1、1四年级数阵图教师版知识要点数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵常见的数阵图有以下三种：1.有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解2.有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”我们
2、在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字数阵图的解题关键是找”重复数” 。解题步骤：一. 从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为 的形式。nS二. 从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和 一般位置数字相加次数 特殊位置数字和 多加或少加次数的形式。三. 根据整体与个体的关系，列出等式即题目所给全部数字和 一般位置数字相加次数 特殊位置数字和 多加或少加次数。nS四. 根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的 值。S五. 根
3、据确定的特殊位置数字及 值进行数字分组及尝试。S三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三 三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三2放射型老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的： 把 这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三51数之和都等于 那么应该怎么填呢？954321【分析】 ， ，可见中间的重叠数为 。如此可得填法如右上1234519253图。小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的圆圈中写了数字 ，要求当当把 这四个数填入剩下的四个里，使
4、两条直线上541的三个数之和相等你能帮当当解决这道题吗？534215【分析】根据题意可知两条直线上的三个数的和为 ，在剩下的四(1235)210个数中 ，可得填法如右上图。14235把 这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等5135423 15412 33421 5【分析】根据题意可知 这几个数的和再与中间的重叠数作和结果是 的倍数，而15 2为奇数，那么中间的重叠数只能是奇数： 、 、 ，由此可推1234 135得结果如右上图。将 这七个自然数填入下图的七个内，使得每条边上的三个数之和都等于 你能做7 0到吗？654 3127【分析】 ， ，可见重叠数为 ，那么可得填法如123
5、456728(10328)11右上图。把 这七个数分别填入下图的内，使每条线段上三个内数的和相等。7754 2136317 5462125 6743【分析】 ，这几个数的和再与重叠数的两倍作和是 的倍数，那12345678 3么重叠数的取值有 ，对应的每边三个数的和为 ，可得填法见右上图。1、 、 0124、 、4数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将 填入其中的内，其中201已填好，使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你15也试试吧1516 14171318121911201015【分析】法一：每条边上的三个数之和等于 剩下的45)00( 十个数中，两
6、两之和等于 的有 于是得315416,;738,12;9,到右上图的填法。法二：五条边上除重叠数之外的两个数的和都是相等的，也即是说另两个数之和等于 ，同样可得填(1020)0 0法如右上图。（第六届“中环杯”复赛）将 到 这 11 个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等.17 6859410311217 5849310211166 574839210111【分析】因为 中间一个数（设为 ）再重复 次，则五条边的610321 A4总和为 ，
7、 A46应正好可以整除 ，则 经过验证， ，对510974、 16A、应的每条边上三个数的和为 。可得填法如右上图。82、 、将 这七个数分别填入左下图中的里，使每条直线上的三个数之和都等于 71 257651234【分析】 中间数 中间数 ，中间数为 ，填法如27654321 28324右上图将 分别填入下图的中，使得横、竖五个数相加的和都等于 。99876 54 231【分析】 ； ； ，可见答案如右上图。（答案不123945 25045唯一）将 填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等9【分析】 ，可见重叠数为奇数： ，那么可得答案如12345678945
