1、分式方程典型例题例 1甲、乙二人同时从 A 地前往距 A 地 30 千米的 B 地，甲比乙每小时快 2 千米，结果比乙先到半小时，若设乙的速度为 x千米/小时，则可列出的方程为（ ）A 2130x B 2130C D x例 2某校学生进行急行军，预计行 60 千米的路程可在下午 5 点钟到达，后来由于每小时加快速度的 51，结果于 4 点钟到达，这时的速度是多少？例 3甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作 3 天，剩下的由乙单独来做，那么再有 1 天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的 2 倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？例 4某工人现在平均每天比计划多做 2
2、0 个零件，已知现在做 4000 个 零件和原计划做 3000 个零件所用的时间相同，问现在平均每天做多少个？例 5 A、B 两地相距 7 千米，甲由 A 地走向 B 地，刚走完了 1 千米到达 C，在 A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在 D 处追上甲后又立即返回，当乙回到 A 地时，甲正好到了 B 地，求 C、D 间的距离. 例 6编一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并解答，编写要求. （1）要联系实际生活，其解符合实际. （2）根据题意列出的分式方程只含有两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程. （3）题目完整，题意清楚. 参考答案例 1分析 1
3、 比较分母的大小判断分式的值的大小，知 A、C 左边均为负数，不可能与右边相等，故应排除 A、C. 又，根据题设，甲的速度为 )2(x千米/小时，在 D 式中没出现 2x，故排除 D. 分析 2 按列方程解应用题的常规办法列方程得 B 式（详细分析过程从略）解答 B例 2分析 此为行程问题. 基本关系式为：路程速度时间. 本题欲求速度，则设原计划速度为 x千米/时，而实际速度为 x)51(千米/时，所以，计划时间 x60时，实际时间 )51(60时，以时间关系为相等关系来列方程. 解答 设原计划速度为 x千米/时， （务必写明意义和单位）则实际速度为 )(千米/时，依题意，得1)5(60x化为
4、整式方程，得 2 10x经检验： 是原方程的根. 则 2)5(答：这时的速度为 12 千米/时. 说明 对于行程问题，已知距离求速度，以时间为相等关系.例 3分析 此题为总工作量为 1 的工程问题. 设甲单独做需 x天，则乙单独做需x2天，甲每天的工作量为 x，乙每天的工作量为 x2，依题意可列出仅含一个未知数 x的分式方程，于是问题得解. 解答 设甲单独做需 天，则乙单独做需 天，依题意，得12)1(3x解这个方程，得 5经检验知 x是原方程的解. 102x. 答：甲单独做需 5 天，乙单独做需 10 天. 说明 工作总量看做 1 的工程问题，通常以工作总量为相等关系. 例 4分析 此为工作
5、总量不为 1 的工程问题，要求效率，设现在平均每天做 x个，计划每天做 )20(x个，现在做 4000 个所用的时间为 x40天，计划生产 3000 个所用时间为 3天，以时间为相等关系可求解. 解答 设现在每天生产 x个零件，计划每天生产 )20(个零件，依题意，得204x去分母，整理得 81 0x经检验 是原方程的解. 答：现在平均每天做 80 个零件. 说明 总工作量不是 1 的工程问题已知总工作量，求工作效率，通常以时间为等量关系. 工作时间 工 作 效 率工 作 总 量. 例 5分析一 甲自 C 到 D 所行的时间与乙自 A 到 D 所行的时间相同，甲自 C 到 B 所行的时间与乙自
6、 A 到 D 再回到 A 所用的时间相同. 如图示：解答一 设甲的速度是每小时 x千米，乙的速度是每小时 y千米，又设 CD 的距离是s千米，依题意，得 ysx)1(26,两式相除，消去 、 ，得 3s. 分析二 甲自 C 到 D 所行的时间与乙自 A 到 D 所行的时间相同，甲自 D 到 B 所行的时间与乙自 D 到 A 所行的时间相同. 解答二 设甲的速度是每小时 x千米，乙的速度是每小时 y千米，又设 CD 的距离是s千米，于是得方程组 .16,ysx两式相除，消去 、 ，得 3. 分析三 由于甲自 C 到 D 所行的时间与乙自 A 到 D 所行的时间相同，甲自 D 到 B 所行的时间与
7、乙自 D 到 A 所行的时间相同. 而 则 BC即 D 为 CB 中点. 解答三 设 CD 的距离 s，于是得 .712s解得 3s. 说明 为列方程起见，第一、二种解法增设了甲乙二人的速度，它们在求解过程中自行消失. 而在列方程过程中降低了思维难度，为列方程起到很好的辅助作用. 第三种解法在对问题深刻分析的基础上，得到 D 是 CB 中点的结论，从而列出了一个很简单的方程. 说明审题时，深入分析题意很重要，可得到最佳的解题方略. 同时，图示法、列表法等在分析总是过程中的直观作用，是分析问题的有效工具.例 6分析 本题着重从三步考虑：依题意，确定一个有意义的数字：如 5，当作所列应用题方程的一个根，建立一个题设要求的等式：如 25610. 把上述等式中的 5 用未知数 x代替变等式方程为分式方程 x根据方程编出应用题甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 2 个，甲做 10 个所用的时间与乙做 6 个所用时间相等. 求，甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做 x个，则乙每小时做 )(x个根据题意，得 2610整理，得 x 5经检验 5x是方程的根. 答：甲每小时做 5 件，乙每小时做 3 件.
