1、角平分线性质在竞赛中大显身手我们知道：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角的平分线的重要性质利用角的平分线性质可以省去一次全等三角形的证明过程，因此利用角的平分线性质说明问题方便快捷，而角的平分线性质去解决一些竞赛试题时更是大有可为例 1 如图 1， EG、 FG 分别是 MEF 和 NFE 的平分线，交点是 G PB、 PC 分别是 MBC 和 NCB 的平分线，交点是 P F、 G 在 AN 上， B、 E 在 AM 上，如果 EGF= ，那么 BPC 与 的大小关系是( )A BPC B BPC= C BPC D无法确定分析：
2、已知条件中出现了四条角平分线，为了能充分运用角平分线的性质，分别过点G 和点 P 向角的两边引垂线，即可分别求出 BPC 与 A、 EGF 与 A 的关系，从而使问题获解解：过点 P 作 PH BM 于 H， PK CN 于 K， PQ BC 于 Q，过点 G 作 GD EM 于D， GJ FN 于 J， GI EF 于 I因为 PB、 PC 分别是 MBC 和 NCB 的平分线，所以 PH=PQ=PK易证 HPB= QPB， KPC= QPC，故 BPC= 12 HPK 图 1又 AHP= AKP=90，所以 HPK=180- A故 BPC= (180- A)=90- 12 A同理， EGF
3、=90- A所以 BPC= EGF = 答案选 B反思：通过观察图 1 不难发现：点 G 是 AEF 的两外角平分线的交点，点 P 是 ABC的两外角平分线的交点，因此通过本例我们不难得出这样一个结论：三角形两外角平分线的夹角与第三角的一半互为余角例 2 如图 2， ABC 中， ABC=110， ACB=20， CE 是 ACB 的角平分线， D 是AC 上一点，若 CBD=20，求 ADE 的度数分析：由 ACB=20和 CBD=20，得 ADB=40考虑到 CE 是 ACB 的角平分线，可过点 E 作 EN CA， EP CB，则 EN=EP若能证明 DE 是 ADB 的角平分线，过点
4、E 作EM BD，则有 EN=EP=EM，于是 ADE 可求解：作 EN CA 于 N， EM BD 于 M， EP CB 于 P，由 ABD= ABC- CBD=100-20=80， PBA=180-100=80，得 PBA= ABD，从而 EP=EM而 CE 平分 ACB，于是 EN=EP，故 EN=EM 图 2所以 ED 平分 ADB，从而 ADE= 12 ADB= ( ACB+ CBD)= 12( 20+20)=20反思：通过观察图 2 不难发现：点 E 是 BCD 的内角 BCD 的平分线、外角 DBP 的平分线和外角 ADB 的平分线交点，该点到 BCD 三边的距离相等实际上，到 BCD 三边的距离相等的点一共有三条，其中一条在三角形内部(三角形三个内角平分线的交点)，另外三条在三角形外部(三角形其中一个内角与另外两个内角的外角平分线的交点)这些结论可以利用角平分线的性质证明，同学们应该熟记这些结论，以帮助我们快速找到与角平分线有关问题的思路