8、13579、 、 、 、下图所示：把 这 个数填入下图的内，使每条直线上 个数的和为 ，怎样填？16 3966512 34【分析】设中间三个数为 ，那么有 ，可见abc、 1327abc 则 三个数分别为 .填法如右上图所示. 6abc、 123、封闭型周末小猪熊去小猴家里玩，过桥的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路，狐狸狡猾的对它说：“只要你能把 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，6,5432,1使每一边三个数相加的和都等于 我就让你过桥 ”小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出9来，你知道聪明的小猪熊是怎么解答的吗？6 54 321【分析】根据题意，要求每边三个数的
9、和都是 ，那么三边的和应为 但是9279六个数的和等于 ，三行数的和比题中六个数的和多 ，也就是说6121 61三个顶点数之和是 ： ，可得答案如右上图。636（ “数学解题能力展示“三年级组初赛试题）将 这六个自然数分别填入右图的六207 61个中使得三角形每条边上的三个数之和都相等【分析】根据题意可知三个顶点中的数的和必为 的倍数，其中最小： ，最大：31236，可见三个顶点的和只能是 或 ，对应的每条边上的三数之和456112,965就是 或 填法如下：,0926 54 32 16 543 21654 321 6543 21每边三数之和 每边三数之和
10、 每边三数之和 每边三数之和90.17将自然数 填入右图的七个中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等717 26431 5【分析】三角形顶上的数重叠 次，其他数都重叠 次所以有： 顶3 2)71(上的数 每条线上的三个数之和 ， 顶上的数 每条线上的三个数之5和 由上式等号左端是 的倍数，推知“顶上的数” 所以每条线上的三5 4个数之和为 经试验可得如上填法(填法不唯一)。125)46(（第七届小机灵杯复赛第 题）将 ， ， ， ， ， ， ， ， 这 个数分别7103619259填入下图的 个中，使三条边上中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是 &n
11、bsp; 9。【分析】这些数的和为 ，而三条边上数的和的和等147013692517于这些数的和再加上三个顶点上的数的和，那么若要每条边上的四个数的和最大，则只需保证三个顶点上的数最大，那么三个顶点上的数应该为 ， ， ，由2519此可知最大的和为 。(25)用 19 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问 A 可以等于哪些数?给出你的填法【分析】 这九个数的和是 ，于是顶点上的数之和应为 ，这个和是 的倍数，9145453A3它最小是 ，最大是 ，从而 可以63278924取 但是，当 为 或 时，都得不出一个合乎题目要求的,10,87A1解答，所以 只能
12、为 这五个数图(1) 、(2) 、 (3)、(4)、(5)给出了这A3,20,8五种填法（1（A=17659874321（2（A=19659874 321（3（A=2065 98 74321（4（A=21659874321（5（A=23659874321将 这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于 18 217286 43157286 431 5【分析】 ， ，可见两个重叠数之和为 ：12345678323、 ，可得填法如右上图：班上进行民主选举，谁能在图中 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个ZYX,数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试
13、一试吧z yx6541765432 1【分析】如图，我们把三条直线上的三个和相加，相当于把 算了三遍， 算了一遍，6,51三个顶点上的数各算了一遍根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等那么 6+三个顶点和 三个顶点和 。那么很明显，这51343个 就是我们最关心的这个和的两倍，那么这个和就是 所以，431562 2图中 处的数是 ；图中 处的数是 ；图中 处的数是xy7142z答案如右上图所示。2如图 “学、而、思、未、来、命、运”这 个汉字分别代表 至 这 个数字。已知 条7 3直线上的 个数相加、 个圆周上的 个数相加，所得的 个和相同。那么， “学”字代表3235多少
14、？9、【分析】计算 个和的和，这个和一定是 的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只55是被计算了 遍，因此这个和等于 “学” 21234567256“学”，这个“学”只能是 才能保证这个和能被 整除。 4这八个数分别填入下图的里，使每条边上的三个数之和都等于 92 1898 7498 6598 765432【分析】四个角上的数是重叠数，重叠次数为 所以四个重叠数之和等于1而在已知的八个数中，四数之和为 的只有：2)932(418 2或 又由于 ， 不是已知的八个数之76519一，所以， 和 只能填对角处由此得到上面中间两图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意把 ，
