1、1小学教师说“概率” 南京市秦淮区教师进修学校吴春平“概率论与数理统计”是历年来考研中数学三大内容之一(高数、线性代数、概率论与数理统计),作为高校数学的重要内容,伴随着新课改部分基本内容分层次的下移到初中、小学教材,这是因为“统计与概率”在科研、生产、生活中有极其广泛地用途, “统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的推断和预测。何为概率?多年来我有幸在小、初、高中及高校数学教材中游戈,谈谈对概率的肤浅认识。高中教材定义比较形象：“一般地，在大量重复进行同一实验时，事件 A 发生的频率总是接
2、近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P（A） 。mn”高校教材定义更加严谨：“设 E 是随机实验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件A 赋予一个实数，记为 P（A） ，称为事件 A 的概率，如果集合函数 P（）满足下列条件： 非负性：对于每一个事件 A，有 P（A）0； 规范性：对于必然事件 S，有 P（S）=1; 可列可加性：设 A ，A ，是两两互不相容的事件，即对于 i j, A A 为空集12 iji,j=1,2,则有 P（A A ）=P（A ）+P(A )+12综观小学至高校教材，尽管“概率”在学生发展的不同阶段有不同的要求，但学习内容非常有
3、序，犹如阅读历史长卷，一气呵成，非常流畅。概括地说，义务教育阶段，重在渗透与学生的体验，因而游戏、实验唱主角；高中阶段，重在应用和抽象概括，特别在学生学习了排列、组合之后，应用比较广泛,注重考察的是学生应用概率知识解决实际问题的能力;高校重在理论的证明和系统地学习，以及更为广泛地应用（理工科类要求） ，特别在学生学习了微积分后，证明更加缜密，应用更加广泛。 具体地说：一在第一学段(13 年级),主要是让学生初步感受事件发生的不确定性和可能性,注重的是学生对不确定性和可能性的直观感受。如:让学生讨论下列现象中哪些是确定的:月亮绕着地球转,下周的球赛我队会赢。教师在教学中应鼓励学生使用“可能”或“
4、不可能”这样的词语来进行描述和表达;另外,教师要有意识地寻找一些带有感情色彩的事件让学生来判断其发生的可能性,让学生认识到对于某一客观事件来说,其发生的可能性与个人的愿望无关。第一学段只要求学生能够用一些诸如“一定” “经常” “偶然” “不可能” “可能”等词语来描述事件发生的可能性,并不要求学生求出可能性的具体大小。比如,“从一只装有 5个红球和 1 个黑球的袋子里摸一个球”,只要求学生能够回答诸如“摸到黑球和红球的可能性一样吗?摸到什么颜色球的可能性大些?” “小芳说很可能摸到红球,小东说不可能摸到黄球,你是怎样看到的?”等问题。二第二学段(46 年级)的总体目标是:进一步体会事件发生可
5、能性的含义,并能计算一些简单事件发生的可能性。具体目标是体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性。要求教师通过大量丰富的例子和活动让学生体会事件发生的等可能性,丰富对等可能性的理解,教师可以组织学生通过实验来验证某些事件发生的等可能性。如:一只袋子装有 5 个完全一样的球,每个球上分别标有 1,2,3,4,5,小芳和小军轮流从袋子中摸一个球,然后放回,规定:如果摸到球的号码大于 3,则小军赢;否则,小芳赢。你认为这种游戏公平吗?你觉得如何修改游戏规则,才能保证游戏公平合理?要求学生能够计算一些简单事件发生的概率,这2是对可能性的研究从定性化到定量化。如:在一个正方体的 6 个面上分别标上数字
6、,使得“2” 朝上的可能性是多少?能设计一个方案,符合指定的要求。例如,要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球,使得从袋中摸到一个红球的概率为 ,可以怎样放球?15这个问题本身是一个非常开放的问题,最简单的一种方法就是在袋中放入 1 个红球和 4 个黑球。还可以继续引申为:在袋中放入球的数量只要满足红球与黑球数量的比为 1:4 就可以了,比如红球与黑球的数量可以分别为 3 和 12,5 和 20 等。更发散一些,只要满足红球与非红球的数量之比为 1:4 就可以了,比如 1 个红球、1 个黄球、1 个黑球、2 个白球。三 第三学段(79 年级)的总体目标是：进一步体会概率的意义，能计算
7、简单事件发生的概率。具体目标为：体会概率的意义，了解频率与概率的关系。随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。本学段要求学生在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进行体会， “知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。 ”让学生经历“猜测结果进行实验分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉。学生具有一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。要实现这一目标，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自动手
