发动机的历史退化监测数据, 利用极大似然估计与一维搜索方法估算出一组 (u, ) 的值。然后, 根据估算出的一组 (u, ) 的值, 再利用极大似然估计方法估算出 (a, b, c, d) 的值。2.1 第一阶段参数估计假设现在共有 m 个同类型的航空发动机的性能退化监测数据, 其中第 i 个发动机的第 k 个阶段的监测时刻记为 , 与此时刻相对应的性能退化监测数据记为根据多阶段非线性维纳过程的性质, 可知 , 式中 uik、r k、 ik是第 i 个发动机的第 k 个阶段的维纳过程的未知
18、参数, 可求得参数基于第 i 个个体发动机的第 k 个阶段的退化监测数据的对数似然函数为:式中:y ik|j表示第 i 个个体在第 k 个阶段的第 j 次监测值;t i|k-1表示第 i 个个体到达第 k1 个阶段分界值的时间。先固定未知参数 kr, 对 求偏导, 计算结果为:根据上式 (15) 进一步可求得 m 个航空发动机的退化模型参数 的完全对数似然函数为:将上式 (16) 求得的 代入上式 (17) , 可求得关于 rk的轮廓似然函数, 然后利用一维搜索方法可得 rk的估计值, 然后将 rk再代入上式 (16) , 可得 的一组估计值。2.2 第二阶段参数估计利用第一阶段求得的一组 (
19、u 1k, w1k) , (u2k, w2k) , (umk, wmk) 来估计参数 (a, b, c, d) , 其中 由式 (3) 可得 a, b, c, d 的似然函数为:极大化 l (a, b, c, d|uik, wik) , 求得参数 (a, b, c, d) 的估计值:3 基于 Bayes 的模型参数的更新由于材料、环境等外界因素的影响, 同一型号发动机的性能退化路径存在着个体的差异性。本文利用 Bayes 方法, 结合个体航空发动机的实时退化监测数据, 对退化模型的参数进行实时更新。将 记作为个体发动机的第 k 个性能退化阶段的实时退化监测数据。当获得个体发动机实时性能退化数据
20、后, 根据 Bayes 方法可得第 k 个性能退化阶段的参数 uk, wk的后验分布为:式中: 表示个体发动机第 k 性能退化阶段模型参数的后验分布函数;f (uk, wk) 为第 k 性能退化阶段的模型参数 uk, wk的先验分布函数;为似然函数。根据文献20中共轭先验分布的性质, 个体发动机第 k 个性能退化阶段中的模型参数 uk, wk更新后的后验分布表达式为:式中:式中:t k1表示发动机到达第 k1 个性能退化阶段分界值的时间。由于参数 u, w 的联合分布是高斯-伽玛分布, 所以, 经 Bayes 更新后的 uk, wk的后验分布期望为:4 个体发动机的实时剩余寿命预测根据发动机的
21、历史性能监测数据和单台发动机的实时监测数据, 建立多阶段航空发动机性能退化模型。首先利用极大似然估计和一维搜索方法, 求得相应的参数先验分布估计, 当获取到个体发动机的实时性能退化监测数据后, 运用Bayes 方法对参数估计值进行更新。剩余寿命预测的具体步骤如下图 1 所示:图 1 剩余寿命的预测流程 Fig.1 The prediction process of the remaining life 下载原图步骤 1 基于历史性能退化数据, 根据式 (14) 建立退化模型的对数似然函数, 利用极大似然与一维搜索方法估算出模型参数的先验分布。步骤 2 当获取到个体发动机的实时性能退化监测数据后
22、, 运用 Bayes 方法, 根据式 (20) (21) (22) 对发动机性能退化模型参数进行实时更新。步骤 3 根据式 (23) 可以求得发动机性能退化模型中的参数 u, 的后验分布的期望估计值。步骤 4 根据式 (11) (13) (14) 多阶段非线性 Wiener 过程的寿命预测方法, 求得个体发动机实时的剩余寿命。5 实例验证排气温度 (EGT) 是监测发动机性能的关键指标。下表 1 给出了 7 台同类型的航空发动机在全寿命周期内监测的 EGT 数据。为了验证多阶段非线性 Wiener 过程在航空发动机剩余寿命预测中的准确性, 选择下表 1 中前 5 台发动机的 EGT 历史监测数
23、据用作先验参数估计, 后面两台发动机的 EGT 监测数据用作实时更新。根据发动机厂商设定, EGT 的失效阈值为 75。表 1 某型号发动机 EGT 监测数据 Table 1 A model engine EGT monitoring data 下载原表 下图 2 给出了该 7 台发动机的性能退化路径。从下图 2 可知, 在 040 C 时, EGT 的上升速度较慢, 40 C75 C 时, EGT 上升速度加快。基于上述分析, 可以假设航空发动机的性能退化分界值为 =40 C。此时, 可采用两阶段非线性的Wiener 过程进行退化建模。图 2 航空发动机退化路径 Fig.2 Degradat
24、ion path of the aeroengines 下载原图根据表 1 中给出的航空发动机历史 EGT 监测数据, 利用极大似然估计方法和一维搜索方法, 即可得到发动机性能退化模型各阶段参数先验分布的估计值, 下表 2 列出了参数的估计结果。表 2 超参数的先验估计结果 Table 2 Estimations for prior hyper parameters 下载原表 从表 2 的参数估计结果可知, 该型号发动机在不同阶段的退化速率存在着明显的差异, 进一步说明了发动机的退化过程具有多阶段的特点。在计算求得航空发动机各阶段性能退化模型参数的先验分布后, 可以运用Bayes 方法, 基于
25、实时性能退化数据对模型参数的后验分布进行更新。下面以编号为 6 的发动机为例, 在获得实时性能退化监测数据后, 经 Bayes 更新后的模型参数估计结果如下表 3、4 所示, 表 3 为经 Bayes 更新后的参数第一阶段估计结果, 表 4 为经 Bayes 更新后的参数第二阶段估计结果。表 3 Bayes 更新后的参数第一阶段估计结果 Table 3 Updated hyper parameters of the first stage based on Bayesian method 下载原表 表 4 Bayes 更新后的参数第二阶段估计结果 Table 4 Updated hyper parameters of the second stage based on Bayesian method 下载原表