15、 ， ， ， ， ， ， ，这 个数分别填入下图的 个空格中，使正方形每条边123456788上三个数的和都等于 。 12386457162537481【分析】因为每边上的和为 ，那么四条边上的数字之和为 ，而13134，所以四个角上的四个数之和等于 。在 中选四1286 618个数，四数之和等于 ，且其中任意三个的和不等于 的只有：。经试验，只有右上图的两种填法。6725845620 以内共有 10 个奇数，去掉 9 和 15 还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个中(其中 3 已经填好)，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等103117191353171131711711953【分析
16、】题中所给的数有 1、5、7、11、13、17、19，这八个数的和为 ，这个和再加上76两个重叠数的两倍应该为 的倍数，设另一个重叠数为 ,那么有 的3A82A倍数， 的取值有 ，对应的每条线上四个数的和为 ，其中A9、 、 、 340、 、 、当 取 的时候不合题意，那么可得填法见右上图。3、已知 ， ， ， ， ， ， ，ab5c7de1f1fg5h，那么这个圆上所有的数字之和是多少？9h hgfedcba【分析】每个数都被加了两次，所以圆上所有数字的和。(35791359)236在下图中的 个内填入 这 个数字，使得循环式成立：00111【分析】五个等式中有五个和式，其中两式的和大于另外
17、三式的和，设较大的和为 ，较a小的和为 ，则有： ，由上式知 必为奇数，又由 最小b2301945ab bb为 ，最大为 ，可得如右上图两解。57在下列各图中，分别从 中选择六个数填入内，使得按顺时针方向计算的各关系式成18立： 【分析】能被 和 整除的数有 与 ，左上角的数为 或 ，如果为 ，为一种情况，如244848果是 是另一种情况，答案见右上图。 将 ， ， ， ， ， ， ， ，这 个数分别填入下图的 个空格中，使四边正好组成13567加、减、乘、除 个正确的等式。 4【分析】小于 且能表示成两个不同的数的乘积的数只有 和 ，如此可确定左下角的数10 68为 ，左上角和右下角的数可以
18、是 或 ,左边和下边对应填上 和 ，剩下 、268361、 ，如此即可试出结果。 57分别填入小三角形内( 每个小三角形内只填一个数 )，要求靠近大三角形三条边的每五19个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种）bca712659348【分析】 用 表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因12345678945s12为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用 ， b， 来表示这三个数)，ac其余均用了两次。于是 。要使 尽可能大，只要 尽4523abcsabc可能小。所以， 。于是 ， 。剩下的六个数16abc906s28分成三组，并且每组中两数的和是
19、三个连续自然数，那么：； ； 。经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之48126739一。 请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是 。2020112098 67 43211220985743211120965 7432 1【分析】如果第一行填入的是 、 、 、 ，则 ，所以 不超过xyzw3()xyzyz且最小为 ，如果 时， ， （ 、 不能取 、 、 ） ，633147xw123第一行有两种情况： ， ， ， 与 ， ， ， ，分别对应不同的第二行；71242当 时， ，其中 不能与 相邻，所以第一行只有一4
20、1yz86xw种情况，即 ， ， ， ；当 时， ，不论怎样排23513yz5xw列，都有重复，所以只有三种填法，如右上图。能否将数 分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 个顶点上的数之和相等？09【分析】 ， 中心数 个阴影三角形的 个顶点上的数字之和，所012945 33以中心数必须是 的倍数，只能是 ， ， ， 。枚举法试验，中心数只能是 ，30693，答案如图。 6下图包括 个加法算式，将 填入除最右边圆圈以外的 个圆圈中，使 个算式都成立。1886那么最右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？13【分析】最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即 。当这128312四个数分别
21、取 、 、 、 时可以不出现重复数字，填法如右上图。1362图中有大、中、小三个正方形，组成了 个三角形。现在先把 、 、 、 分别填在大正84方形的 4 个顶点上，再把 、 、 、 分别填在中正方形的 个顶点上，最后把 、441、 、 分别填在小正方形的 个顶点上。 能否使 个三角形顶点上数字之和都相等？23 8如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。344341222311【分析】 （ ）不能，如果能，则 个三角形顶点和的总和应该是 的倍数，但是这个总和188有三组 、 、 、 组成，其中一组被计算
22、三次，一组被计算两次，一组被计算234一次，因此该总和的值为 ，不是 的倍数，产生矛盾，因此6123460没有任何填法使 个三角形顶点上数字之和都相等。8（ ）能，如上图。2一课一练【练习 1】 老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有一个图形（如下图） ，要求将 610 这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 24那么应该怎么填呢？14109876【分析】6+7+8+9+10=40，242-40=8，可见中间的重叠数为 8。如此可得填法如右上图。【练习 2】 将 8-14 这七个自然数填入下图的七个 内，使得每条边上的三个数之和都等于 33你能做到吗？