8、进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。如讨论下面掷硬币游戏的公平性：小红和小军在做掷硬币的游戏，任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小红获胜，如果两次朝上的面不同，那么小军获胜。这个游戏公平吗？先猜测，后游戏，使学生亲身经历实验，通过实验结果修正自己的想法，大量实验后，四种情况出现的频率都会稳定在同一个数值上。学习利用列举法计算事件发生的概率。2005 年南京的中考数学试卷（有关概率部分）非常准确地把握了学生的学习目标。如：选择题：随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是A B. C. D. 114 12 34分析：这是等可能性事件的概率，随
9、机掷一枚均匀的硬币两次可能出现的结果共有4 种，且这 4 种结果出现的可能性都相等，则 P（A）= 。14再如第四大题第 2 小题：一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B、C、D 三人随机坐到其它三个座位上，求 A 与 B 不相邻而坐的概率。分析：这也是等可能性事件的概率，由于 A 的位置确定，B、D、C 随机而坐的情况共有 6种（用列举法很容易得到） ，6 种情况出现的可能性相同，其中 A 与 B 不相邻而坐的情况共有两种，故所求概率为P（A）= =2613四高中阶段：主要是初步介绍了事件的概率的概念及其计算，具体学习了“等可能性事件的概率” ；“互斥事件有一个发生的概率” ；
10、“相互独立事件同时发生的概率” ；圆 桌AaAAAAAA3“在 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率” 。2005 年江苏高考数学试卷（有关概率部分） ，就非常清晰地反映了目标要求。如：解答题中第 2 小题： “甲、乙两人各射击 1 次，击中目标的概率分别是 和 .假如两人射23 34击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。（）求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率；（）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；（）假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击。问“乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是
11、多少？分析：（） 由题意“每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。 ”可知， 甲射击 4 次，就是相当于作了 4 次独立的重复的实验。设“ 甲连续射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的”为事件 A，则P（A）=1P（ ）=1 = _)32(6581（） 设“甲射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次” 为事件 ， “乙射击 4 次， 1A恰好击中目标 3 次”为事件 ，A则 P( )=C =6 = ，1A24)(224)149 19827P（ ）= C = ，234334)(2764由题意“两人射击是否击中目标，相互之间没有影响”可知，甲、乙射击相互独立，故：P( )= = 。即两人各射击
12、 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击1A2827 276418中目标 3 次的概率为 。18（）设“乙恰好射击 5 次后，被中止射击”为事件 B，乙第 i 次射击击中目标”为事件 （i=1, 2，3，4，5） ，又根据题意可知，各事件相互独立，故：iA1 = ， 1- P（ ）=（1- ）= ，3414 21_A14 14 1516P（B）= P（ ）P（ ）P（ ）= = 。1516 34_5_1516 34 14 14 4510244即，乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是 。451024五本科阶段：（理工科）系统的学习“概率论与数理统计” ，把它作为“研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科”来研究，主要概型有：古典概型、几何概型、贝努利概型；主要内容有：一维随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数学特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概率、参数估计和假设检验。以上仅从小学教师的角度谈对概率的肤浅认识,随着新课改整体进入第二学段，新课改对教师的专业化的要求愈来愈高，特别在原小学数学知识体系中增加的学习内容，如“空间与图形” 、 “统计与概率” ，作为一名小学数学教师，要超脱“小学”看小学,只有这样才能让新课改注入更多的内涵.