23、141312110 98【分析】8+9+10+11+12+13+14=77，（333-77）2=11，可见重叠数为 11，那么可得填法如右上图。【练习 3】 将 的数填入圆圈中，使每边上的 3 个数字之和都相等。1 7 4 654321 7【分析】 此图是辐射型 图，中间内的 是重叠数，并且重叠了 次，所以每条边上34的 个数之 和等于 ,剩下的 个数中，两两之和等于 的12723 148有 ,填法如右上图。765、 ； 、 ； 、【练习 4】 将 六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于10156543 21【分析】因为每边上的和为 ，那么三条边上
24、的数之和为 ，而10301，所以三个角的三个数之和等于 ，在 中选 个2621 9613和为 的数，而且任意两个数的和大于或等于 ，这样的组合有：9 46，经试验，填法如右上图435【练习 5】 唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大王告诉他们，只有他们能把 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是6,2,1l6 才允许他们 通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？6 43152【分析】 ， ，可见两个重叠数的和为 ： ，12345621211561，
25、， ，填法如右上图。6354【练习 6】 小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了它的去路，问题是这样的：请分别将 这 个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里 个数6,21 4的和都等于 ，快点帮帮小老鼠吧5573162 4573【分析】 ， ， ，三个圆中已有数的和与 的差分别是 ，127503817,53只有 能和其他三个数的和分别是 ，所以中间数一定是 ，由和为 ，其它7,531三个数即可得，见右上图【练习 7】 将 18 填入下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于 1587 65432 116【分析】四个顶点数之和为 ，四个顶点数有 和 两24)821(45 8,763
26、,54种可能经试验只有右上图一个解【练习 8】 将 不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每条边上的数字和均为 。19 1cba98457612 3【分析】将三角形三个顶点处的数字设为 、 、 ，这三个数字分别计算了两次，根据ab题意，可得： (129)317解得 ，而在 中，只有 ，符合要求。所以三个顶点上6abc26的数字分别是 、 、 ，如图所示是其中一种符合要求的填法。3【练习 9】 将 不重复地填入下面的圆圈内，使得五边形每条边上的数字和均为 。10 19edcba10156792483【分析】将五边形五个顶点处的数字设为 、 、 、 、 ，这五个数字分别计算了两次，abce所以有：(
27、120)519abce解得 ，只有 ，符合要求。所以五个顶4cde67804点上的数字分别是 、 、 、 、 ，其中 和 不在同一条边上。如图为61一种填法。【练习 10】 如果将 这 个自然数填入下图的圆圈内使每个菱形上的四个数之和都1等于 ，那么 等于多少？24A17【分析】计算 个菱形上四个数的和，其中 被重复计算了一次， ,即 ,3A12243A 672A6A【练习 11】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出 x 所代表的数。 17 18222628302724 20x【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和
28、的一半。比如： ， ， 。所以261823062843027， 。经检验， 和 相加除以 ，也恰好等于 。187xx4【练习 12】 将 填入图中的 个方格中，是纵向的一，二，三和横向的四这几个直33线上的方格的和均相等。【分析】 ，12319 5那么加数的和为 ，每个数为 ， ， ，234 1384111226153791018补充【补充 1】 将 填入下图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的8四个数之和都相等【分析】每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于 ，经试验可得182)21(填法如右上图（答案不唯一）。【补充 2】 将 七个数字填入左下图的七个内，使每个圆周和每条直线上的三个数71之和都相等765 43 21【分析】设中心数为 ，各条直线和各个圆周上的三数之和均为 因为 属于三条直线a ka公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到 ，k5)721(化简为 因为 ， 又是 的倍数，所以 ， 填k5671a56412数方法见右上图
